2020合肥二模试题-理（含答案）

合肥市2020届高三第二次教学质量检测

数学试题(理科)

(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷 (60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则

A. B. C. D.

2.欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数、联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则

A.1 B. C. D.

3.若实数，满足约束条件则的最小值是

A.-5 B.-4 C.7 D.16

4.已知为奇函数，当时，(是自然对数的底数)，则曲线在处的切线方程是

A. B. C. D.

5.若，则

A.4 B.2 C.-2 D.-4

6.已知函数()的图象关于点()成中心对称，且与直线的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是

A.函数的最小正周期为

B.函数图象的对称中心为

C.函数的图象可由的图象向左平移得到

D.函数的递增区间为

7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是

由图1和图2面积相等得；

由可得；

由可得；由可得.

A. B. C. D.

8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择三个扶贫项目的意向如下表：

若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有

A.24种 B.16种 C.10种 D.8种

9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于

A. B. C. D.

10.已知抛物线的焦点为，过点(3，0)的直线交抛物线于点，若，则

A.-9 B.-11 C.-12 D.

11.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

12.在三棱锥中，二面角、和的大小均等于，，设三棱锥外接球的球心为，直线与平面交于点，则

A. B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷 (90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 第16题第一空2分，第二空3分. 把答案填在答题卡上的相应位置.

13.若向量和满足，，则 .

14.三人制足球(也称为笼式足球)以其独特的魅力，吸引着中国众多的足球业余爱好者.在某次三人制足球传球训练中，A队有甲、乙、丙三名队员参加.甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人.若由甲开始发球(记为第一次传球)，则第4次传球后，球仍回到甲的概率等于 .

15.已知双曲线()的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为 .

16.已知三个内角所对的边分别为，若，，成等比数列，，，成等差数列，则：(1) ；(2) .

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

已知等差数列的前项和为，，，数列满足.

⑴求数列和的通项公式；

⑵若数列满足，求数列的前项和．

18.(本小题满分12分)

在矩形中，在边上，，如图(1).沿将和折起，使平面和平面都与平面垂直，如图(2).

⑴试判断图(2)中直线与的位置关系，并说明理由；

⑵求平面和平面所成锐角二面角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于两点，点(1，)在直线的左上方．

⑴若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，求此时直线的方程；

⑵求证：内切圆的圆心在定直线上.

20.(本小题满分12分)

某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造.由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表:

⑴以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？

⑵记该生产线升级后的产品(以下简称“新产品”)的年产量为(万件)，通过核算，实行方案时新产品的年度总成本(万元)为，实行方案时新产品的年度总成本(万元)为.已知，，若按(1)的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价(元)分别为，，，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标.

21.(本小题满分12分)

已知函数.(是自然对数的底数)

(1)求的单调递减区间；

(2)记，若，试讨论在(0，)上的零点个数.(参考数据：)

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，(2，0)，求的值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知不等式的解集为().

(1)求的值；

(2)若三个正实数满足.证明：.

合肥市2020届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1 14. 15. 16.，(第一空2分，第二空3分)

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)设的公差为，由，得.

解得，，所以.

∵，∴()，

两式相除得(). 当时，适合上式.

∴. ………………………………5分

(2)∵，

∴

. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

解：(1).理由如下：

连结，分别取的中点，连结，由图(1)可得，与都是等腰直角三角形且全等，则，，，如图.

∵平面平面，交线为，平面，，∴平面.

同理得，平面，∴.

又∵，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵分别是的中点，

∴，∴. ………………………………5分

(2)在边上取一点，使得.

由图(1)可得，为正方形，即.

∵为的中点，∴.

由(1)知，平面，∴两两垂直.

以点为坐标原点，直线分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图.

设，则(0，0，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(-1，0，0)，

∴(1，0，1)，(-1，1，0).

设平面的一个法向量为. 由得.

令，则，∴(1，1，-1).

由平面是坐标平面可得：平面一个法向量为(0，1，0).

设平面与平面所成的锐角二面角为，则

，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ………………………………12分

19.(本小题满分12分)

解:(1)设直线的方程为.设()，().

由得，则.

由，解得.

又∵点()在直线的左上方，∴.

若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则，即，

化简得，解得，或(舍).

∴直线的方程为. ………………………………5分

(2)∵

，

∴直线平分，即的内切圆的圆心在定直线上. …………………………12分

20.(本小题满分12分)

解:(1)∵，解得.

，

，

；；.

∴当时，应选择方案；当时应选择方案；

当时，既可以选择方案也可以选择方案. ……………………………5分

(2)因为，根据(1)的结果，应选择方案，所以新产品的年度总成本为

.

设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，和，则

，，，

∴的分布列为

. ………………………………9分

设，，∴.

0⇒0，.

∴在(0，10)上单调递增，在上单调递减，

∴当时，取得最大值，即年产量为10万件时，取得最大值，

此时(万元).

由(1)知，预期平均年利润的期望(万元).

因为，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.

……………………………12分

21.(本小题满分12分)

解：(1)，定义域为. .

由解得，解得().

∴的单调递减区间为(). ………………………………5分

(2)由已知，∴.

令，则.

∵，∴当时，0' altImg='a864d10ea82cb81f2251c1cdb0231f15.png' w='82' h='21' class='_6'>；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

即在上单调递增，在上单调递减.

∵，0' altImg='dee7efc51dbd204e0907dd2542fd0550.png' w='153' h='43' class='_6'>，.

①当，即时，，

∴在上的图象大致如右图，

∴，使得，

∴当时，0' altImg='b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png' w='82' h='21' class='_6'>；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∵，∴.

又∵，∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点.

②若时，，

又∵在上单调递增，在上单调递减，

而0' altImg='dee7efc51dbd204e0907dd2542fd0550.png' w='153' h='43' class='_6'>，从而在上图象大致如右图.

∴，，使得，，

且当、时，；当时，0' altImg='b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png' w='82' h='21' class='_6'>.

∴在和上单调递减，在上单调递增.

∵，∴. ∵，∴.

又∵，由零点存在性定理可得，在和内各有一个零点，

即此时在上有两个零点.

综上所述，当时，在上仅有一个零点；

当时，在上有两个零点. ………………………………12分

22.(本小题满分10分)

(1)曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为.

∵，∴，

∴直线的直角坐标方程为. ………………………………5分

(2)设直线的参数方程为(为参数)，

将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴.

∴. ………………………………10分

23.(本小题满分10分)

(1)由题意知，为方程的根，∴，解得.

由解得，，∴. ………………………………5分

(2)由(1)知，

∴.

，

，

∴成立. ………………………………10分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/965e069374a20029bd64783e0912a21615797f71.html