苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试
数学Ⅰ
参考公式：
球的表面积为，其中
表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1.已知全集集合
则
▲ .
2.已知是虚数单位，实数
满足
则
▲ .
3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在
（元）内应抽出 ▲ 人.
4.如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出
的值是 ▲ .
5.若一个长方体的长、宽、高分别为、
、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .
6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .
7.已知等比数列的前
项和为
，若
，则
的值是 ▲ .
8.已知双曲线的右焦点为
若以
为圆心的圆
与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .
9.由命题“”是假命题，求得实数
的取值范围是
，则实数
的值是 ▲ .
10.已知实数满足约束条件
（
为常数），若目标函数
的最大值是
，则实数
的值是 ▲ .
11.已知函数，当
时，
，则实数
的取值范围是 ▲ .
12.已知角的终边经过点
，点
是函数
图象上的任意两点，若
时，
的最小值为
，则
的值是 ▲ .
13.若对满足条件的任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ .
14.如图，在等腰三角形
中，已知
分别是边
上的点，且
其中
若
的中点分别为
且
则
的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在△，已知
（1） 求角值；
（2） 求的最大值.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，已知平面
平面
且
,
.
（1） 求证：
（2） 若为棱
的中点，求证：
平面
.
17.（本小题满分14分）
如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9
和15
，从建筑物
的顶部
看建筑物
的视角
.
(1) 求的长度；
(2) 在线段
上取一点
点
与点
不重合），从点
看这两座建筑物的视角分别为
问点
在何处时，
最小？
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆
的焦距为2，且过点
.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若点，
分别是椭圆
的左、右顶点，直线
经过点
且垂直于
轴，点
是椭圆上异于
，
的任意一点，直线
交
于点
（ⅰ）设直线的斜率为
直线
的斜率为
，求证：
为定值；
（ⅱ）设过点
垂直于
的直线为
.
求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
19. （本小题满分16分）
已知函数
（1） 求函数在点
处的切线方程；
（2） 求函数单调区间；
（3） 若存在，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围.
20. （本小题满分16分）
已知且
令
且对任意正整数
，当
时，
当
时，
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若对任意的正整数，
恒成立，问是否存在
使得
为等比数列？若存在，求出
满足的条件；若不存在，说明理由；
（3） 若对任意的正整数且
求数列
的通项公式.
徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括、
、
、
四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，
是⊙
的一条切线，切点为
直线
,
都是⊙
的割线，已知
求证：
B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）
若圆在矩阵
对应的变换下变成椭圆
求矩阵
的逆矩阵
.
C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆
的参数方程为
为参数,
,以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
若圆
上的点到直线
的最大距离为
，求
的值.
D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数满足
求
的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,已知抛物线的焦点为
过
的直线
与抛物线
交于
两点,
为抛物线的准线与
轴的交点.
(1) 若求直线
的斜率；
(2) 求的最大值.
23.（本小题满分10分）
已知数列满足
且
（1） 计算的值，由此猜想数列
的通项公式，并给出证明；
（2） 求证：当时，
数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题
1． 2．
3．
4．
5．
6．
7．
8． 9．
10．
11．
12．
13．
14．
二、解答题
15．⑴因为，
由正弦定理，得，…………………………………………2分
所以，所以
，………………………………4分
因为，所以
．…………………………………………………………6分
⑵ 由，得
，所以
，……………………………………10分
因为，所以
，……………………………………………12分
当，即
时，
的最大值为
． ……………………14分
16．⑴在四边形中，因为
，
，所以
，……………2分
又平面平面
，且平面
平面
，
平面
，所以
平面
，………………………………………4分
又因为平面
，所以
．………………………………………7分
⑵在三角形中，因为
，且
为
中点，所以
，………9分
又因为在四边形中，
，
，
所以，
，所以
，所以
，…………12分
因为平面
，
平面
，所以
平面
．…14分
17．⑴作，垂足为
，则
，
，设
，
则…………………2分
，化简得
，解之得，
或
（舍）
答：的长度为
．………………………………………………………………6分
⑵设，则
，
．………………………8分
设，
，令
，因为
，得
，当
时，
，
是减函数；当
时，
，
是增函数，
所以，当时，
取得最小值，即
取得最小值，………12分
因为恒成立，所以
，所以
，
，
因为在
上是增函数，所以当
时，
取得最小值．
答：当为
时，
取得最小值． ……………………………14分
18．⑴由题意得，所以
，又
，…………………………………2分
消去可得，
，解得
或
（舍去），则
，
所以椭圆的方程为
．……………………………………………………4分
⑵（ⅰ）设，
，则
，
，
因为三点共线，所以
， 所以，
，8分
因为在椭圆上，所以
，故
为定值．10分
（ⅱ）直线的斜率为
，直线
的斜率为
,
则直线的方程为
，…………………………………………12分
=
=
，
所以直线过定点
． ………………………………………………………16分
19．⑴因为函数，
所以，
，…………………………………………2分
又因为，所以函数
在点
处的切线方程为
． …………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有
在
上是增函数， ………………………………8分
又，所以不等式
的解集为
，
故函数的单调增区间为
．………………………………………………10分
⑶因为存在，使得
成立，
而当时，
，
所以只要即可．……………………………………………12分
又因为，
，
的变化情况如下表所示：
所以在
上是减函数，在
上是增函数，所以当
时，
的最小值
，
的最大值
为
和
中的最大值．
因为，
令，因为
，
所以在
上是增函数．
而，故当
时，
，即
；
当时，
，即
．………………………………………14分
所以，当时，
，即
，函数
在
上是增函数，解得
；当
时，
，即
，函数
在
上是减函数，解得
．
综上可知，所求的取值范围为
．………………………………16分
20．⑴当时，
且
，
所以，……………………………………2分
又当时，
且
，
，…………………………………………4分
因此，数列是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以，
．………………………………………………………5分
⑵因为，所以
，所以
，
，…………………………………8分
假设存在，
，使得
能构成等比数列，则
，
，
，
故，化简得
，与题中
矛盾，
故不存在，
使得
为等比数列． ……………………………………………10分
⑶因为且
，所以
所以
所以，……………………………………………12分
由⑴知，，所以
，…………………………………13分
，………………………………………………14分
所以，…………………………………16分
2012—2013学年度高三
数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
21．A．因为为切线，
为割线，所以
，
又因为，所以
．……………………………………………4分
所以，又因为
，所以
∽
，
所以，又因为
，所以
，
所以．………………………………………………………………………10分
B．设点为圆C：
上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为
，
则，所以
…………………………………………2分
因为点在椭圆
：
上，所以
，………………4分
又圆方程为，故
，即
，又
，
，所以
，
．
所以，……………………………………………………………………6分
所以．…………………………………………………………………10分
C．因为圆的参数方程为
（
为参数，
），消去参数得，
，所以圆心
，半径为
，……3分
因为直线的极坐标方程为
，化为普通方程为
，………6分
圆心到直线
的距离为
，……………………8分
又因为圆上的点到直线
的最大距离为3，即
，所以
．…10分
D．由柯西不等式，，……5分
因为，所以
，
当且仅当，即
时，等号成立，
所以的最小值为
．…………………………………………………10分
22．⑴因为抛物线焦点为
，
．
当轴时，
，
，此时
，与
矛盾，……………2分
所以设直线的方程为
，代入
，得
，
则，
， ①所以
，所以
，②…4分
因为，所以
，将①②代入并整理得，
，
所以.………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以
，当且仅当
，即
时，取等，所以
，所以
的最大值为
.……………………10分
23．⑴，
，
，猜想：
．……………………………2分
①当时，
，结论成立；
②假设当时，结论成立，即
，
则当时，
，
即当时，结论也成立，由①②得，数列
的通项公式为
．5分
⑵原不等式等价于．
证明：显然，当时，等号成立；
当时，
，
综上所述，当时，
．…………………………………………………10分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9f6595dc195f312b3169a581.html
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