模块综合检测(B)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z的共轭复数=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析: 求出复数z,再确定z对应的点的坐标.
∵=1+2i,∴z=1-2i,∴z在复平面内对应的点位于第四象限.
答案: D
2.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )
解析: 根据导函数值的大小变化情况,确定原函数的变化情况.从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0时最大,所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小,在x=0时变化率最大.A项,在x=0时变化率最小,故错误;C项,变化率是越来越大的,故错误;D项,变化率是越来越小的,故错误.B项正确.
答案: B
3.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=x是指数函数(小前提),所以函数y=x是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( )
A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错
解析: 推理形式没有错误,而大前提“y=ax是增函数”是不正确的,当0<a<1时,y=ax是减函数;当a>1时,y=ax是增函数.
答案: A
4.若复数z=(b∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则复数z的共轭复数是( )
A. i B.- i
C.i D.-i
解析: 因为z===+i是纯虚数,所以2+b=0且2b-1≠0,
解得b=-2.
所以z=-i,则复数z的共轭复数是i.
答案: C
5.类比平面内正三角形“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )
①棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等.
A.① B.②
C.③ D.①②③
解析: 三个性质都是正确的,但从“类比”角度看,一般是“线→面”、“角→二面角”.
答案: B
6.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-1处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
解析: 由题意知f′(-1)=0,
当x<-1时f′(x)<0,当x>-1时f′(x)>0,
∴当x<-1时,x·f′(x)>0,
当-1<x<0时,x·f′(x)<0,
当x>0时,x·f′(x)>0.
答案: B
7.若dx=3+ln 2且a>1,则实数a的值是( )
A.2 B.3
C.5 D.6
解析: dx=(x2+ln x) =a2+ln a-1=3+ln 2,所以a=2.
答案: A
8.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出一般式子为( )
A. 1+++…+<(n≥2)
B. 1+++…+<(n≥2)
C. 1+++…+<(n≥2)
D. 1+++…+<(n≥2)
解析: 由合情推理可得.
答案: C
9.在平面内有n(n∈N+,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若n条直线把平面分成f(n)个平面区域,则f(9)等于( )
A.18 B.22
C.37 D.46
解析: f(3)=7,
f(4)-f(3)=4,
f(5)-f(4)=5,
…
f(n)-f(n-1)=n.
以上各式相加:
∴f(n)=7+4+5+…+n
∴f(9)=7+4+5+…+9=7+=46.
答案: D
10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
解析: 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).
又y′=,
∴y′|x=x0==1,即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a),
∴y0=0.∴x0=-1.∴a=2.
答案: B
11.定义复数的一种运算z1* z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析: z*===
=,又∵ab≤2=,
∴-ab≥-,z*≥==.
答案: B
12.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,当x>0时,有>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
解析: 由题意知g(x)=在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=0,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴g(x)是R上的偶函数.
的草图如图所示:
由图象知:当x>1时,f(x)>0,
当-1<x<0时,f(x)>0.
∴不等式f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
答案: A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
解析: 根据题意先求出P,Q的坐标,再应用导数求出切线方程,然后求出交点.
因为y=x2,所以y′=x,易知P(4,8),Q(-2,2),所以在P,Q两点处切线的斜率的值为4或-2.
所以这两条切线的方程为l1:4x-y-8=0,l2:2x+y+2=0,
将这两个方程联立方程组求得y=-4.
答案: -4
14. (+x)dx=________.
解析: dx=π,
xdx=x2=-0=,
∴(+x)dx=π+.
答案: π+
15.通过类比长方形,由命题“周长为定值l的长方形中,正方形的面积最大,最大值为”,可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________
________________________________________________________________________.
解析: 表面积为定值S的长方体中,正方体的体积最大,最大值为.
答案: 表面积为定值S的长方体中,正方体的体积最大,最大值为
16.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________.
解析: f′(x)=3x2+2x+m要使f(x)是R上的单调函数,
需使Δ=4-12m≤0,
∴m≥.
答案: m≥
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)若复数z=1+i,求实数a,b使得az+2b=(a+2z)2.
解析: 由z=1+i,可知=1-i,代入az+2b=(a+2z)2,得a(1+i)+2b(1-i)=[a+2(1+i)]2,即a+2b+(a-2b)i=(a+2)2-4+4(a+2)i.
所以
解得或
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解析: 当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,
f′(x)=-1+2x.
由于f(1)=ln 2,f′(1)=,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-ln 2=(x-1),
即3x-2y+2ln 2-3=0.
19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+22+33+…+nn<(n+1)n.
证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=2,1<2,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即1+22+33+…+kk<(k+1)k;
那么,当n=k+1时,左边=1+22+33+…+kk+(k+1)k+1<(k+1)k+(k+1)k+1=(k+1)k(k+2)<(k+2)k+1=[(k+1)+1]k+1=右边,即左边<右边,
即当n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.
20.(本小题满分12分)设函数f(x)=-(a+1)x2+4ax+b,其中a,b∈R.
(1)若函数f(x)在x=3处取得极小值,求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若函数f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.
解析: (1)因为f′(x)=x2-2(a+1)x+4a,
所以f′(3)=9-6(a+1)+4a=0,得a=.
由f(3)=,解得b=-4.
(2)因为f′(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2a)(x-2),
令f′(x)=0,得x=2a或x=2.
当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2a,+∞);
当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(2,+∞).
(3)由题意可得
解得-<a<.
所以a的取值范围是.
21.(本小题满分13分)某厂生产产品x件的总成本c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:P2=,生产100件这样的产品单价为50万元.
(1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式;
(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到1万元).
解析: (1)由题意有502=,解得k=25×104,
∴P==,
∴总利润L(x)=x·-1 200-=-+500-1 200(x>0).
(2)由(1)得L′(x)=-x2+,
令L′(x)=0⇒=x2,
令t=,得=t4⇒t5=125×25=55,
∴t=5,于是x=t2=25,
所以当产量定为25时,总利润最大.
这时L(25)≈-416.7+2 500-1 200≈883.
答:产量x定为25件时总利润L(x)最大,约为883万元.
22.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x3+ax2-3x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=是函数f(x)的极值点,求函数f(x)在[-a,1]上的最大值;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点?若存在,请求出b的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析: (1)f′(x)=3x2+2ax-3,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0.
∴-≤1且f′(1)=2a≥0.
∴a≥0.
(2)由题意知f′=0,即+-3=0,
∴a=4.
∴f(x)=x3+4x2-3x.
令f′(x)=3x2+8x-3=0得x=或x=-3.
∵f(-4)=12,f(-3)=18,f=-,f(1)=2,
∴f(x)在[-a,1]上的最大值是f(-3)=18.
(3)若函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x3+4x2-3x=bx恰有3个不等实根.
∵x=0是其中一个根,
∴方程x2+4x-(3+b)=0有两个非零不等实根.
∴
∴b>-7且b≠-3.
∴满足条件的b存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/9c80a5fb8ad63186bceb19e8b8f67c1cfad6eed5.html
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