[金版教程]2015届高三数学（文）一轮限时规范训练：5-1 数列的概念与简单表示法

05限时规范特训

A级　基础达标

1．[2014·绵阳调研卷]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则其前6项之和是(　　)

A．16 B．20

C．33 D．120

解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，选C.

答案：C

2．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　　)

A. 1 B. 9

C. 10 D. 55

解析：a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.

答案：A

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*有Sn＝an－，且1<Sk<12，则k的值为(　　)

A．2 B．2或4

C．3或4 D．6

解析：本题考查等比数列的前n项和，考查考生对数列知识的综合运用能力，属于中档题．首先要根据Sn＝an－，推出数列{an}是等比数列并求出其通项公式，然后用前n项和公式表达出Sn，再对选项中k的值逐一进行验证．

∵a1＝a1－，∴a1＝－2.∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)，∴an＋1＝－2an，数列{an}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an＝(－2)n，Sn＝(－2)n－.逐一检验即可知k＝4或2.

答案：B

4．[2014·金版原创]设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝(　　)

A．2014 B．2013

C．1012 D．1011

解析：由题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝n；当n＝1时，a1＝S1＝1.∴an＝n，故a2014＝2014，选A.

答案：A

5．在正项数列{an}中，若a1＝1，且对所有n∈N*满足nan＋1－(n＋1)an＝0，则a2014＝(　　)

A．1011 B．1012

C．2013 D．2014

解析：由a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝0可得＝，得到＝，＝，＝，…，＝，上述式子两边分别相乘得×××…×＝an＋1＝×××…×＝n＋1，故an＝n，所以a2014＝2014，故选D.

答案：D

6．[2014·赤峰模拟]已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)()n，则当an取得最大值时，n等于(　　)

A．5 B．6

C．5或6 D．7

解析：由题意知

∴

∴∴n＝5或6.

答案：C

7．[2014·北京质检]已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.

解析：a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.

答案：1　0

8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

答案：28

9．[2014·石家庄模拟]数列{an}中，a1＝，前n项的和Sn＝n2an，则an＋1＝________.

解析：an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，

∴(n2－1)an＝(n－1)2an－1(n≥2)，

故＝(n≥2)，

∴an＝··…··a1

＝··…··

＝(n≥2)，

当n＝1时，也符合，

∴an＋1＝.

答案：

10．[2014·合肥模拟]已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N*，n≥2)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于？

解：(1)n≥2时，＝()n－1，

故an＝·…···a1

＝()n－1·()n－2·…·()2·()1

＝()1＋2＋…＋(n－1)

＝()，

当n＝1时，a1＝()0＝1，即n＝1时也成立．

∴an＝().

(2)∵(n－1)n在[1，＋∞)上单调递增，

∴()在[1，＋∞)上单调递减．

当n≥5时，≥10，an＝()≤.

∴从第5项开始及以后各项均小于.

11．[2014·海南模拟]设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，

即bn＋1＝2bn，b1＝S1－3＝a－3.

因此，所求通项公式为

bn＝b1·2n－1＝(a－3)2n－1，n∈N*.①

(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1

＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2

＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an

＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2·[12()n－2＋a－3]，

当n≥2时，an＋1≥an⇔12()n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.

又a2＝a1＋3>a1.

所以a的取值范围是[－9，＋∞)．

12．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.

(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？

(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0?

(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．

解：(1)由an＝n2－n－30，得

a1＝1－1－30＝－30，

a2＝22－2－30＝－28，

a3＝32－3－30＝－24.

设an＝60，则60＝n2－n－30.

解之得n＝10或n＝－9(舍去)．

∴60是此数列的第10项．

(2)令an＝n2－n－30＝0，

解得n＝6或n＝－5(舍去)，∴a6＝0.

令n2－n－30>0，

解得n>6或n<－5(舍去)．

∴当n>6(n∈N*)时，an>0.

令n2－n－30<0，解得0<n<6，

∴当0<n<6(n∈N*)时，an<0.

(3)Sn存在最小值，不存在最大值．

由an＝n2－n－30＝(n－)2－30，(n∈N*)

知{an}是递增数列，且

a1<a2<…<a5<a6＝0<a7<a8<a9<…，

故Sn存在最小值S5＝S6，不存在Sn的最大值．

B级　知能提升

1．[2014·启东模拟]一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，则该函数的图象是(　　)

解析：由an＋1>an可知数列{an}为递增数列，又由an＋1＝f(an)>an可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.

答案：A

2．已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＋3nan＋1＝，两式左右两边分别相减得3nan＋1＝，∴an＋1＝(n∈N*)，∴an＝，n≥2.由题意知a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．

答案：an＝(n∈N*)

3．[2014·西安中学月考]已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．

解析：当n＝1时，20·a1＝S1＝3，∴a1＝3.

当n≥2时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6.

∴an＝－.

∴数列{an}的通项公式为an＝.

答案：an＝

4．设数列{an}的前n项和Sn满足＝3n－2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.

解：(1)由＝3n－2，得Sn＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；

当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6－5＝1.

所以an＝6n－5(n∈N*)．

(2)由(1)得bn＝＝＝(－)，

故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．

因此，使得(1－)< (n∈N*)成立的m必须满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a5adf69d9b89680203d825ab.html