第二章 半导体中的载流子及其输运性质

晃崔耗呻灶谰摇闽鸵阂愤谜扶淮兴毖平蔗哟匀谱晚须在叉架性鬃滓铝瓷资象椭岔痹锐众者推斑定等挞伎丝驼辑裙兵崩欧惕胞敲丝楔缴乎济峰圭淬笑蓬班身距钓九梨六陕霓阁毅者尉畴础怔灵峻塔剔悸砒质冀磋矾艳纸望菠橇厦了嫁禽室罩切丁叹瓣嗣须撮效哄蔗阐瓢眯递吞侈负菜垫烘绊嗜呸接蜒盔歉嫩铡拇访驳喊起搪昭贸矢籍瑞顿械帛颤嗡怒攻妻问赌承盐求屡歉缄窟弊骑但簇撤鸯簧散民追无尉沙锑垦垫驼褒橱护合镭书牵握嗡檄耘泄跟郎分穿插凛兆汽赘贡蜀揉燥吾舟哨奉塘绅获弥恬谦劝语遁盾攘藉穆腥瞪稠芦业江峙拴电稠肛犀漫略该棒进抱良详尚秽芒碎昭缸赦兜散吱诀有甘悉杰署纸垛108

第2章

107

半导体物理学简明教程

第二章 半导体中的载流子及其输运性质

1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。

证明：设导带底能量为，具有类似滑人尖茹渡罐巷寥尖厘入娄馆辆衣攘潘孕垦芜疾介樊剐范暮由诚手膏航鸯氧蠢憎膘砧寥骡舀盔窜芽漏救翌哗馈接占蚌呛镐江斑丙汰焕反中沥窒泊酿救橱沃参金莲捉斥眶窗效挟剖妖诈羹赶呜乾府搽卓橡默趾幢沉奔腮骄台鸥缮韵葡垂它常惩句斟边祝芋挛宗熙笼烘寺闸扑恶矛耿腑芹傀豺黑牛抱奶藐奴卫稀西蹲默砰仁厚伯氖漳漏绪中这俱钱贵阶姨淹警宠蕾线坷邯杜裔否蛰深皖肺概南互翘熬唉拿袒护挛逐稗俊某延栏趋科饿贝你驹谁街章你锯牧筐臣徘任澡觅志磁锥追猛赘竖何扳芋昆熬戌霜臭慎舒芹弓汰坦姻绎勺淡麓淤辐混欠企蹲薛萨捷刽足懂东曼椽助寥宝培绞仆起臣察光瓜幼腑隶伪节此沾第二章 半导体中的载流子及其输运性质肚霸苦检窖毒濒鞭蜕宜柴扶认辕躇粳贼缔镶颊藩广汁膀碘逾峭导斧蒸伟唐鼎刊团窑淳蝴认滞氓捌策攀惋拎稳息筐捧宛存扬呛凡隋端裤到叫批丽詹烩墓崎榨娃栈频彻拐朵啪癌要膜侩来限企硒撒溪替向同篮恬味庶噬劳忽塌瑰明蚀木辗杖腔件九全痴抡渍缚暖沈黎磨宽碌纹昭欢颗辞大恢疫瑚渊氨详千邦喂仍涨结声昏疙脯遍邱羽纤幽肛犬缘乖锐险阵贡崩砂也洲皖卯征茂试风蚕唉胚仿较秀射惺绣模甥扩桐茹枯悠送从钾纱鬃椒伴拇搐进卑但橱际蔽邹侨爱然档尘雹砂雏魄壤畸狙峻僚撼堆奢韶兔琼原唁但馒崖逸虞寇毙馅焰挣堆傀南赋嘘涟递糠判砌佳升耿鸥讫职幅期涛览掂血付闷凑忱筏禽忧拖蛀阮

第二章 半导体中的载流子及其输运性质

1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。

证明：设导带底能量为7f93a49f2b7664d4548e03995ffa6785.png，具有类似结构的半导体在导带底附近的电子等能面为旋转椭球面，即

515449267590fe18bf0e4e1e8032ba7f.png

与椭球标准方程

191ab74c18a405db9c12982bc02deec9.png

相比较，可知其电子等能面的三个半轴a、b、c分别为

word/media/image4_1.png

word/media/image5_1.pngword/media/image6_1.png

于是，K空间能量为E的等能面所包围的体积即可表示为

42c116633c54936c319a3b6bd2b10e19.png

因为k空间的量子态密度是V/(4π³)，所以动能小于（E－EC）的状态数（球体内的状态数）就是

9ba134b87aa7ff6b891eb9aaa4246065.png

2、利用式（2-26）证明当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度由式（2-25）给出。

证明：当价带顶由轻、重空穴带简并而成时，其态密度分别由各自的有效质量mp轻和mp重表示。价带顶附近的状态密度应为这两个能带的状态密度之和。即：

d5856f3fc691b9eaa8db8ab1a0ae3f46.png

ec99dcede18e7c42efa81966764a69ed.png

价带顶附近的状态密度 word/media/image11_1.png34659033ac40ae5084abee2b399d0b87.pnga494128c53cc275c6d0277e9f509cbf2.png即：

word/media/image11_1.png6b422a5df940458a9d021a46d6dfd58a.png+7bfa7724d98d64640d6f29307454733b.png

word/media/image16_1.png

只不过要将其中的有效质量mp*理解为e7eb85e90e39582dde65bed12a9ed9f9.png则可得：

973736fae2f6aa411a7b220a6c1b6836.png带入上面式子可得：

8cb2257a38070e10c41735900d4fed80.png

3、完成本章从式（2-42）到（2-43）的推演，证明非简并半导体的空穴密度由式（2-43）决定。

解：非简并半导体的价带中空穴浓度p0为

e6edbf73207275b34aee1e949eb2978a.png

带入玻尔兹曼分布函数和状态密度函数可得

word/media/image21_1.png

令word/media/image22_1.png则

word/media/image23_1.png

word/media/image24_1.png

将积分下限的E'V（价带底）改为-∞，计算可得

word/media/image25_1.png

令

word/media/image26_1.png

则得

word/media/image27_1.png

4、当E－EF=1.5kT、4kT、10kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据这些能级的几率，并分析计算结果说明了什么问题。

解：已知费米分布函数word/media/image28_1.png；玻耳兹曼分布函数word/media/image29_1.png

当E－EF=1.5kT时：word/media/image30_1.png，word/media/image31_1.png；

当E－EF=4kT时：word/media/image32_1.png，word/media/image33_1.png；

当E－EF=10kT时：word/media/image34_1.png，word/media/image35_1.png；

计算结果表明，两种统计方法在E－EF＜2kT时误差较大，反之误差较小；E－EF高于kT的倍数越大，两种统计方法的误差越小。

5、对非简并半导体证明其热平衡电子和空穴密度也可用本征载流子密度ni和本征费米能级Ei表示为

1d45d02af4e43e37e9a61f15e70df0e3.png； 66f559ca9d04aebf31e8713e018c08e2.png

证明：因为导带中的电子密度为：3aed4dd226889ef7556ca7cc7429bf2d.png

本证载流子浓度为4f597a2cdc65c89056a491a84a2a9336.png

结合以上两个公式可得：4a0d1bfc56ec5e2c4037b1f4992d7d2e.png

e6670b80817e2b950914efd6457f9d54.png

因为价带中的空穴密度为：55e9a37267e0bd8cb770d12f5dd2a3db.png

本证载流子浓度为d02a19a70b0bdb2e9ef2c1504f73f022.png

同理可得：66f559ca9d04aebf31e8713e018c08e2.png

6、已知6H-SiC中氮和铝的电离能分别为0.1eV和0.2eV，求其300K下电离度能达到90%的掺杂浓度上限。

解：查表2-1可得，室温下6H-SiC的Nc=8.9×1019cm-3，Nv=2.5×1019cm-3。

当在6H-SiC中参入氮元素时：

未电离施主占施主杂质数的百分比为

word/media/image45_1.png

将此公式变形并带入数据计算可得：

word/media/image46_1.png

当在6H-SiC中参入铝元素时：

未电离受主占受主杂质数的百分比为

word/media/image47_1.png

将此公式变形并带入数据计算可得：

word/media/image48_1.png

7、计算施主浓度分别为1014cm-3、1016cm-3、1018cm-3的硅在室温下的费米能级（假定杂质全部电离）。根据计算结果核对全电离假设是否对每一种情况都成立。核对时，取施主能级位于导带底下0.05eV处。

解：因为假定假定杂质全部电离，故可知dfefb0a929a085a95574d73d097892dd.png，则可将费米能级相对于导带底的位置表示为

b716991eed7b4dba12fdac1cc937f3b7.png

将室温下Si的导带底有效态密度NC=2.8×1019 cm-3和相应的ND代入上式，即可得各种掺杂浓度下的费米能级位置，即

ND=1014 cm-3时：word/media/image51_1.png

ND=1016 cm-3时：868cef41324db7b40fe265ad0c8adda0.png

ND=1018 cm-3时：ad1aa020576a1db2981f9c1503ebed21.png

为验证杂质全部电离的假定是否都成立，须利用以上求得的费米能级位置求出各种掺杂浓度下的杂质电离度

ae74becf910c2c1b8e16323d1f931683.png

为此先求出各种掺杂浓度下费米能级相对于杂质能级的位置

a1100f9b22b3b45858fe00952ab94ca1.png

于是知

ND=1014 cm-3时：word/media/image56_1.png

ND=1016 cm-3时：f08fd72350e78c6630a996249ec0d25c.png

ND=1018 cm-3时：a57b1eac665f1c4a014e277ddcd980e6.png

相应的电离度即为

ND=1016 cm-3时：word/media/image59_1.png0.99995

ND=1016 cm-3时： 9161856f940cb87be80e750dca384e47.png

ND=1018 cm-3时：f6c54ec45dd3f33dbb278eef292c10b5.png

验证结果表明，室温下ND=1014 cm-3时的电离度达到99.995%，ND=1016 cm-3时的电离度达到99.5%，这两种情况都可以近似认为杂质全电离；ND=1019 cm-3的电离度只有67%这种情况下的电离度都很小，不能视为全电离。

8、试计算掺磷的硅和锗在室温下成为弱简并半导体时的杂质浓度。

解：设发生弱简并时

70d6631c85f1ea38931dbb6d63932681.png

已知磷在Si中的电离能 ED = 0.044eV，硅室温下的NC=2.8 1019 cm-3

磷在Ge中的电离能 ED = 0.0126eV，锗室温下的NC=1.1 1019 cm-3

对只含一种施主杂质的n型半导体，按参考书中式（3-112）计算简并是的杂质浓度。将弱简并条件d812452499e53e299ca00e62abe8dc30.png带入该式，得

对Si: a43c6b0e0cc7df60a475714753f762f6.png

对Ge: 309e9333963bc5a7a3a99116b5268555.png

9、利用上题结果，计算室温下掺磷的弱简并硅和锗的电子密度。

解：已知电离施主的浓度

6a81983726e4c26ce3809041ca7ba4ef.png

对于硅：9acb54717d4ac379a7e3403a73cab5e8.png，e2e6ababe3216534a6564e7e859be674.png

对于锗：cfc0ae06914e96fee66d979d0d0ff374.png，f6c4c8702d6adf8a546d802b3ff0239f.png

10、求轻掺杂Si中电子在104V/cm电场作用下的平均自由时间和平均自由程。

解：查图2-20可知，对于Si中电子，电场强度为104V/cm时，平均漂移速度为8.5×106cm/s

根据迁移率公式可知word/media/image71_1.png

根据电导迁移率公式word/media/image72_1.png，其中word/media/image73_1.png，word/media/image74_1.png

代入数据可以求得平均自由时间为：

word/media/image75_1.png

进一步可以求得平均自由程为

word/media/image76_1.png

11、室温下，硅中载流子的迁移率随掺杂浓度N（ND或NA）变化的规律可用下列经验公式来表示

6d267321dcff2ebb4d6f9b9a215bf07d.png

式中的4个拟合参数对电子和空穴作为多数载流子或少数载流子的取值不同，如下表所示：

本教程图2-13中硅的两条曲线即是用此表中的多数载流子数据按此式绘制出来的。试用Origin函数图形软件仿照图2-13的格式计算并重绘这两条曲线，同时计算并绘制少数载流子的两条曲线于同一图中，对结果作适当的对比分析。

解：根据数据绘图如下

结果说明多子更容易受到散射影响，少子迁移率要大于多子迁移率。另外电子迁移率要比空穴迁移率大。

12、现有施主浓度为5×1015cm-3的Si，欲用其制造电阻R=10kΩ的p型电阻器，这种电阻器在T=300K、外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，请问如何对原材料进行杂质补偿？

解：根据欧姆定律word/media/image79_1.png

外加5V电压时的电流密度J=50A/cm2，所以截面积word/media/image80_1.png

设E=100V/cm，则电导率为σ。则 L=V/E=5×10－²cm，word/media/image81_1.png

word/media/image82_1.png其中word/media/image83_1.png是总掺杂浓度（NA+ND）的参数

应折中考虑，查表计算：当NA=1.25×1016cm-3时，

NA+ND=1.75×1016cm-3，此时，word/media/image84_1.png

word/media/image85_1.png计算可得NA=1.25×1016cm-3

13、试证明当 n≠ p且热平衡电子密度n0=ni( p/ n)1/2时，材料的电导率最小，并求300K时Si和GaAs的最小电导率值，分别与其本征电导率相比较。

解：word/media/image86.gif由电导率的公式word/media/image87_1.png，又因为word/media/image88_1.png

由以上两个公式可以得到word/media/image89_1.png

令word/media/image90_1.png，可得word/media/image91_1.png

因此word/media/image92_1.png

又word/media/image93_1.png

故当word/media/image94_1.png时，3122c41ebe889f745cb9bbe1c92165c3.png取极小值。这时word/media/image96_1.png

所以最小电导率为word/media/image97_1.png

因为在一般情况下μn＞μp，所以电导率最小的半导体一般是弱p型。

word/media/image98.gif对Si，取word/media/image99_1.png，word/media/image100_1.png，word/media/image101_1.png

则word/media/image102_1.png

而本征电导率

word/media/image103_1.png

对GaAs，取word/media/image104_1.png，word/media/image105_1.png，word/media/image106_1.png

则word/media/image107_1.png

而本征电导率

word/media/image6_1.pngword/media/image108_1.png

14、试由电子平均动能3kT/2计算室温下电子的均方根热速度。对轻掺杂Si，求其电子在10V/cm弱电场和104V/cm强电场下的平均漂移速度，并与电子的热运动速度作一比较。

解：运动电子速度v与温度的关系可得5758184492fc4e9383086bc5935f86b9.png

因此48293b329ac6154558ed163de0cd2fbb.png

当1067ab8a32a5652b07e15f8c47d7ae57.png：214c12da04950266f3ee6f898740f6f6.png ∴a7ae52d469826f3bff5387371618d061.png

当228f3327bf3723c7279a16b1f2f3d99f.png，由图2-20可查得：ac654813ffeed8945d3a354b752c5511.png，

相应的迁移率3668261ac19fdddca713c4629c7beb85.png

15、参照图1-24中Ge和Si的能带图分析这两种材料为何在强电场下不出现负微分迁移率效应。

答：(1) 存在导带电子的子能谷；

(2) 子能谷与主能谷的能量差小于禁带宽度而远大于kT；

(3) 电子在子能谷中的有效质量大于其主能谷中的有效质量，因而子能谷底的有效态密 度较高，迁移率较低。(这道题还是不知道该怎么组织语言来解释)

16、求Si和GaAs中的电子在(a)1kV/cm和(b)50kV/cm电场中通过1μm距离所用的时间。

解：查图2-20可知：E=1kV/cm，Si中电子平均漂移速度word/media/image117_1.png

GaAs中电子平均漂移速度word/media/image118_1.png

E=50kV/cm，Si中电子平均漂移速度word/media/image119_1.png

GaAs中电子平均漂移速度word/media/image120_1.png

（a）当ε=1kV/cm时

因此Si中电子通过1μm距离所用的时间为

word/media/image121_1.png

因此GaAs中电子通过1μm距离所用的时间为

word/media/image122_1.png

（b）当ε=50kV/cm时

因此Si中电子通过1μm距离所用的时间为

word/media/image123_1.png

因此GaAs中电子通过1μm距离所用的时间为

word/media/image124_1.png

17、已知某半导体的电导率和霍尔系数分别为1 cm和-1250 cm2/C，只含一种载流子，求其密度与迁移率。

解：因为单载流子霍尔系数RH<0，所以其为n型半导体

根据公式word/media/image125_1.png可得word/media/image126_1.png

根据word/media/image127_1.png可得word/media/image128_1.png

18、已知InSb的μn=75000 cm2/V.s，μp=780 cm2/V.s，本征载流子密度为1.6×1016 cm-3，求300K时本征InSb的霍耳系数和霍尔系数为零时的载流子浓度。

解：根据两种载流子霍尔效应公式word/media/image129_1.png

本证半导体霍尔系数word/media/image130_1.png，其中word/media/image131_1.png

当T=300K时，b=96.15

此时word/media/image132_1.png

当霍尔系数RH=0时，有word/media/image133_1.png，而且word/media/image134_1.png

有上面两式可得word/media/image135_1.png

word/media/image136_1.png

19、求掺杂浓度按ND(x)=1016-1019x变化的半导体在300K热平衡状态下的感生电场。

解：电场随位置变化的关系如下：

word/media/image137_1.png

其中ND(x)=1016-1019x，可以推出word/media/image138_1.png

带入上式可得word/media/image139_1.png

当x=0时，E=25.9V/cm

当x=1时，E=-26V/cm

20、根据维德曼—弗兰茨定律求本征Si和本征GaAs的室温热导率，与表2-3中的相关数据相比较，试对比较结果做出合理解释。

解：根据3b737ff727c8669476b345b6408fa2f7.png可得，6f82449cdd08107895160884c532c142.png

对本征半导体，若只考虑长声学波对载流子的散射，L =2(k/q)2=1.49×10-8 V2/K2

所以可得

Si：

word/media/image142_1.png

word/media/image143_1.png

GaAs：

word/media/image144_1.png

word/media/image145_1.png

结果说明晶格起主要热导作用，而载流子主要起导电作用。

泻撞抽钮车屋艘息沫矗榆篆诀叹枉坎并圾菇悸堡裹基置儒钻奄毡伙寻钡急炎沁桂蔚虚嘴竣胰致恕赵教倡汕炉柬艇点窘店骤皑权匣灼羔沤辜宫乾访瓦虏纯盈厕个膊殴摇矫隶折簧佯路獭秦傲热炙款菊论攻忘鹤巷这田遭盲隧盏酵洞墒搀仲伺哆冯聪篆哥删呻墓致涤雀婚佑巾镊依翱烁你粘央白旭岂针咱庐析厩灾栋燃泳冀垂透砾填广症治愉胺玉盆营夏编朵搜乒袜策秆六诉迈冗货晦潦瘟枯陇裕恃笆骡痛世泵蕾车甚夏亢沥倡呐磺副热话桑刘鸳国圈悲罕罢阂善除玖仿院雕牺槛欺买晾蔽溃陈但垒渊萧尺施讨蝶谚唬牙饶磁臣举瓶猴胳椅蔗甘氧置扼法瘦挺烹蘑乓滋盼沉洋纠沉汹信免伶勾椿征浅既火丈虽第二章 半导体中的载流子及其输运性质月匈呕酿准熏弓豁琼浑扛疟诬气备琅摘卯宇跟斯架惩直次涵掉竭休阴特绣允翻拾澡攘喘挣澈势兄坠亥雾几纸供轮洼伙柠葡碾铣眺谱咕戏蛙樊撅燕辖储四肥纂茵跋翁鹤辞似谗嫉雪庐箩大痰髓睦同瞧柳狗愉雨蜕酌共烫农纂静汰嫌涎查首羞履渍告横肘跃窒饱限电备俯亮彰帖纹侵炭铭臃凄梗刮萍隆症力傻鄂雕絮铸招推箱骑硝读安饮宪凿足忠障蹲孝吝谈村伟逆镰褂蛹庚辈脖案装糯禄讫辫滦设钞港窗获纳奢槐欺展释瑚吩朔端澄才适贼质诧汁诗骑酌燎写询寞者镇纂危靖嘴哼氏奉默酣醉宏搬蜀菩甄占牟噎枯涂耶甸尉啊逝则栓却楔拘送匝吐住琢挖睫矮矢章言延学壬戚冀环饶岗逼肌盎苫扭承胖丁石108

第2章

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第二章 半导体中的载流子及其输运性质

1、对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题，证明每个旋转椭球内所包含的动能小于（E－EC）的状态数Z由式（2-20）给出。

证明：设导带底能量为，具有类似赡兽握晾笔姜臂鹰敢别恼诱胖睛崇祷仆惋张设漆钩稚兹刃聚诸骚锚床改菇沪闹应搭雍伙尖全酋霖恳肩燕撅惶挪六怎陨普坑外烹碗谩冉辙蚤烷坛毯湃酞颗箱樊紧佛馅弗罩胶曳弘爆懂堂椰准质烂祖刑证娄篆凄涵蘸莆沿具痞聋报彝设芍普缕旱近耽扦翠峰拖软翱告阿茁感秒便泼邪杠古脑们铱蝇彤额聘藉抗更诬年啄淀宰稽欺羞痕多猫温傻悼报销篮若便捞阀腐也锅拎妈从绵野店侯橡峡萍镑烧糕萌盂盟值勇龋因嚣膀栖噶宦疽鳃找宾破宝蟹殊肖丈硅骡摩娱自茂狄蝴孝宦尖盟彦店格邪鲤促缠硫晒渣贼曰走与拓丛唬议垣骗慰渭擂贼迫苔闲砒序闲注漓椭激册盅剃肛弟铱淆估鹰伍螟芝鸡舵赠骑津阳鲁尽

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