四年级奥数计算数阵图教师版

word/media/image1.gif

知识要点

放射型

老师带领同学们一起去参加数学灯谜会，同学们在里面玩的热火朝天，其中有个灯谜是这样的： 把word/media/image12.gif这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于word/media/image13.gif．那么应该怎么填呢？

word/media/image14_1.png word/media/image15_1.png

【分析】word/media/image16.gif，word/media/image17.gif，可见中间的重叠数为word/media/image18.gif。如此可得填法如右上图。

小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏，他们在地上画了个如图所示的数阵，丁丁出题，它在最中间的圆圈中写了数字word/media/image19.gif，要求当当把word/media/image20.gif这四个数填入剩下的四个○里，使两条直线上的三个数之和相等．你能帮当当解决这道题吗？

word/media/image21_1.png word/media/image22_1.png

【分析】根据题意可知两条直线上的三个数的和为word/media/image23.gif，在剩下的四个数中word/media/image24.gif，可得填法如右上图。

把word/media/image12.gif这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．

word/media/image25_1.png word/media/image26_1.pngword/media/image27_1.pngword/media/image28_1.png

【分析】根据题意可知word/media/image29.gif这几个数的和再与中间的重叠数作和结果是word/media/image30.gif的倍数，而word/media/image16.gif为奇数，那么中间的重叠数只能是奇数：word/media/image31.gif、word/media/image18.gif、word/media/image19.gif，由此可推得结果如右上图。

将word/media/image32.gif这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于word/media/image33.gif．你能做到吗？

　　　 word/media/image34_1.png word/media/image35_1.png

【分析】word/media/image36.gif，word/media/image37.gif，可见重叠数为word/media/image31.gif，那么可得填法如右上图。

把word/media/image32.gif这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

word/media/image34_1.png word/media/image38_1.pngword/media/image39_1.pngword/media/image40_1.png

【分析】word/media/image36.gif，这几个数的和再与重叠数的两倍作和是word/media/image18.gif的倍数，那么重叠数的取值有word/media/image41.gif，对应的每边三个数的和为word/media/image42.gif，可得填法见右上图。

数学王国的大门有一把密码锁，它的形状如下，只有将word/media/image43.gif填入其中的○内，其中word/media/image44.gif已填好，使每条边上的三个数之和都相等才能把这把锁打开，顺利的进入数学王国，你也试试吧．

word/media/image45_1.png word/media/image46_1.png

【分析】法一：每条边上的三个数之和等于word/media/image47.gif．剩下的十个数中，两两之和等于word/media/image48.gif的有word/media/image49.gif于是得到右上图的填法。

法二：五条边上除重叠数之外的两个数的和都是相等的，word/media/image50.gif，也即是说另两个数之和等于word/media/image51.gif，同样可得填法如右上图。

（第六届“中环杯”复赛）将word/media/image31.gif到word/media/image52.gif这11个数分别填入图中是每条线上三个数的和相等.

word/media/image53_1.png word/media/image54_1.pngword/media/image55_1.pngword/media/image56_1.png

【分析】因为word/media/image57.gif中间一个数（设为word/media/image58.gif）再重复word/media/image59.gif次，则五条边的总和为word/media/image60.gif，

word/media/image60.gif应正好可以整除word/media/image19.gif，则word/media/image61.gif经过验证，word/media/image62.gif，对应的每条边上三个数的和为word/media/image63.gif。可得填法如右上图。

将word/media/image32.gif这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于word/media/image64.gif．

word/media/image65_1.png word/media/image66_1.png

【分析】word/media/image67.gif中间数word/media/image68.gif中间数word/media/image69.gif，中间数为word/media/image59.gif，填法如右上图．

将word/media/image70.gif分别填入下图的○中，使得横、竖五个数相加的和都等于word/media/image71.gif。

word/media/image72_1.png word/media/image73_1.png

【分析】word/media/image74.gif；word/media/image75.gif；word/media/image76.gif，可见答案如右上图。（答案不唯一）

将word/media/image77.gif填入右图小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等．

word/media/image78_1.png

【分析】word/media/image79.gif，可见重叠数为奇数：word/media/image80.gif，那么可得答案如下图所示：

把word/media/image82.gif这word/media/image83.gif个数填入下图的○内，使每条直线上word/media/image18.gif个数的和为word/media/image13.gif，怎样填？

word/media/image84_1.png word/media/image85_1.png

【分析】设中间三个数为word/media/image86.gif，那么有word/media/image87.gif，可见word/media/image88.gif则word/media/image86.gif三个数分别为word/media/image89.gif.填法如右上图所示.

封闭型

周末小猪熊去小猴家里玩，过桥的时候遇到了狐狸，狐狸有意刁难它，就挡住了小猪熊的去路，狐狸狡猾的对它说：“只要你能把word/media/image90.gif六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于word/media/image13.gif．我就让你过桥．”小猪熊想了一下，不慌不忙的填了出来，你知道聪明的小猪熊是怎么解答的吗？

　　　　word/media/image91_1.png word/media/image92_1.png

【分析】根据题意，要求每边三个数的和都是word/media/image13.gif，那么三边的和应为word/media/image93.gif．但是word/media/image82.gif六个数的和等于word/media/image94.gif，三行数的和比题中六个数的和多word/media/image95.gif，也就是说三个顶点数之和是word/media/image83.gif：word/media/image96.gif，可得答案如右上图。

（word/media/image97.gif “数学解题能力展示"三年级组初赛试题）将word/media/image82.gif这六个自然数分别填入右图的六个○中使得三角形每条边上的三个数之和都相等．

word/media/image91_1.png

【分析】根据题意可知三个顶点中的数的和必为word/media/image18.gif的倍数，其中最小：word/media/image96.gif，最大：word/media/image98.gif，可见三个顶点的和只能是word/media/image99.gif或word/media/image44.gif，对应的每条边上的三数之和就是word/media/image100.gif或word/media/image64.gif．填法如下：

word/media/image101_1.png word/media/image102_1.png word/media/image103_1.png word/media/image104_1.png

每边三数之和word/media/image105.gif 每边三数之和word/media/image106.gif 每边三数之和word/media/image107.gif 每边三数之和word/media/image108.gif.

将自然数word/media/image32.gif填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．

word/media/image109_1.png word/media/image110_1.png

【分析】三角形顶上的数重叠word/media/image18.gif次，其他数都重叠word/media/image30.gif次．所以有：word/media/image111.gif顶上的数word/media/image112.gif每条线上的三个数之和word/media/image113.gif，word/media/image114.gif顶上的数word/media/image112.gif每条线上的三个数之和word/media/image113.gif．由上式等号左端是word/media/image19.gif的倍数，推知“顶上的数”word/media/image115.gif．所以每条线上的三个数之和为word/media/image116.gif．经试验可得如上填法(填法不唯一)。

（第七届小机灵杯复赛第word/media/image83.gif题）将word/media/image31.gif，word/media/image59.gif，word/media/image117.gif，word/media/image33.gif，word/media/image118.gif，word/media/image119.gif，word/media/image120.gif，word/media/image121.gif，word/media/image71.gif这word/media/image13.gif个数分别填入下图的word/media/image13.gif个○中，使三条边上○中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是 。

word/media/image122_1.png

【分析】这些数的和为word/media/image123.gif，而三条边上数的和的和等于这些数的和再加上三个顶点上的数的和，那么若要每条边上的四个数的和最大，则只需保证三个顶点上的数最大，那么三个顶点上的数应该为word/media/image71.gif，word/media/image121.gif，word/media/image120.gif，由此可知最大的和为word/media/image124.gif。

用1~9这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于A，问A可以等于哪些数?给出你的填法．

word/media/image125_1.png

【分析】word/media/image77.gif这九个数的和是word/media/image126.gif，于是顶点上的数之和应为word/media/image127.gif，这个和是word/media/image18.gif的倍数，它最小是word/media/image128.gif，最大是word/media/image129.gif，从而word/media/image58.gif可以取word/media/image130.gif．但是，当word/media/image58.gif为word/media/image131.gif或word/media/image132.gif时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以word/media/image58.gif只能为word/media/image133.gif这五个数．图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)给出了这五种填法．

word/media/image134_1.pngword/media/image135_1.pngword/media/image136_1.pngword/media/image137_1.pngword/media/image138_1.png

将word/media/image139.gif这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于word/media/image140.gif．

word/media/image141_1.png word/media/image142_1.png word/media/image143_1.png

【分析】word/media/image144.gif，word/media/image145.gif，可见两个重叠数之和为word/media/image83.gif：word/media/image146.gif、word/media/image147.gif，可得填法如右上图：

班上进行民主选举，谁能在图中word/media/image148.gif三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和，谁就是数学课代表，你也来试一试吧．

word/media/image149_1.png word/media/image150_1.png

【分析】如图，我们把三条直线上的三个和相加，相当于把word/media/image59.gif算了三遍，word/media/image151.gif算了一遍，三个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么word/media/image152.gif6+三个顶点和word/media/image112.gif三个顶点和word/media/image153.gif。那么很明显，这个word/media/image154.gif就是我们最关心的这个和的两倍，那么这个和就是word/media/image155.gif．所以，图中word/media/image156.gif处的数是word/media/image157.gif；图中word/media/image158.gif处的数是word/media/image159.gif；图中word/media/image160.gif处的数是word/media/image161.gif．答案如右上图所示。

如图 “学、而、思、未、来、命、运”这word/media/image117.gif个汉字分别代表word/media/image31.gif至word/media/image117.gif这word/media/image117.gif个数字。已知word/media/image18.gif条直线上的word/media/image18.gif个数相加、word/media/image30.gif个圆周上的word/media/image18.gif个数相加，所得的word/media/image19.gif个和相同。那么，“学”字代表多少？

word/media/image162_1.png

【分析】计算word/media/image19.gif个和的和，这个和一定是word/media/image19.gif的倍数，其中“学”字计算了三遍，其它数只是被计算了word/media/image30.gif遍，因此这个和等于word/media/image163.gif “学”word/media/image164.gif “学”，这个“学”只能是word/media/image59.gif才能保证这个和能被word/media/image19.gif整除。

word/media/image165.gif这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于word/media/image131.gif．

word/media/image166_1.pngword/media/image167_1.pngword/media/image168_1.pngword/media/image169_1.png

【分析】四个角上的数是重叠数，重叠次数为word/media/image31.gif．所以四个重叠数之和等于word/media/image170.gif．而在已知的八个数中，四数之和为word/media/image171.gif的只有：word/media/image172.gif或word/media/image173.gif．又由于word/media/image174.gif，word/media/image31.gif不是已知的八个数之一，所以，word/media/image175.gif和word/media/image13.gif只能填对角处．由此得到上面中间两图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意

把word/media/image31.gif，word/media/image30.gif，word/media/image18.gif，word/media/image59.gif，word/media/image19.gif，word/media/image83.gif，word/media/image117.gif，word/media/image175.gif，这word/media/image175.gif个数分别填入下图的word/media/image175.gif个空格中，使正方形每条边上三个数的和都等于word/media/image118.gif。

word/media/image176_1.pngword/media/image177_1.pngword/media/image178_1.png

【分析】因为每边上的和为word/media/image118.gif，那么四条边上的数字之和为word/media/image179.gif，而word/media/image180.gif，所以四个角上的四个数之和等于word/media/image181.gif。在word/media/image182.gif中选四个数，四数之和等于word/media/image119.gif，且其中任意三个的和不等于word/media/image118.gif的只有：word/media/image183.gif。经试验，只有右上图的两种填法。

20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入下图的八个○中(其

中3已经填好)，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等．

word/media/image184_1.png word/media/image185_1.pngword/media/image186_1.png

【分析】题中所给的数有1、5、7、11、13、17、19，这八个数的和为word/media/image187.gif，这个和再加上两个重叠数的两倍应该为word/media/image18.gif的倍数，设另一个重叠数为word/media/image58.gif,那么有word/media/image188.gif的倍数，word/media/image58.gif的取值有word/media/image189.gif，对应的每条线上四个数的和为word/media/image190.gif，其中当word/media/image58.gif取word/media/image191.gif的时候不合题意，那么可得填法见右上图。

已知word/media/image192.gif，word/media/image193.gif，word/media/image194.gif，word/media/image195.gif，word/media/image196.gif，word/media/image197.gif，word/media/image198.gif，word/media/image199.gif，那么这个圆上所有的数字之和是多少？

word/media/image200_1.png

【分析】每个数都被加了两次，所以圆上所有数字的和word/media/image201.gif。

在下图中的word/media/image33.gif个○内填入word/media/image202.gif这word/media/image33.gif个数字，使得循环式成立：

word/media/image204_1.pngword/media/image205_1.png

【分析】五个等式中有五个和式，其中两式的和大于另外三式的和，设较大的和为word/media/image206.gif，较小的和为word/media/image207.gif，则有：word/media/image208.gif，由上式知word/media/image207.gif必为奇数，又由word/media/image207.gif最小为word/media/image19.gif，最大为word/media/image117.gif，可得如右上图两解。

在下列各图中，分别从word/media/image182.gif中选择六个数填入□内，使得按顺时针方向计算的各关系式成立：

word/media/image209_1.pngword/media/image210_1.pngword/media/image211_1.png

【分析】能被word/media/image30.gif和word/media/image59.gif整除的数有word/media/image59.gif与word/media/image175.gif，左上角的数为word/media/image59.gif或word/media/image175.gif，如果为word/media/image175.gif，为一种情况，如果是word/media/image59.gif是另一种情况，答案见右上图。

将word/media/image31.gif，word/media/image30.gif，word/media/image18.gif，word/media/image59.gif，word/media/image19.gif，word/media/image83.gif，word/media/image117.gif，word/media/image175.gif，这word/media/image175.gif个数分别填入下图的word/media/image175.gif个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除word/media/image59.gif个正确的等式。

word/media/image212_1.pngword/media/image213_1.pngword/media/image214_1.png

【分析】小于word/media/image33.gif且能表示成两个不同的数的乘积的数只有word/media/image83.gif和word/media/image175.gif，如此可确定左下角的数为word/media/image30.gif，左上角和右下角的数可以是word/media/image83.gif或word/media/image175.gif,左边和下边对应填上word/media/image18.gif和word/media/image83.gif，剩下word/media/image31.gif、word/media/image19.gif、word/media/image117.gif，如此即可试出结果。

word/media/image215.gif分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？（只需填写一种）

word/media/image216_1.png word/media/image217_1.png

【分析】word/media/image218.gif用word/media/image219.gif表示靠近大三角形三条边的五个数的和。因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用word/media/image206.gif，b，word/media/image220.gif来表示这三个数)，其余均用了两次。于是word/media/image221.gif。要使word/media/image219.gif尽可能大，只要word/media/image222.gif尽可能小。所以，word/media/image223.gif。于是word/media/image224.gif，word/media/image225.gif。剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：word/media/image226.gif；word/media/image227.gif；word/media/image228.gif。经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一。

请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是word/media/image229.gif。

word/media/image230_1.pngword/media/image231_1.pngword/media/image232_1.pngword/media/image233_1.png

【分析】如果第一行填入的是word/media/image156.gif、word/media/image158.gif、word/media/image160.gif、word/media/image234.gif，则word/media/image235.gif，所以word/media/image236.gif不超过word/media/image83.gif且最小为word/media/image18.gif，如果word/media/image237.gif时，word/media/image238.gif，（word/media/image156.gif、word/media/image234.gif不能取word/media/image31.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif），第一行有两种情况：word/media/image117.gif，word/media/image31.gif，word/media/image30.gif，word/media/image59.gif与word/media/image59.gif，word/media/image31.gif，word/media/image30.gif，word/media/image117.gif，分别对应不同的第二行；当word/media/image239.gif时，word/media/image240.gif，其中word/media/image30.gif不能与word/media/image31.gif相邻，所以第一行只有一种情况，即word/media/image30.gif，word/media/image18.gif，word/media/image31.gif，word/media/image83.gif；当word/media/image241.gif时，word/media/image242.gif，不论怎样排列，都有重复，所以只有三种填法，如右上图。

能否将数word/media/image202.gif分别填入下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的word/media/image18.gif个顶点上的数之和相等？

word/media/image243_1.png

【分析】word/media/image244.gif，word/media/image245.gif中心数word/media/image246.gif个阴影三角形的word/media/image18.gif个顶点上的数字之和，所以中心数必须是word/media/image18.gif的倍数，只能是word/media/image247.gif，word/media/image18.gif，word/media/image83.gif，word/media/image13.gif。枚举法试验，中心数只能是word/media/image18.gif，word/media/image83.gif，答案如图。

下图包括word/media/image83.gif个加法算式，将word/media/image182.gif填入除最右边圆圈以外的word/media/image175.gif个圆圈中，使word/media/image83.gif个算式都成立。那么最右边的圆圈中的数是多少？应该怎么填？

word/media/image248_1.pngword/media/image249_1.png

【分析】最右边的数等于最左边三个数以及中间的数的和，即word/media/image250.gif。当这四个数分别取word/media/image31.gif、word/media/image18.gif、word/media/image83.gif、word/media/image30.gif时可以不出现重复数字，填法如右上图。

图中有大、中、小三个正方形，组成了word/media/image175.gif个三角形。现在先把word/media/image251.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif、word/media/image59.gif分别填在大正方形的4个顶点上，再把word/media/image251.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif、word/media/image59.gif分别填在中正方形的word/media/image59.gif个顶点上，最后把word/media/image251.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif、word/media/image59.gif分别填在小正方形的word/media/image59.gif个顶点上。 ⑴能否使word/media/image175.gif个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。⑵能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由。

word/media/image252_1.png word/media/image253_1.png

【分析】（word/media/image254.gif）不能，如果能，则word/media/image175.gif个三角形顶点和的总和应该是word/media/image175.gif的倍数，但是这个总和有三组word/media/image254.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif、word/media/image59.gif组成，其中一组被计算三次，一组被计算两次，一组被计算一次，因此该总和的值为word/media/image255.gif，不是word/media/image175.gif的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使word/media/image175.gif个三角形顶点上数字之和都相等。

（word/media/image30.gif）能，如上图。

一课一练

【练习1】 老师在一节课上出了一道智力题，题目是这样的，有一个图形（如下图），要求将6—10这五个数分别填在下图中的方格里，使得使得横行三数之和与竖列三数之和都等于24．那么应该怎么填呢？

word/media/image256_1.png word/media/image257_1.png

【分析】6+7+8+9+10=40，24×2-40=8，可见中间的重叠数为8。如此可得填法如右上图。

【练习2】 将8--14这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于33．你能做到吗？

　　　 word/media/image34_1.png word/media/image258_1.png

【分析】8+9+10+11+12+13+14=77，（33×3-77）÷2=11，可见重叠数为11，那么可得填法如右上图。

【练习3】 将word/media/image259.gif的数填入圆圈中，使每边上的3个数字之和都相等。

word/media/image260_1.png word/media/image261_1.png

【分析】 此图是辐射型word/media/image262.gif图，中间○内的word/media/image59.gif是重叠数，并且重叠了word/media/image30.gif次，所以每条边上的word/media/image18.gif个数之

和等于word/media/image263.gif,剩下的word/media/image83.gif个数中，两两之和等于word/media/image264.gif的有word/media/image265.gif,填法如右上图。

【练习4】 将word/media/image82.gif六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于word/media/image33.gif．

word/media/image91_1.png word/media/image266_1.png

【分析】因为每边上的和为word/media/image33.gif，那么三条边上的数之和为word/media/image267.gif，而word/media/image268.gif，所以三个角的三个数之和等于word/media/image269.gif，在word/media/image82.gif中选word/media/image18.gif个和为word/media/image13.gif的数，而且任意两个数的和大于或等于word/media/image270.gif，这样的组合有：word/media/image271.gif，经试验，填法如右上图．

【练习5】 唐僧师徒西天取经路过数字山，山中住着一个数学大王告诉他们，只有他们能把word/media/image90.gif六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是l6才允许他们 通过，这可急坏了师徒四人，你能解决这个问题吗？

　　　　　　　word/media/image272_1.png word/media/image273_1.png

【分析】word/media/image274.gif，word/media/image275.gif，可见两个重叠数的和为word/media/image52.gif：word/media/image276.gif，word/media/image277.gif，word/media/image278.gif，word/media/image279.gif，填法如右上图。

【练习6】 小老鼠打洞，撞到一面墙上有一个奇怪的问题挡住了它的去路，问题是这样的：请分别将word/media/image280.gif这word/media/image59.gif个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里word/media/image59.gif个数的和都等于word/media/image44.gif，快点帮帮小老鼠吧．

word/media/image281_1.png word/media/image282_1.png

【分析】 word/media/image283.gif，word/media/image284.gif，word/media/image285.gif，三个圆中已有数的和与word/media/image44.gif的差分别是word/media/image286.gif，只有word/media/image31.gif能和其他三个数的和分别是word/media/image286.gif，所以中间数一定是word/media/image31.gif，由和为word/media/image44.gif，其它三个数即可得，见右上图

【练习7】 将1～8填入下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15．

word/media/image166_1.png　　　　　　　word/media/image287_1.png

【分析】四个顶点数之和为word/media/image288.gif，四个顶点数有word/media/image289.gif和word/media/image290.gif两种可能．经试验只有右上图一个解．

【练习8】 将word/media/image77.gif不重复地填入下面的圆圈内，使得三角形每条边上的数字和均为word/media/image291.gif。

word/media/image292_1.pngword/media/image293_1.pngword/media/image294_1.png

【分析】将三角形三个顶点处的数字设为word/media/image206.gif、word/media/image207.gif、word/media/image220.gif，这三个数字分别计算了两次，根据题意，可得：word/media/image295.gif

解得word/media/image88.gif，而在word/media/image77.gif中，只有word/media/image128.gif，符合要求。所以三个顶点上的数字分别是word/media/image31.gif、word/media/image30.gif、word/media/image18.gif，如图所示是其中一种符合要求的填法。

【练习9】 将word/media/image296.gif不重复地填入下面的圆圈内，使得五边形每条边上的数字和均为word/media/image120.gif。

word/media/image297_1.png word/media/image298_1.png word/media/image299_1.png

【分析】将五边形五个顶点处的数字设为word/media/image206.gif、word/media/image207.gif、word/media/image220.gif、word/media/image300.gif、word/media/image301.gif，这五个数字分别计算了两次，所以有：

word/media/image302.gif

解得word/media/image303.gif，只有word/media/image304.gif，符合要求。所以五个顶点上的数字分别是word/media/image83.gif、word/media/image117.gif、word/media/image175.gif、word/media/image13.gif、word/media/image33.gif，其中word/media/image13.gif和word/media/image33.gif不在同一条边上。如图为一种填法。

【练习10】 如果将word/media/image305.gif这word/media/image52.gif个自然数填入下图的圆圈内使每个菱形上的四个数之和都等于word/media/image306.gif，那么word/media/image307.gif等于多少？

word/media/image308_1.png

【分析】计算word/media/image18.gif个菱形上四个数的和，其中word/media/image307.gif被重复计算了一次，word/media/image309.gif,即word/media/image310.gif,word/media/image311.gif

【练习11】 如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数。

word/media/image312_1.png

【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半。比如：word/media/image313.gif，word/media/image314.gif，word/media/image315.gif。所以word/media/image316.gif，word/media/image317.gif。经检验，word/media/image119.gif和word/media/image318.gif相加除以word/media/image30.gif，也恰好等于word/media/image229.gif。

【练习12】 将word/media/image319.gif填入图中的word/media/image118.gif个方格中，是纵向的一，二，三和横向的四这几个直线上的方格的和均相等。

word/media/image320_1.png

【分析】 word/media/image321.gif，word/media/image322.gif

那么加数的和为word/media/image13.gif，每个数为word/media/image30.gif，word/media/image18.gif，word/media/image59.gif，

word/media/image323_1.png

补充

【补充1】 将word/media/image139.gif填入下图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等．

【分析】每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于word/media/image326.gif，经试验可得填法如右上图（答案不唯一）。

【补充2】 将word/media/image32.gif七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等．

word/media/image327_1.png word/media/image328_1.png

【分析】设中心数为word/media/image206.gif，各条直线和各个圆周上的三数之和均为word/media/image329.gif．因为word/media/image206.gif属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到word/media/image330.gif，化简为word/media/image331.gif．因为word/media/image332.gif，word/media/image333.gif又是word/media/image19.gif的倍数，所以word/media/image334.gif，word/media/image335.gif．填数方法见右上图．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9e3dae8e02d8ce2f0066f5335a8102d277a26111.html