30度，45度，60度角的三角函数值教案设计

30°，45°，60°角的三角函数值

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算．

3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．

(二)思维训练要求

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．

2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

(三)情感与价值观要求

1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教具重点

1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．

2．能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．

3．比较锐角三角函数值的大小．

教学难点

进一步体会三角函数的意义．

教学方法

自主探索法

教学准备

一副三角尺

多媒体演示

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度．

(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)

[生]我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE＝AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可．

[生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a米，则AD＝a米，如何求CD呢？

[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，(2CD)2＝CD2＋a2，

CD＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.pnga．

则树的高度即可求出．

[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°＝0b23f8e3ed8ea7d5235b481f298cc962.png，则CD＝atan30°，岂不简单．

你能求出30°角的三个三角函数值吗？

Ⅱ．讲授新课

1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．

[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？

[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°．

[师]sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．

[生]sin30°＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a．根据勾股定理，可知30°角的邻边为91a24814efa2661939c57367281c819c.pnga，所以sin30°＝dea19bd14b1a08f7c2c22cf1689d466a.png．

[师]cos30°等于多少？tan30°呢？

[生]cos30°＝83f360e46573c38bff6249d6c4564387.png．

tan30°＝04b654ec18783f6f41f3160506f6762f.png．

[师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？

[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得

sin60°＝83f360e46573c38bff6249d6c4564387.png，

cos60°＝dea19bd14b1a08f7c2c22cf1689d466a.png，

tan60°＝2239a522dc05ec35355b0f68976d07e4.png．

[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦．可知

sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，

cos60°＝sin(90°－60°)＝sin30°＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.pnga．由此可求得

sin45°＝8fa656b3b499f12c8bf8a37f1881f871.png，

cos45°＝8fa656b3b499f12c8bf8a37f1881f871.png，

tan45°＝d3a0575d49832c0243841cdc5e1e8a6f.png＝1．

[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小．

为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？

[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，91a24814efa2661939c57367281c819c.png随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．

[师]再来看第二列函数值，有何特点呢？

[生]第二列是30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为91a24814efa2661939c57367281c819c.png，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，1，余弦值随角度的增大而减小．

[师]第三列呢？

[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．

[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定做得很棒．

2．例题讲解(多媒体演示)

[例1]计算：

(1)sin30°＋cos45°；

(2)sin260°＋cos260°－tan45°．

分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin60°)2，cos260°表示(cos60°)2．

解：(1)sin30°＋cos45°＝d8f614745ad472e9ff3a09c7e01127c6.png；

(2)sin260°＋cos260°－tan45°

＝(aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png)2＋(93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png)2－1

＝030dc2bfa5e81596e374cfb9f08f098e.png－1

＝0．

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01m)

分析：引导学生根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

解：根据题意(如图)可知，∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5m，∠AOD＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×60°＝30°，∴OC＝OD·cos30°＝2.5×aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png≈2.165(m)．

∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m)．

所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34m．

Ⅲ．随堂练习

多媒体演示

1．计算：

(1)sin60°－tan45°；

(2)cos60°＋tan60°；

(3)a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.pngsin45°＋sin60°－2cos45°．

解：(1)原式＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png－1＝37cbaaec5ef06b388531f388ae0dcea2.png；

(2)原式＝ea0d8dc34b6bed840d081974407c1fc5.png；

(3)原式＝0812018bd56efb5e544c12f2cd07ce3a.png；

＝6c635f4aadf049ae435c0b222c64780e.png．

2．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少？

解：扶梯的长度为d109fb6d6b1baf50ec7605ff38c44271.png＝14(m)，

所以扶梯的长度为14m．

Ⅳ．课堂小结

本节课总结如下：

(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值．

sin30°＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，sin45°＝a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png，sin60°＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png；

cos30°＝aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，cos45°＝a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png，cos60°＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png；

tan30°＝227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png，tan45°＝1，tan60°＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png．

(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．

(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．

Ⅴ．课后作业

习题1．3第1、2题

Ⅵ．活动与探究

(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？(精确到0.1m，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png≈1.41，91a24814efa2661939c57367281c819c.png≈1.73)

[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DB⊥AE(甲楼)．在Rt△BDE中，BD＝AC＝24m，∠EDB＝30°．可求出BE，由于甲、乙楼一样高，所以DF＝BE．

[结果]在Rt△BDE中，BE＝DB·tan30°＝24×227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png＝891a24814efa2661939c57367281c819c.pngm．

∵DF＝BE，

∴DF＝891a24814efa2661939c57367281c819c.png≈8×1.73＝13.84(m)．

甲楼的影子在乙楼上的高CD＝30－13.84≈16.2(m)．

板书设计

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a5b24006316c1eb91a37f111f18583d048640f57.html