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在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.
1. 拉格朗日中值定理与函数单调性
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不等式的高等数学证明方法
在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.
1. 拉格朗日中值定理与函数单调性
1.1 拉格朗日中值定理
若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间（a,b）内可导，则在(a,b)内至少存在一点,使得（1），其中（1）被称为拉格朗日公式。
例、证明不等式，其中0 分析：应用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及区间，这可结合不等式特点找，则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].
证明：由于,取,而在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，故由拉格朗日中值定理，存在使得
又0 1.2 函数单调性
定理1.2 设函数在区间I上可导，则在上递增的充要条件是.
例、证明不等式
证明：设.则
.则
进而有
.
根据函数单调性则当时有： ,
.进而得.
2. 柯西中值定理
定理2.1（柯西中值定理）设函数和满足：（i）在[a,b]上都连续 （ii）在（a,b）内都可导 （iii）和不同时为0 （iv） 则存在使得.
例．，证明：.
证明：设，则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有：.设，考察.由于，显然当时，即.所以在时单调递减，从而有，
即.故.
3. 函数极值与最值
通过变换，把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。
例：设，求证：.
证明：令=-2+
当时， .当时，.
故.
4. 函数的凸凹性和詹森不等式
4.1 函数的凸凹性
定义：设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点和对于任意的实数总有：,则称为上的凸函数.反之，若总有：则称为上的凸函数。
函数凸凹性的判别方法：（1）为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点 ，总有.
（2）设为在区间上的可导函数，则下述论断互相等价：1’为上的凸函数.2’为上的增函数.3’对上的任意两点有
（3）设函数为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是.
4.2 詹森不等式
1.定义:若函数为上的凸函数，则对任意的,有.
2.应用。例．证明不等式,其中均为正数。
证明：设,由的一阶和二阶导数,.
.可见在时为严格凸函数.依詹森不等式有:.从而有:
即:.
又因为.所以.
5. 概率
不等式的证明也可用概率的方法。
例：设函数且这里
求证：.
证明：由题所给的已知条件知非负,且,所以为某一随机变量的密度函数,则
.
即：
6. 隐函数
1.隐函数定理：若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某临域内，方程唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.
不等式的证明方法有许多种，当然一道题可以有多种证明方法，下面我从一道题的证明方法来体会一下不等式证明的多样性。
例如：当时，试证：.
利用函数单调性证法：令
则.显然对任意的，有.根据不等式定理：对任意的，都有.即：。
当然还有更多证法，可见不等式证明中的灵活多样，这样可以引起学生学习兴趣，激活学生思维，是培养学生观察力、判断力、推理能力的最好催化剂。
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在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.
1. 拉格朗日中值定理与函数单调性
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