几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马

第三章 几何光学基本原理

1．证明反射定律符合费马原理。

证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。

，在介质n与的界面上，入射光A遵守反射定律,

经O点到达B点，如果能证明从A点到B点的所有光程中AOB是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。

设C点为介质分界面上除O点以外的其他任意一点，连接ACB并说明光程 ACB>光程AOB

由于ACB 与AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB与AOB的大小。

从B点到分界面的垂线，垂足为，并延长至 B′，使，连接 ，根据几何关系知，再结合，又可证明∠°，说明三点在一直线上， 与AC和组成Δ，其中。

又∵

即符合反射定律的光程是从A点到B点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。

2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。

证明：由QBA～FBA得：OF\AQ=BO\BQ=f\s

        同理，得OA\BA=\,BO\BA=f\s

        由费马定理：NQA+NQ=NQ

         结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证

3．眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm.求物PQ的像   与物体PQ之间的距离 为多少?

解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：

   ，即像与物的距离为

4．玻璃棱镜的折射棱角A为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.

解：由最小偏向角定义得 n=sin/sin,得=46゜１６′

由几何关系知，此时的入射角为:i==５３゜８′

当在C处正好发生全反射时：i2’= sin-1 =38゜41′,i2=A- i2’=21゜19′

i1= sin-1(1.6sin21゜19′)= 35゜34′

ｉmin＝３５゜３4′

５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果则，且光束i与 r垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）．

解： 

若= , 则 sini1 = , i1=30。

    则i2=30。,而

90。，而

 90。， 得证。

６．高５cm的物体距凹面镜的焦距顶点12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，并作光路图．

解：∵     又  

∴，即，

    ∴=-25cm

 即像在镜前60cm处，像高为25cm

７．一个５cm高的物体放在球面镜前１０cm处成1cm高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，

  ∵

  ∴，  又  ，  ∴  ，所以此镜为凸面镜。

８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离灵40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?

  解：根据题意，由凸面镜成像公式得：

   ∴凸透镜物点与像点的距离，   则玻璃距观察者的距离为。

9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为d1,折射率为n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d(n-1)/n的一段距离的效果相同。

解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ＝ｄ（１－１＼ｎ），即题中所求。

10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率为多少?

解：设球面半径为r，物距和相距分别为s和,由物像公式:

S=,=2r,n=1,得=2

11.有一折射率为1.5,半径为4cm的玻璃球,物体在距球表面6cm处,求(1)物所在的像到球心之间的距离;(2)像的横向放大率.

解：的玻璃球。

   对第一个球面，

     ，

对第二个球面

∴    ∴

∴从物成的像到球心距离

12.一个折射率为1.53,直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置

解 ：由球面镜成像公式：，当=日时，s= r, 气泡在球心。

当=时，s=6.05cm ，气泡在距球心3.95 cm处。

13.直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.

解：由:  , 又 s=r， ∴=r=15cm, 即鱼在原处。

β= ==1.33

14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm.将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图.

解:             ∴

    ∵    

15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为10cm.一物点在主轴上距离20cm处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为1.5,水的折射率为1.33.

解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得： =-39.12 ,

由透镜成像公式：，s=20cm, 得=-40.92

（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得:  f= -=39.12

由透镜成像公式：，s=20cm, 得=-13.2

16.一凸透镜在空气中的焦距为40cm,在水中时焦距为136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水的折射率为1.33)?若将此透镜置于CS2中(CS2的折射率为1.62),其焦距又为多少?

解：由题意知凸透镜的焦距为：

 又∵在同一介质中，   设

 ∴     因为对同一凸透镜而言是一常数，

设 ，当在空气中时 ，在水中时

∴      ，   两式相比，可n=1.54，将其代入上式得  ∴在中即， ，

得.即透镜的折射率为1.54，在CS2中的焦距为-437.4cm  

17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为20cm和25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的双凸透镜,把它置于水中,求其焦距为多少?

解：由薄透镜焦距公式：  ，

其中n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得

=-44.8cm

18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成30度的一束平行光入射到每个透镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴1cm 处各置一发光点,成像在何处?作出光路图.

解：(1)由，s =, 对于会聚透镜：x==10cm, y=xtg30。=5.8cm 或者y=xtg(-30。)=-5.8cm， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-10,|5.8|)

(2) 由，s =f , 对于会聚透镜：x= ，即经透镜后为一平行光束。

对于发散透镜：x=-5cm，又 ，=0.5cm，

考虑到物点的另一种放置， =-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)

20.比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成,两半块透镜垂直光轴拉开一点距离,用挡光的光阑K挡住其间的空隙(见题3.20图),这时可在屏上观察到干涉条纹.已知点光源P与透镜相距300cm ,透镜的焦距f’=50cm,两半透镜拉开的距离t=1mm,光屏与透镜相距l=450cm.用波长为632.8nm的氦氖激光作为光源,求干涉条纹的间距.

                             K

解：分成两半透镜，对称轴仍是PKO,P,P2构成两相干光源，相距为d, ,=· s\(+s)=60cm, r=L-=390cm, 上半透镜相当于L的主轴与光心上移0.5mm,下半透镜相当于L的主轴与光心下移0.5mm,d=2+t=0.12cm./d=2.056mm.

21.把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去,C的宽度为1cm,把余下的两部分粘起来(题3.21图).如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求像的位置．

解：该透镜是由A、B两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A部分的主轴在系统中心线下方0.5cm处，B部分的主轴系统中心线上方0.5cm处，

由透镜成像公式：，经A成像得=-10cm ，经B成像的=-10cm，这两个像点在垂直于主轴的方向上的距离为3cm.

２２．一折射率为1.5的薄透镜,其凸面的曲率半径为5cm,凹面的曲率半径为15cm,且镀上银(见题3.22图).试证明:当光从凸表面入射时,该透镜的作用相当于一个平面镜.(提示:物经过 凸面折射,凸面反射和凹面再次折射后,s’=-s,b=1.)

解：经第一界面折射成像：

∵ 其中，=1.5 , =1,1=5cm,

∴

经第二界面（涂银面）反射成像：

∵，其中，，，1=15cm

∴

再经第一界面折射成像：

 ， =1 , =1.5,1=5cm, ，

∴

= =，= ，= ，

三次成像后的放大率：=1，

所以当光从凸表面入射式，该透镜的作用相当于一个平面镜。

23. 题3.23图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统.棱镜折射率为1.5, 凸透镜的焦距为20cm,凹透镜的焦距离为10cm,两透镜间距为5cm, 凸透镜距棱镜边的距离为10cm.求图中长度为1 cm的物体所成像的位置和大小.(提示:物经棱镜成像在透镜轴上,相当于经过一块厚6cm的平板玻璃,可利用例3.1的结果求棱镜所成像的位置.).

解：因为n=1.5,其全反射角为，。所以，物体经球面上反射，为厚度为6cm的透镜，物体将在厚透镜左侧成虚像，平行平板的轴向位移l=l(1-1\n)凸透镜的物距为s=-20,f=-20.所以s==由物像公式知成像的位置及大小为25和-10。

24.显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距=为3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为20cm,问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛25cm处?

解：在目镜下由物像公式得   即  

  ∴cm       

 在物镜下由高斯公式得     即   

即物体在物镜下放1.06cm处。

25．题3.25图中L为薄透镜,水平横线MM‘为主轴。ABC为已知的一条穿过这个透镜的路径，用作图法求出任一条光线DE穿过透镜后的路径。

 26．题3.26图中MM‘是一厚透镜的主轴,H、H’是透镜的主平面，S1是点光源，S1‘是点光源的像。试用作图法求任一物点S2的像S2’的位置.

 27．双凸透镜的折射率为1.5，  │r1│=10cm，│r2  │=15cm，r2 的一面镀银，污点P在透镜的前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图。

解：经第一界面折射成像： ，=1.5 , =1,1=10cm,1=-20cm

所以 1→，即折射光为平行光束

经第二界面反射成像： ，2=1→，2=-15cm ,所以2=-7.5cm

再经第一界面折射成像：  ，=1 , =1.5,1=10cm,3=2=-7.5cm

所以3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方4cm处。

28．实物与光屏间的距离为l，在中间某一位置放一凸透镜，可使实物的像清晰地投于屏上，将移过距离d之后，屏上又出现一个清晰地像。（1)试计算两个像的大小；（2）证明透镜的焦距（l2 –d2  /4l ）;(3)l不能小于透镜焦距的4倍。

解：(1)令2=，则 1= ，

2=，

第一次成像：  

∴=  (1)

第二次成像：  

∴=    (2)

由(1) (2)得  ， （3）

则1=，1=，2=，2=  (4)

1==  ，2=

 = ，又2=1=，

故两次成像大小之比为：=        (5)

(2)将（3）代入（4）得  =   （6）

（3）由（6）得        （7）

所以不能小于透镜焦距的4倍。

29．一厚透镜的焦距f′为60mm，其两焦点间的距离为125mm,若（1）物点置于光轴上物方焦点左方20处 ；（2）物点置于光轴上物方焦点右方20mm处；（30)虚物落在光轴上像方主点右方20mm处，文在这三种情况下像的位置各在何处？像的性质各如何？并作光路图。

解：⑴由厚透镜的物象公式的高斯公式  得

  ⑵由得）

  ⑶     ∴实像）

30.一个会举薄透镜和一个发散薄透镜互相接触而成一复合光具组，当物距为－８０ｃｍ时，实像距镜６０ｃｍ，若会聚透镜的焦距为１０ｃｍ，问发散透镜的焦距是多少？　

解： ，，，

符合光学的焦距为= 34.29cm

 ， 及d=0，2=-14.1cm

31双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为１００ｍｍ和２００ｍｍ，沿轴厚度为１０ｍｍ，玻璃的折射率为１．５，试求其焦点主点和节点的位置，并会图表示之。

解： ，代入数据得 =134.86mm -134.86mm

=,得1 =200mm    =,得2=-400mm

 ==20247mm    =-4.495mm

==134.86mm , ==-134.86mm

　32.两个焦距均为２ｃｍ的双凸透镜，其间距离为４／３ｃｍ，组成一个目镜，求其焦点和节点的位置，如他们的焦距分别为６ｃｍ和２ｃｍ，间距为４ｃｍ，再求其焦点和节点的位置。

解：       空气中

   ∴

      ， 

  ，                      

 当

     ，          

，          

，         

　 33一焦距为２０ｃｍ的薄凸透镜与一焦距为２０ｃｍ的薄凹透镜相距６ｃｍ，求：（１）复合光具组焦点及主平面的位置。（２）当物体放在凸透镜前３０ｃｍ时像的位置和放大率。

解析：           

空气中   

⑴  

Δ=     

       -0.2m

⑵     

34一薄透镜的主平面Ｈ和，节平面Ｋ和和交平面Ｆ和位置如图所示，有一发光点Ｐ在物方主平面左边２０ＣＭ处，试作光路途并计算像的位置。

解：

   ∵ 

∴   ∴

　35. 一条光线射到一折射率为ｎ的一球行水滴，求：（１）后表面的入射角ａ，问这条光线将被全反射还是部分发射？（２）偏转角；（３）产生最小偏转角的入射角。

解：（1）由折射定律  nsin=sin

∴=sin-1()

又∵临界角c= sin-1(), 即< c ,  

 故是部分反射。

（2）由图知：=（-）+，即=2-，而=-2，所以=-4+2

（3）∵=-=0， 即，

而=sin-1()，∴cos2=(n2-1)

36.将灯丝至于空心玻璃球的中心，玻璃球的内外直径分别为８ｃｍ和９ｃｍ．求：（１）从球外观察到的灯丝像的位置（设玻璃折射率ｎ＝１．５）；（２）玻璃温度计管子的内外直径分别为１ｍｍ　和３ｍｍ，求从外侧观察到的直径数值；（３）统一温度计的竖直悬挂于直径100mm得盛水玻璃烧杯的正中，从较远处通过烧杯壁观察时，温度计的内外直径为多少？

解：∵ 

（1）①=1.5 , =1，s1=r1=4cm  , ∴1= 4cm 即在球心处

②=1.5 , =1，s2=4.5cm  ∴2= 4.5cm 即像仍在球心处

（2）①=1.5 , =1，r1=4cm ，s1=3.85cm  ∴1= 3.896cm

②=1.5 , =1，s2=4.396cm   ∴2= 4.348cm

d=0.304cm=3mm

(3) ①=1.33 , =1.5，r1=1.5mm ,s=1mm ∴1= 0.96mm

s2=49.46mm  ∴ 2= 4.348cm  ∴d(内)=1.5mm

②=1 , =1.33，r1=50mm ,s=48.5mm  ∴2= 48.1mm  ∴d(外)=4mm

37．如题所示为梅斯林分波面干涉实验装置。其中、分别为两块半透镜试证来自       定性讨论与轴线垂直的光屏上接收到的干涉图样的特点。

证明：∵物象具有等光程性，

sl1ps1=so1o2s2s1

sl1s2=so1o2s2                      

sl1p=sl1ps1-ps1=sl1ps1-ps1

sl1s2p=sl1s2+s2p=ps2

so1o2s2s1-so1o2s2 = s1s2=l=sl1ps1-sl2s2

∴=sl1p-sl1s2p=l-(ps1-ps2)

38．把杂质扩散到玻璃中可以增大玻璃的折射率，这就有可能造出一个后度均匀的透镜。已知圆板半径为R，厚度为d，如图所示，求沿半径变化的折射率n（r），它会使从A点发出的光线传播到B点。假定这是个薄透镜，«a，d«b。

解：d<

圆板中心处的折射率为n(0),半径r处的折射率为n(r)，

光程：L= n(r)d +

有费马定理得    解得：

n(r)= n(0)+

39．一弯凸透镜的两个表面的半径的

凸面镀银。在距球面左侧40cm处的主轴上置一高为1cm的物，试求最后成像的位置和像

的性质。

解：（1）经第一界面折射成像

∵  其中，=1.5 , =1,1=-20cm ,s=-40cm

∴=-30cm

(2) 经第二界面（镀银面）反射成像

 ,其中，s=-30cm，=-15cm

∴=-10cm

（3）在经第一界面折射成像

  其中，=1 , =1.5,1=-20cm ,s=-10cm

∴=-8cm

放大率为：1==0.5 ，2=-=- ，3==

123=-0.2

最后像在透镜左方8 cm处，为一大小是原物0.2倍倒立缩小实像。

40．一折射率位n，曲率半径为R1和R2的薄凸透镜放在折射率分别为n1和n2的两种介质之间，s1和s2分别为物距和像距，f1和f2是物方和像方焦距。证明：。

证明：因为任一光线由物点到像点的光程相等，所以

   又

∴                            ①

∵物方焦距                             ②

像方焦距                                 ③

由①②③得  .

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a448015cbc64783e0912a21614791711cd79790e.html