（教师）成都市武侯区2014-2015年七年级（下）期末数学试题（含答案）

武侯区2014～2015学年度下期期末学生学业质量监测试题

七年级数学

注意事项：

1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．

2. 考生使用答题卡作答．

3. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．

4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．

A 卷（共100分）

第Ⅰ卷（选择题，共30分）

一、选择题（每小题3分，共30分)每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案凃在答题卡上．

1．下列运算正确的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列图形中，轴对称图形是（ ）

A． B． C． D．

3．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，

则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）

A．相等 B．互余 C．互补 D．对顶角

4．下列各式中，计算结果为81－x2的是（ ）

A． B．

C． D．

5．如图，已知AB//CD，∠A=70°，则∠1度数是（ ）

A．70° B．100° C．110° D．130°

6．国家质检总局出台了国内销售纤维制品的甲醛含量标准，从2003年1月1日起正式实施.该标准规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应在百万分之七十五以下.百万分之七十五用科学记数法表示应写成（ ）

A．7.5×10-6 B．7.5×10-5 C．7.5×10-4 D．7.5×105

7. 一个长方形的面积为4a2－6ab+2a，它的长为2a，则宽为（ ）

A． 2a－3b +1 B．2a－3b C．2a－6b+1 D．4a－6b+2

8．下列事件：

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等． ②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．

③任取两个正整数，其和大于1．④有两边及一角对应相等的三角形全等．

其中确定事件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．如图，在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件：

（1）AB=DE,（2）BC=EF，（3）AC=DF，

（4）∠A=∠D，（5）∠B=∠E，（6）∠C=∠F，

以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF

全等的是（ ）

A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3）

C．（4）（6）（1） D．（2）（3）（4）

10．如图是某人骑自行车的行驶路程s（千米）与行驶时间（时）

的函数图象，下列说法不正确的是（ 　 ）

A．从1时到2时匀速前进　

B．从1时到2时在原地不动

C．从0时到3时，行驶了30千米

D．从0时到1时与从2时到3时的行驶速度相同

二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11． 若=35°，则的补角的度数是 度．

12．如图，已知于，于，点C在BD上，且，，则＝______度.

13．计算： = ．

14．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，过点D作 EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8cm，CF＝5cm，则EF＝ .

三．解答题（本大题共6个小题，共54分）

15．（本小题满分12分，每题6分）

（1） 计算：

（2） 计算：

16．（本小题满分7分）

如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求当a=3，b=2时的绿化面积.

分析：由题意可知，题中的绿化面积等于大长方形的面积减去中间小正方形的面积
即得：，当a=3，b=2，

解：S阴影=（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2，
=6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2，
=5a2+3ab（平方米）
当a=3，b=2时，5a2+3ab=5×9+3×3×2=45+18=63（平方米）．

17．（本小题满分8分）

如图，已知的面积是，，在边上有一动点，连接，设，．

（1）作AD⊥BC于D，求与之间的关系式；

（2）用表格表示当从1变到6时（每次增加1），的相应值；

（3）当每增加1时，如何变化？

18．（本小题满分8分）

某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班甲、乙两名优秀读者都想获得A名著，于是班主任决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A名著，你认为此规则对甲、乙双方公平吗？为什么？

分析：首先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与数字之和为奇数与偶数情况，利用概率公式求出二者的概率，概率相等规则合理，否则不合理。
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，两数之和是偶数的有2种情况，是奇数的有4种情况，
∴甲获胜的概率：P（甲获胜）=，乙获胜的概率：P（乙获胜）=，
∵P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平。

19．（本小题满分9分）

已知：如图，，，点在上，．

求证：（1）；（2）∥．

20．（本小题满分10分）

如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD.

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，

试判断△AEF的形状，并说明理由．

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

21．已知，则的值为 ．

22．从长为10cm、7cm、4cm、3cm的四条线段中任选三条，则所选三条线段能够成三角形的概率是_____．

23．如图，在ΔABC中，∠BAC＝90°，DA⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于F，交AC于E，若AE＝3，DF =2，则AD=____5___．

证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，

∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°，
∵DA⊥BC，
∴∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．

∴AD= AF+ DF= AE+ DF=3+2=5
分析：根据角平分线的定义求出∠ABE=∠EBC，再利用∠BAC=90°，AD⊥BC于点D推出∠AEF=∠AFE，然后根据等角对的等边的性质即可得证

24．观察下列各式后填空：

①； ②；

③；

（1）利用你发现的规律计算： = ；

（2）利用该规律计算： = ．

2.观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1； 
            ……
（1）根据规律填空 (x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=                 ；
（2）根据规律计算 2100+299+298+297+…+22+2 +1=                 

解：（1）xn+1-1 
（2）2101-1

探索发现：
（1）计算下列各式：
①（x-1）（x+1）；
②（x-1）（x2+x+1）；
③（x-1）（x3+x2+x+1）．
（2）观察你所得到的结果，你发现了什么规律？并根据你的结论填空：
（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=______（n为正整数）．

（1）①（x-1）（x+1）=x2-1；
②（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；
③（x-1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x-x3-x2-x-1=x4-1；
（2）归纳总结得：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=xn+1-1．
故答案为：（1）①x2-1；②x3-1；③x4-1；（2）xn+1-1．

试观察下列各式的规律：
（x－1）（x＋1）＝x2－1，
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1，
……
根据上面各式的规律解答：
（1）猜想：（x－1）（x10＋x9＋x8＋…＋x＋1）＝________；
（x－1）（xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1）＝________（n为正整数）；
（2）利用上面猜想的规律求220＋219＋218＋…＋22＋2＋1的值．

观察下列各式：  (x－1)(x＋1)＝x2－1；

(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；

(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；

… … …

(1)根据规律填空 (x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)＝____________．

(2)根据规律计算  2100＋299＋298+297+…+22+2 +1＝             .

(1) xn＋1－1         (2) 2101－1

25. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC；其中正确的结论有__________________．

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：
①∠ADC=45°；②BD=1/2AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC；其中正确的结论有（　　）

分析：过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DM=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；证△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出④．

解答：解：过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③正确；

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=1/2∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=1/2AE，
∵AN=BD，
∴BD=1/2AE，
∴①正确，②正确；过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
∠M=∠DHB=90°，∠MCD=∠DBA，DM=DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，
由勾股定理得：AM=AH，
∴

=

=

=

=2，
∴AC+AB=2AM，
AC+AB=2AC+2CM，
AB-AC=2CM，
∵AC=CB，
∴AB-CB=2CM，
∴④正确．
故选D．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26.（本小题满分8分）

（1）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝4，求a2＋b2和ab的值．

（2）已知满足，求代数式的值

27. （本小题满分10分）

如图，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为x km，这辆货车每天行驶的路程为y km．

（1）用含x的代数式填空：

当0≤x ≤25时：

货车从H到A往返1次的路程为2x km，

货车从H到B往返1次的路程为____________km，

货车从H到C往返2次的路程为____________km，

当25＜x ≤35时：

这辆货车每天行驶的路程y＝_________________；

（2）求y与x之间的关系式；

（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？（直接写出结果，不必写出解答过程） 

如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm．

（1）用含的代数式填空：
当0≤x≤25时，
货车从H到A往返1次的路程为2xkm，
货车从H到B往返1次的路程为 （60-2x） km，
货车从H到C往返2次的路程为 （140-4x） km，
这辆货车每天行驶的路程y= -4x+200 ．
当25＜x≤35时，
这辆货车每天行驶的路程y= 100 ；
（2）请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图象；
（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？

（1）根据当0≤x≤25时，结合图象分别得出货车从H到A，B，C的距离，进而得出y与x的函数关系，再利用当25＜x≤35时，分别得出从H到A，B，C的距离，即可得出y=100；
（2）利用（1）中所求得出，利用x的取值范围，得出y与x的函数图象以及直线y=100的图象；
（3）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．

解：（1）∵当0≤x≤25时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+25-x）=60-2x，
货车从H到C往返2次的路程为：4（25-x+10）=140-4x，
这辆货车每天行驶的路程为：y=60-2x+2x+140-4x=-4x+200．
当25＜x≤35时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+x-25）=2x-40，
货车从H到C往返2次的路程为：4[10-（x-25）]=140-4x，
故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x-40+140-4x=100；
故答案为：（60-2x），（140-4x），-4x+200，100；

（2）根据当0≤x≤25时，y=-4x+200，
x=0，y=200，x=25，y=100，
当25＜x≤35时，y=100；
如图所示：

（3）根据（2）图象可得：
当25≤x≤35时，y恒等于100km，此时y的值最小，得出配货中心H建CD段，这辆货车每天行驶的路程最短为100km．

分析：（1）根据当0≤x≤25时，结合图象分别得出货车从H到A，B，C的距离，进而得出y与x的函数关系，再利用当25＜x≤35时，分别得出从H到A，B，C的距离，即可得出y=100；
（2）利用（1）中所求得出，利用x的取值范围，得出y与x的函数图象以及直线y=100的图象；
（3）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．
（1）∵当0≤x≤25时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+25-x）=60-2x，
货车从H到C往返2次的路程为：4（25-x+10）=140-4x，
这辆货车每天行驶的路程为：y=60-2x+2x+140-4x=-4x+200．
当25＜x≤35时，
货车从H到A往返1次的路程为2x，
货车从H到B往返1次的路程为：2（5+x-25）=2x-40，
货车从H到C往返2次的路程为：4[10-（x-25）]=140-4x，
故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x-40+140-4x=100；
（2）根据当0≤x≤25时，y=-4x+200，
x=0，y=200，x=25，y=100，
当25＜x≤35时，y=100；
如图所示：

如图（1），A、B、C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D、D与C、D与B之间的路程分别为25、10、5．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为，这辆货车每天行驶的路程为．

（一）用含的代数式填空：
（1）当0≤≤25时，货车从H到A往返1次的路程为
①货车从H到B往返1次的路程为；
②货车从H到C往返2次的路程为；
③这辆货车每天行驶的路程．
（2）当25＜≤35时，求这辆货车每天行驶的路程．
（二）请在图（2）中画出与（0≤≤35）的函数图象；

（三）直接写出配货中心H建在哪段，使得这辆货车每天行驶的路程最短．

（一）（1）当时，H在A与D的路段上，如图(1)-1

∵到的路程为
∴货车从H到A往返1次的路程是
①∵D与B之间的距离是5km
∴货车从H到B往返1次的路程是km，
即km
②∵D与C之间的距离是10km 
∴货车从H到C往返2次的路程是km，即km
③这辆货车每天行驶的路程：
（2）当时，H在D与C的路段上，如图(1)-2
此时货车从H到B的往返1次的路程为：；
从H到C往返2次的路程为：；
这辆货车每天行驶的路程：km
（二）由（一）得解析式，描点作出相应的图象；
（三）只要配货中心H建在D与C之间的路段上，每天路程为100km，为最短路程，
如下图所示。
分析： 考点

如图（1），A、B、C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D、D与C、D与B之间的路程分别为25、10、5．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为，这辆货车每天行驶的路程为．

（一）用含的代数式填空：

（1）当0≤≤25时，货车从H到A往返1次的路程为

①货车从H到B往返1次的路程为             ；

②货车从H到C往返2次的路程为             ；

③这辆货车每天行驶的路程                ．

（2）当25＜≤35时，求这辆货车每天行驶的路程．

（二）请在图（2）中画出与（0≤≤35）的函数图象；

（三）直接写出配货中心H建在哪段，使得这辆货车每天行驶的路程最短．

28.（本小题满分12分）

如图，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为3的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．

（1）如图甲，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；

（2）如图乙，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；

（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥EF？并求此时△AEF的周长．

如图甲，已知∠ABC=90°，△ABD是边长为2的等边三角形，点E为射线BC上任意一点（点E与点B不重合），连结AE，在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．

（1）如图乙，当BE=BA时，求证：△ABE≌△ADF；

（2）如图甲，当△AEF与△ABD不重叠时，求∠FGC的度数；

（3）若将已知条件中的“在AE的上方作等边三角形AEF，连结FD并延长交射线BC于点G．”改为“在AE的下方作等边三角形AEF，连结FD交射线BC于点G．”（如图丙所示），试问当点E在何处时BD∥EF？并求此时△AEF的周长

主要过程：

（1）图乙，无论是否BE=BA，都有△ABE≌△ADF，因为AF=AE，AD=AB，∠1=∠1‘=60°-∠2，边角边型全等。

（2）图甲，根据（1）同理证得△ABE≌△ADF，则∠2=∠2'，又因为对顶角∠3=∠3'，

所以∠4=∠4=60°

（3）图丙，显然大小三角形的A角重合，同位角都等于60度，两底边平行。

此时，BE是△AEF的AF边上的中垂线，AB=BF，所以△AEF的周长=6AB=6*2=12

如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=      °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

试题分析：（1）由△ACP≌△BCQ得到∠APC=∠Q，根据圆周角定理，点P、E、C、Q 四点共圆，所以∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）同（1）可得．
（3）证明△GBC为等腰直角三角形，即可根据等腰直角三角形的性质求得BQ的长．
（1）60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴点P、E、C、Q 四点共圆．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）60°．以∠DAC是锐角为例证明如下:
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由题意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴点P、E、C、Q 四点共圆．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（3）设PC与BQ交于点G，
由题意可求，∠APC=30°，∠PCB=45°．
又由（2）可证 ∠QEP=60°．
∴可证QE垂直平分PC，
∴△GBC为等腰直角三角形．
∵AC=4，
∴，
∴．

如图①，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F。

（1）如图②，当BP＝BA时，∠EBF＝           ，猜想∠QFC＝           ；（2分）

（2）如图①，当点P为射线BC上任意一点时，求证∠QFC＝60°；（4分）

（3）已知线段AB＝，设BP＝，点Q到射线BC的距离为，求关于的函数关系式。（4分）

图△如ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴EC=CD=DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，且∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；

（2）在BC上截取CF，使DF=BC，
∴BC-DC=DF-DC，即BD=CF，
由（1）△ABD≌△ACE得到BD=CE，
∴EC=FC，
又CE∥AB，∴∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∠EDF+60°=∠BAD+60°，
∴∠EDF=∠BAD，
又DF=BC=AB，
∴△ABD≌△DFE，
∴AD=DE，即△ADE是等边三角形．

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合）．以AD为一边向右侧作等边△ADE（C与E不重合），连接CE．
（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为

60

度；
（2）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在（2）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若△ABC不是等边三角形，且BC＞AC（如图3所示）．试探究当点D在线段BC上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ACB满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由．

解：（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，△ABC为等边三角形，等边△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，
∵∠BAD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，
∴直线BD与直线CE所夹锐角为 60°；
 
（2）仍然有直线BD与直线CE所夹锐角为60°，
证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，

（3）问题（1）中结论不成立，当∠ACB=60°时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60°，
证明：①当CD＜AC时，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示），
∵∠ACB=60°，
∴△GAC是等边三角形，
∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，
从而∠CAE=∠GAD，
∴△ACE≌△AGD，
∴∠ACE=∠AGD=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，
此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°，
②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意． 
③当CD＞AC时，延长EC到H，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示）．
同（1）可证△ACE≌△AGD．
∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，
∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°，
此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°．

（1）根据△ABC为等边三角形，等边△ADE，得出△ABD≌△ACE，进而得出∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，从而得出答案；
（2）根据△ABC与△ADE都是等边三角形，得出△BAD≌△CAE，进而得出∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°；
（3）分别根据当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时，分别分析得出答案．

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