江苏省南通市、泰州市2018届高三数学第一次模拟考试答案

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1. 1　2. －　3. 25　4. 10　5.　6. 5　7.

8.　9.　10. e－2　11. 2　12. 4－4

13. 3　14.∪(1，＋∞)

15. 解析：(1) 在△ABN中，M是AB的中点，

D是BN的中点，

所以MD∥AN.(3分)

因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，

所以MD∥平面PAC.(6分)

(2) 在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，

所以AB⊥MC.(8分)

因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC＝C，

所以AB⊥平面PMC.(11分)

因为AB⊂平面ABN，

所以平面ABN⊥平面PMC.(14分)

16. 解析：(1) 在△ABC中，根据余弦定理及a2＝b2＋c2－bc得，cosA＝＝.

因为A∈(0，π)，所以A＝.(3分)

在△ABC中，由正弦定理＝得

sinB＝sinA＝×＝.(6分)

(2) 因为a＝b>b，

所以A>B，即0.

又sinB＝，所以cosB＝＝.(9分)

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以cos＝cos

＝－cos (12分)

＝－

＝－＝－.(14分)

17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c，由题意得＝，＝4，(2分)

解得a＝2，c＝，所以b＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.(4分)

(2) 方法一：因为S△AOB＝2S△AOM，

所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．(6分)

因为椭圆的方程为＋＝1，

所以A(－2，0)．

设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)．

所以x＋y＝，　　　　　　　　①

＋＝1, ②(10分)

由①②得9x－18x0－16＝0，

解得x0＝－，x0＝(舍去)．

把x0＝－代入①，得y0＝±，(12分)

所以kAB＝±，

因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2)，

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)

方法二：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．(6分)

设直线AB的方程为y＝k(x＋2)．

由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，

所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，

解得xB＝.(8分)

所以xM＝＝，yM＝k(xM＋2)＝，(10分)

代入x2＋y2＝得，

＋＝，

化简得28k4＋k2－2＝0，(12分)

即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±，

所以直线AB的方程为y＝±(x＋2)，

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)

18. 解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

(1) 直线PB的方程为y＝2x，

半圆O的方程为x2＋y2＝402(y≥0)，(2分)

由得y＝16.

所以点P到AD的距离为16 m．(4分)

(2) ①由题意得P(40cosθ，40sinθ)．

直线PB的方程为

y＋80＝(x＋40)，令y＝0，得

xE＝－40＝.(6分)

直线PC的方程为y＋80＝(x－40)，

令y＝0，得xF＝＋40＝，(8分)

所以EF的长度为

f(θ)＝xF－xE＝，θ∈.(10分)

②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

S1＝××80＝，

区域Ⅱ的面积为

S2＝×EF×40sinθ＝××

40sinθ＝，

所以S1＋S2＝.(3分)

设sinθ＋2＝t，则2，

则S1＋S2＝

＝1 600≥1 600(2－4)＝6 400(－1)，

当且仅当t＝2，即sinθ＝2－2时等号成立．

所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1＋S2的最小值为6 400(－1)m2.

故当sinθ＝2－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)

19. 解析：(1) 因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－a－1.

f(x)，f′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝－a－1时，f(x)取得极小值．(2分)

因为g′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意可知

g′(－a－1)＝0，且Δ＝4a2－12b>0，

所以3(－a－1)2＋2a(－a－1)＋b＝0，

化简得b＝－a2－4a－3.(4分)

由Δ＝4a2－12b＝4a2＋12(a＋1)(a＋3)>0得a≠－，

所以b＝－a2－4a－3.(6分)

(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋a)ex－(x3＋ax2＋bx)，

所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x＋a＋1)ex－[3x2＋2ax－(a＋1)(a＋3)]

＝(x＋a＋1)ex－(x＋a＋1)(3x－a－3)

＝(x＋a＋1)(ex－3x＋a＋3)．(8分)

记h(x)＝ex－3x＋a＋3，则h′(x)＝ex－3，

令h′(x)＝0，解得x＝ln 3.

h(x)，h′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝ln3时，h(x)取得极小值，也是最小值，

此时h(ln3)＝eln 3－3ln3＋a＋3＝6－3ln3＋a

＝3(2－ln3)＋a＝3ln＋a>a>0.(10分)

令F′(x)＝0，解得x＝－a－1.

F(x)，F′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝－a－1时，F(x)取得极小值，也是最小值，

所以M(a)＝F(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1－[(－a－1)3＋a(－a－1)2＋b(－a－1)]

＝－e－a－1－(a＋1)2(a＋2)．(12分)

令t＝－a－1，则t<－1，

记m(t)＝－et－t2(1－t)＝－et＋t3－t2，t<－1，

则m′(t)＝－et＋3t2－2t，t<－1.

因为－e－1<－et<0，3t2－2t>5，

所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)

所以m(t)<－e－t－2<－－2＝－，

所以M(a)<－.(16分)

20. 解析：(1) 当n为奇数时，an＋1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2>0，所以an＋1≥an.(2分)

an－2＋an＋2＝2(n－2)－1＋2(n＋2)－1＝2(2n－1)＝2an；(4分)

当n为偶数时，an＋1－an＝2(n＋1)－2n＝2>0，所以an＋1≥an.

an－2＋an＋2＝2(n－2)＋2(n＋2)＝4n＝2an.

所以数列{an}是“R(2)数列”．(6分)

(2) 由题意可得bn－3＋bn＋3＝2bn，

则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，

数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，

数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.(8分)

因为bn≤bn＋1，所以b3n＋1≤b3n＋2≤b3n＋4，

所以b1＋nd1≤b2＋nd2≤b1＋(n＋1)d1，

所以n(d2－d1)≥b1－b2，①

n(d2－d1)≤b1－b2＋d1.②

若d2－d1<0，则当n>时，①不成立；

若d2－d1>0，则当n>时，②不成立．

若d2－d1＝0，则①和②都成立，所以d1＝d2.

同理得d1＝d3，所以d1＝d2＝d3，记d1＝d2＝d3＝d.(12分)

设b3p－1－b3p－3＝b3p＋1－b3p－1＝b3p＋3－b3p＋1＝λ，

则b3n－1－b3n－2＝b3p－1＋(n－p)d－[b3p＋1＋(n－p－1)d]

＝b3p－1－b3p＋1＋d＝d－λ.(14分)

同理可得b3n－b3n－1＝b3n＋1－b3n＝d－λ，所以bn＋1－bn＝d－λ.

所以{bn}是等差数列．(6分)

另解：λ＝b3p－1－b3p－3＝b2＋(p－1)d－[b3＋(p－2)d]＝b2－b3＋d，

λ＝b3p＋1－b3p－1＝b1＋pd－[b2＋(p－1)d]＝b1－b2＋d，

λ＝b3p＋3－b3p＋1＝b3＋pd－(b1＋pd)＝b3－b1，

以上三式相加可得3λ＝2d，所以λ＝d，(12分)

所以b3n－2＝b1＋(n－1)d＝b1＋(3n－2－1)，

b3n－1＝b2＋(n－1)d＝b1＋d－λ＋(n－1)d＝b1＋(3n－1－1)，

b3n＝b3＋(n－1)d＝b1＋λ＋(n－1)d＝b1＋(3n－1)，

所以bn＝b1＋(n－1)，所以bn＋1－bn＝，

所以数列{bn}是等差数列．(16分)

21. A. 解析：延长PT交⊙O2于点C，

连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T.

由切割线定理得PM2＝PC·PT＝3.

因为∠O1TP＝∠O2TC，

△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，(5分)

所以△O1TP∽△O2TC，所以＝＝2，

所以＝，即PC＝PT.

因为PC·PT＝PT·PT＝3，所以PT＝.(10分)

B. 解析：由已知得＝＝λ，

所以所以A＝.(4分)

设A－1＝，

则AA－1＝＝，

即＝，

所以a＝1，b＝c＝0，d＝，

所以λ＝2，A－1＝.(10分)

C. 解析：曲线的普通方程为y＝x2＋2x.(4分)

联立解得或(8分)

所以A(0，0)，B(－1，－1)，

所以AB＝＝.(10分)

D. 解析：因为a>1，b>1，

所以＋4(a－1)≥4b，＋4(b－1)≥4a.(4分)

两式相加＋4(a－1)＋＋4(b－1)≥4b＋4a，

所以＋≥8.(8分)

当且仅当＝4(a－1)且＝4(b－1)时，等号成立，

即当a＝b＝2时，＋取得最小值为8.(10分)

22. 解析：以{，， }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

(1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．

设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

令x＝1，则y＝2，z＝2.

所以n1＝(1，2，2)．(3分)

平面ACD的法向量为n2＝(0，0，1)，

所以|cos〈n1，n2〉|＝＝，

所以二面角PCDA的余弦值为.(5分)

(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)．

设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，

则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)

因为DC＝DH，

所以＝，

化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝.

因为点H异于点C，所以λ＝.(10分)

23. 解析：①当n＝1时，等式右边＝－＝＝

×[(sinxcosx＋cosxsinx)－(sinxcosx－cosxsinx)]　

＝cosx＝等式左边，等式成立．(2分)

②假设当n＝k时等式成立，

即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝－.

那么，当n＝k＋1时，有

cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x

＝－＋cos(k＋1)x

＝×{sin＋2sinx·cos(k＋1)x}－

＝×[sin(k＋1)xcosx－cos(k＋1)xsinx＋2sinxcos(k＋1)x]－

＝－

＝－.

这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．

根据①和②可知，对任何n∈N*等式都成立．(6分)

(2) 由(2)可知，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cos2 018x＝－，

两边同时求导，得－sinx－2sin2x－3sin3x－…－2 018sin2 018x

＝×[(2 018＋)cos(2 018＋)xsinx－sinxcosx]，(8分)

所以－sin－2sin－3sin－…－2 018sin　

＝×[cossin－sincos]＝

－，

所以sin＋2sin＋3sin＋4sin＋…＋2 018sin＝－.(10分)

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/96cd8108a4e9856a561252d380eb6294dc882273.html