北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（理科）

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一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集,集合,则为

A． B．

C． D．

2．是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若，则下列各式正确的是

A． B．

C． D．

4．在等差数列中，，且，则的最大值是

A． B． C． D．

5．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

6．下列命题中，真命题是

A．

B．

C．

D．

7．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，∠=，则

到轴的距离为

A． B． C． D．

8．设函数，若互不相等的实数满足

，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．已知则___________.

10．函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是

11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 .

12．正三角形边长为2，设，，则_____________.

13．已知命题：是奇函数；。下列函数：

①，②，③中

能使都成立的是 .（写出符合要求的所有函数的序号）.

14． 集合，

集合,，设集合是所有的并集，则的面积为________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤.

15．（本小题满分13分）

已知函数

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象？

16．（本小题满分13分）

已知数列的前项和为,数列满足，

．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

17．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直， 分别是的中点，，，.

（1）求证：//平面；

（2）若点在线段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

 [来源:Z_xx_k.Com]

18. （本小题满分13分）

椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且。若直线

的斜率之和为0，求证：为定值.

19. （本小题满分13分）[来源:学科网]

已知函数（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）对,不等式恒成立，求的取值范围．

20．（本小题满分14分）

将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数。定义映射的模为：在的条件下的最大值，记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.

（1）若，求；

（2）如果，计算的特征值，并求相应的；

（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②,并验证满足这两个条件.

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参考答案 

9. 1 10. 11.

12. 13. ①② 14.

15.解：(1)

=

=

= …………………6分

最小正周期

单调递增区间 ， ………………9分

(2) 向左平移个单位；向下平移个单位 ………………13分

16．解（1）

………………4分

++3 ，

++3，

两式作差：3-=2

………………………10分

(2) = …………………………13分

17．解：（1）分别是的中点

//

又平面

//平面 …………………………3分

(2) 在中，//,

平面平面，

平面，平面

平面

平面

所以无论在的何处，都有 ………………………8分

(3) 由（2）平面

又

平面

是二面角的平面角

在中

所以二面角的平面角的余弦值为 …………………14分

法二：

（2） 是的中点， [来源:Zxxk.Com]

又平面平面

平面

同理可得平面

在平面内，过作 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

，，

，设，则，

恒成立，所以无论在的何处，都有

（3）由（2）知平面的法向量为=

设平面的法向量为

则，

即 令，则，

所以二面角的平面角的余弦值为 ………………………14分

18．解：（1）设椭圆的方程为，

由题意知：左焦点为

所以，

解得， ．

故椭圆的方程为．（方法2、待定系数法）………………………4分

（2）设，，

由：，，两式相减，得到

所以，即， …………………9分

同理，

所以，又因为直线的斜率之和为0，

所以 …………………………13分

方法2：

设直线：，代入椭圆，得到

，化简得

以下同。 ………………………13分

19．解：（1）

…………………2分

当时，

所以，在和上单调递增；在上单调递减。

当时，，在上单调递增。

当时，

所以，在和上单调递增；在上单调递减。……………8分

（2）法一、因为，

所以由得，

即函数对恒成立

由（Ⅰ）可知，

当时，在单调递增，则，成立，故<。

当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。

当，在上单调递减，上单调递增，则，

即，。

综上所述，。 ……………13分

法二、当时，；

当时，由得，对恒成立。

设，则

由，得或

，所以，，。 ………………………13分

20．解：（1）由于此时，又因为是在的条件下，有

（时取最大值），所以此时有。

……………………4分

（2）由，

可得：，解此方程组可得：，从而。

当时，解方程 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且。

当时，同理可得，相应的（写出一个即可），

其中且 ………9分

（3）解方程组

从而向量与平行，从而有应满足：

。

当时，有唯一的特征值，且。具体证明为：

由的定义可知：对任意的有：，所以为特征值。此时。

满足：，所以有唯一的特征值。[来源:学§科§网Z§X§X§K]

在的条件下，从而有。……………14分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9830a1bf65ce050876321354.html