北师大版高中数学必修4：两角差的余弦函数两角和与差的正弦余弦函数 课时练习

两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数

一、基本能力达标

1．已知α∈，cos α＝，则cos＝(　　)

A.－　　　　　 　　　　B．1－

C．－＋ D．－1＋

解析：选A　∵α∈，cos α＝，∴sin α＝，

∴cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝－.

2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是 (　　)

A．α＝，β＝ B．α＝，β＝

C．α＝，β＝ D．α＝，β＝

解析：选B　∵cos αcos β＝－sin αsin β，

∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝，

经验证可知选项B正确．

3．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是 (　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．三者都有可能

解析：选C　∵sin Asin B＜cos Acos B，

∴cos Acos B－sin Asin B＞0，

∴cos(A＋B)＞0，

∴A＋B＜90°，

∴C＞90°，∴△ABC是钝角三角形．

4．已知cos x－sin x＝－，则sin＝ (　　)

A. B．－

C. D．－

解析：选D　cos x－sin x＝2

＝2sin＝－，故sin＝－.

5．已知0<α<<β<π，又sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β等于(　　)

A．0 B．0或

C. D．±

解析：选C　由0<α<<β<π得，<α＋β<，

又sin α＝，sin(α＋β)＝，

∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝.

6．sin 15°＋cos 165°的值是________．

解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°)

＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45°

＝×－×－×－×＝－.

答案：－

7．设a＝2cos 66°，b＝cos 5°－sin 5°，c＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a，b，c的大小关系是________．

解析：∵b＝2cos 65°，c＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°，∴b＞a＞c.

答案：b＞a＞c

8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β， ①

－cos γ＝cos α＋cos β， ②

①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，

化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－，

即cos(α－β)＝－.

答案：－

9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，

得sin(α－β)＝.

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，

得sin(α＋β)＝－，

cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

又∵α－β∈，α＋β∈，

∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.

10．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)．

解：∵＜α＜，0＜β＜，

∴＜＋α＜π，＜＋β＜π，

又cos＝－，sin＝，

∴sin＝，cos＝－，

∴sin(α＋β)＝－sin

＝－

＝－＝.

二、综合能力提升

1．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝ (　　)

A．－　　　　　　　 　　B.

C．－ D.

解析：选D　∵A＝，∴cos A＝sin A＝，

又cos B＝，0＜B＜π，∴sin B＝，

∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×＋×＝.

2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为 (　　)

A．－ B.

C．－7 D．7

解析：选C　由sin(α＋β)＝得

sin αcos β＋cos αsin β＝，①

由sin(α－β)＝得

sin αcos β－cos αsin β＝，②

由①②得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，

以上两式相除得＝－7.

3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 (　　)

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

解析：选C　∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴C＝π－(A＋B)．

∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴2cos Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，

即sin Acos B－cos Asin B＝0.

∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.

4．若cos αcos β＝－sin αsin β，且α∈，β∈，则α－β的值是 (　　)

A．－ B．－

C. D.

解析：选A　由题意知cos(α－β)＝，

又0<α<，－π<－β<－，

所以－π<α－β<0，故α－β＝－.

5．已知cos ＝－，则cos x＋cos＝________.

解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x

＝cos x＋sin x＝

＝cos＝－1.

答案：－1

6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β＝________.

解析：由条件知：

①＋②得2cos αcos β＝0，∴ cos αcos β＝0.

答案：0

7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．

解：∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，

∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．

∴|a－b|＝

＝

＝＝，

∴2－2cos(α－β)＝，

∴cos(α－β)＝.

8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.

求：(1)cos(2α－β)的值；

(2)β的值．

解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，

又sin(α－β)＝>0，

∴0<α－β<.

所以sin α＝ ＝，

cos(α－β)＝ ＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)

＝×－×＝.

(2)cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，

又因为β∈，所以β＝.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9cc02bdc1be8b8f67c1cfad6195f312b3169eb2f.html