数学难题
一.填空题(共2小题)
1.如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=.第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1;O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合,折痕与BD交于点O2;设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合,折痕与BD交于点O3,….按上述方法折叠,第n次折叠后的折痕与BD交于点On,则BO1= _________ ,BOn= _________ .
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(﹣3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为 _________ ;抛物线C8的顶点坐标为 _________ .
二.解答题(共28小题)
3.已知:关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0(k≥1).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)当k取哪些整数时,方程的两个实数根均为整数.
4.已知:关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0.
(1)求证:方程总有实数根;
(2)当k取哪些整数时,关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数?
5.在平面直角坐标系中,将直线l:沿x轴翻折,得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将抛物线C1:沿x轴平移,得到一条新抛物线C2与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若线段DF∥x轴,求抛物线C2的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点F在y轴右侧,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,一条直线m(m不过△AFH的顶点)与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既平分△AFH的面积,又平分△AFH的周长,求直线m的解析式.
6.已知:关于x的一元二次方程﹣x2+(m+4)x﹣4m=0,其中0<m<4.
(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示);
(2)设抛物线y=﹣x2+(m+4)x﹣4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),若点D的坐标为(0,﹣2),且AD•BD=10,求抛物线的解析式;
(3)已知点E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在(2)中的抛物线上,是否存在含有y1、y2、y3,且与a无关的等式?如果存在,试写出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.
7.点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2(m为常数,m>0)上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.
(1)当m=2,点P横坐标为4时,求Q点的坐标;
(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a;
(3)如图,点Q在第一象限内,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.
8.关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根,且c为正整数.
(1)求c的值;
(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.点P为对称轴上一点,且四边形OBPC为直角梯形,求PC的长;
(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点D的坐标为(m,n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点,且一个交点在PC边上时,直接写出m的取值范围.
9.如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:FD2=FB•FC.
10.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.
求证:(1)∠EAD=∠EDA.
(2)DF∥AC.
(3)∠EAC=∠B.
11.已知:关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0(m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论m取何值,抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1总过x轴上的一个固定点;
(3)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0有两个不相等的整数根,把抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
12.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC= _________ ;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H.当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论.
13.已知关于x的方程mx2+(3﹣2m)x+(m﹣3)=0,其中m>0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,其中x1>x2,若,求y与m的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,请根据函数图象,直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围.
14.已知:关于x的一元二次方程x2+(n﹣2m)x+m2﹣mn=0①
(1)求证:方程①有两个实数根;
(2)若m﹣n﹣1=0,求证:方程①有一个实数根为1;
(3)在(2)的条件下,设方程①的另一个根为a.当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n﹣2m)x+m2﹣mn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时,求线段CD的最大值.
15.如图,已知抛物线y=(3﹣m)x2+2(m﹣3)x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上,直线y=mx+b经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C.
(1)确定直线AB的解析式;
(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°,与x轴交于点D,与y轴交于点E,求sin∠BDE的值;
(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上,且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在直线BG上,请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标.
16.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
(1)证明BF是⊙O的切线;
(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.
17.如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为p.
(1)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则p= _________ ;
(2)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则p的取值范围是 _________ .
小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论,小亮先提出了自己的想法:将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C,再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C,如图2所示.则由轴对称的性质可知,DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短,可得p≥DD2.老师听了后说:“你的想法很好,但DD2的长度会因点D的位置变化而变化,所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说:“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法,写出你的答案.
18.已知关于x的方程x2﹣(m﹣3)x+m﹣4=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;
(3)设抛物线y=x2﹣(m﹣3)x+m﹣4与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M,求m的值.
19.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=.点D在边AC上(不与A,C重合),连接BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连接CF、EF、CE,如图1. 设CF=kEF,则k= _________ ;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
20.我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:如图1,平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.
(1)如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):
①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是 _________ ;
②如图4,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是 _________ .
21.已知:关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2﹣bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;
(2)求代数式的值;
(3)求证:关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
22.已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3),(3,0),(﹣2,﹣5).求:
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的最值;
(3)若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ACB是等腰三角形,求出点B的坐标.
24.根据所给的图形解答下列问题:
(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,把△ABD绕点A旋转,并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形,请你在图中完成这个作图;
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,请你设计一种与(1)不同的方法,将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形;
(3)设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正形,并根据你所画的图形,证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.
25.例.如图①,平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积.
解:过点B作BD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E.依题意,可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE
=
=×(3+4)×(5﹣2)+×2×3﹣×5×4=3.5.
∴△OBC的面积为3.5.
(1)如图②,若B(x1,y1)、C(x2,y2)均为第一象限的点,O、B、C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法,求△OBC的面积(用含x1、x2、y1、y2的代数式表示);
(2)如图③,若三个点的坐标分别为A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积.
26.阅读:
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点,得到一个新图形称为原图形的像.如果原图形每一个点只对应像的一个点,且像的每一个点也只对应原图形的一个点,这样的运动称为几何变换.特别地,当新图形与原图形的形状大小都不改变时,我们称这样的几何变换为正交变换.
问题1:我们学习过的平移、 _________ 、 _________ 变换都是正交变换.
②如果一个图形绕着一个点(旋转中心)旋转n° (0<n≤360)后,像又回到原图形占据的空间(重合),则称该变换为该图形的 n度旋转变换.特别地,具有180˚旋转变换的图形称为中心对称图形.
例如,图A中奔驰车标示意图具有120°,240°,360°的旋转变换.
图B的几何图形具有180°的旋转变换,所以它是中心对称图形.
问题2:图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换,请分别写出n的最小值.
答:(图C) _________ ; 答:(图D) _________ .
问题3:如果将图C和图D的旋转中心重合,组合成一个新的平面图形,它具有n度旋转变换,则n的最小值为 _________ .
问题4:请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形.(要求以O为旋转中心,顶点在直线与圆的交点上)
27.已知:点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内,把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三点共线,如图所示.
(1)若△CDP、△EFP均为等腰三角形,且DF=2,求AB的长;
(2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似,求四边形CDFE的面积的最小值.
28.在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=﹣x+交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合,如图A所示.把三角板绕着点O顺时针旋转,旋转角度为α(0°<α<180°),使B点恰好落在AC上的B'处,如图B所示.
(1)求图A中的点B的坐标;
(2)求α的值;
(3)若二次函数y=mx2+3x的图象经过(1)中的点B,判断点B′是否在这条抛物线上,并说明理由.
29.已知:如图,AC是⊙O的直径,AB是弦,MN是过点A的直线,AB等于半径长.
(1)若∠BAC=2∠BAN,求证:MN是⊙O的切线.
(2)在(1)成立的条件下,当点E是的中点时,在AN上截取AD=AB,连接BD、BE、DE,求证:△BED是等边三角形.
30.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点.如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径,发现直尺的长度不够.
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)
2012年初中难题数学组卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共2小题)
1.如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=.第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1;O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合,折痕与BD交于点O2;设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合,折痕与BD交于点O3,….按上述方法折叠,第n次折叠后的折痕与BD交于点On,则BO1= 2 ,BOn= .
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(﹣3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为 (3,2) ;抛物线C8的顶点坐标为 (55,) .
二.解答题(共28小题)
3.已知:关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0(k≥1).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)当k取哪些整数时,方程的两个实数根均为整数.
4.已知:关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0.
(1)求证:方程总有实数根;
(2)当k取哪些整数时,关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数?
5.在平面直角坐标系中,将直线l:沿x轴翻折,得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将抛物线C1:沿x轴平移,得到一条新抛物线C2与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若线段DF∥x轴,求抛物线C2的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点F在y轴右侧,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,一条直线m(m不过△AFH的顶点)与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既平分△AFH的面积,又平分△AFH的周长,求直线m的解析式.
6.已知:关于x的一元二次方程﹣x2+(m+4)x﹣4m=0,其中0<m<4.
(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示);
(2)设抛物线y=﹣x2+(m+4)x﹣4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),若点D的坐标为(0,﹣2),且AD•BD=10,求抛物线的解析式;
(3)已知点E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在(2)中的抛物线上,是否存在含有y1、y2、y3,且与a无关的等式?如果存在,试写出一个,并加以证明;如果不存在,说明理由.
7.点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2(m为常数,m>0)上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.
(1)当m=2,点P横坐标为4时,求Q点的坐标;
(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a;
(3)如图,点Q在第一象限内,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.
8.关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根,且c为正整数.
(1)求c的值;
(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.点P为对称轴上一点,且四边形OBPC为直角梯形,求PC的长;
(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点D的坐标为(m,n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点,且一个交点在PC边上时,直接写出m的取值范围.
9.如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:FD2=FB•FC.
10.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.
求证:(1)∠EAD=∠EDA.
(2)DF∥AC.
(3)∠EAC=∠B.
11.已知:关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0(m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论m取何值,抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1总过x轴上的一个固定点;
(3)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0有两个不相等的整数根,把抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
12.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC= 45° ;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H.当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论.
13.已知关于x的方程mx2+(3﹣2m)x+(m﹣3)=0,其中m>0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,其中x1>x2,若,求y与m的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,请根据函数图象,直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围.
14.已知:关于x的一元二次方程x2+(n﹣2m)x+m2﹣mn=0①
(1)求证:方程①有两个实数根;
(2)若m﹣n﹣1=0,求证:方程①有一个实数根为1;
(3)在(2)的条件下,设方程①的另一个根为a.当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n﹣2m)x+m2﹣mn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时,求线段CD的最大值.
15.如图,已知抛物线y=(3﹣m)x2+2(m﹣3)x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上,直线y=mx+b经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C.
(1)确定直线AB的解析式;
(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°,与x轴交于点D,与y轴交于点E,求sin∠BDE的值;
(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上,且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在直线BG上,请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标.
16.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
(1)证明BF是⊙O的切线;
(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.
17.如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为p.
(1)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则p= ;
(2)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则p的取值范围是 ≤p<3 .
小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论,小亮先提出了自己的想法:将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C,再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C,如图2所示.则由轴对称的性质可知,DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短,可得p≥DD2.老师听了后说:“你的想法很好,但DD2的长度会因点D的位置变化而变化,所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说:“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法,写出你的答案.
18.已知关于x的方程x2﹣(m﹣3)x+m﹣4=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;
(3)设抛物线y=x2﹣(m﹣3)x+m﹣4与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M,求m的值.
19.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=.点D在边AC上(不与A,C重合),连接BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连接CF、EF、CE,如图1. 设CF=kEF,则k= 1 ;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
20.我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:如图1,平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.
(1)如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):
①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是 S1+S4=S2+S3,S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或 ;
②如图4,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是 S1×S3=S2×S4或 .
21.已知:关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2﹣bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;
(2)求代数式的值;
(3)求证:关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
22.已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3),(3,0),(﹣2,﹣5).求:
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的最值;
(3)若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ACB是等腰三角形,求出点B的坐标.
24.根据所给的图形解答下列问题:
(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,把△ABD绕点A旋转,并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形,请你在图中完成这个作图;
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,请你设计一种与(1)不同的方法,将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形;
(3)设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正形,并根据你所画的图形,证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.
25.例.如图①,平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积.
解:过点B作BD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E.依题意,可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE
=
=×(3+4)×(5﹣2)+×2×3﹣×5×4=3.5.
∴△OBC的面积为3.5.
(1)如图②,若B(x1,y1)、C(x2,y2)均为第一象限的点,O、B、C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法,求△OBC的面积(用含x1、x2、y1、y2的代数式表示);
(2)如图③,若三个点的坐标分别为A(2,5),B(7,7),C(9,1),求四边形OABC的面积.
26.阅读:
①按照某种规律移动一个平面图形的所有点,得到一个新图形称为原图形的像.如果原图形每一个点只对应像的一个点,且像的每一个点也只对应原图形的一个点,这样的运动称为几何变换.特别地,当新图形与原图形的形状大小都不改变时,我们称这样的几何变换为正交变换.
问题1:我们学习过的平移、 旋转 、 轴对称 变换都是正交变换.
②如果一个图形绕着一个点(旋转中心)旋转n° (0<n≤360)后,像又回到原图形占据的空间(重合),则称该变换为该图形的 n度旋转变换.特别地,具有180˚旋转变换的图形称为中心对称图形.
例如,图A中奔驰车标示意图具有120°,240°,360°的旋转变换.
图B的几何图形具有180°的旋转变换,所以它是中心对称图形.
问题2:图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换,请分别写出n的最小值.
答:(图C) 60° ; 答:(图D) 45° .
问题3:如果将图C和图D的旋转中心重合,组合成一个新的平面图形,它具有n度旋转变换,则n的最小值为 180° .
问题4:请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形.(要求以O为旋转中心,顶点在直线与圆的交点上)
27.已知:点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内,把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三点共线,如图所示.
(1)若△CDP、△EFP均为等腰三角形,且DF=2,求AB的长;
(2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似,求四边形CDFE的面积的最小值.
28.在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=﹣x+交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合,如图A所示.把三角板绕着点O顺时针旋转,旋转角度为α(0°<α<180°),使B点恰好落在AC上的B'处,如图B所示.
(1)求图A中的点B的坐标;
(2)求α的值;
(3)若二次函数y=mx2+3x的图象经过(1)中的点B,判断点B′是否在这条抛物线上,并说明理由.
29.已知:如图,AC是⊙O的直径,AB是弦,MN是过点A的直线,AB等于半径长.
(1)若∠BAC=2∠BAN,求证:MN是⊙O的切线.
(2)在(1)成立的条件下,当点E是的中点时,在AN上截取AD=AB,连接BD、BE、DE,求证:△BED是等边三角形.
30.在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点.如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径,发现直尺的长度不够.
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法.(写出主要解题过程)
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