山西省城市体系规模结构与空间结构的分形研究
摘要：本文应用分形理论，对山西省城市体系规模结构与空间结构现状进行了定量分析，通过计算规模结构的分形维数、空间结构的聚类维数和关联维数，发现山西省城市体系具有分形特征，城市规模分布过于集中，首位城市不突出；空间结构比较集中，但也存在不合理之处。基于以上结论对山西省城市体系发展提出了一些建议。
关键字：分形理论 城市体系 山西省
城市体系是指一个相对完整的区域或者国家中,由不同职能分工、不同等级规模、联系密切、互相依存的城镇所组成的集合。其中城市体系的规模结构和空间结构是其两个重要特征，由于城市所处的内外条件条件不同，形成城市的不同规模;区域内城市不是孤立存在的，城市之间不断地进行着物质、能量、人员、信息的交流，这种交流把空间上彼此分离的城市结合成一定结构的有机体，从而形成城市的空间结构。城市体系的规模结构和空间结构是区域自然经济因素长期发展在城市系统空间布局上的综合反映，是区域经济发展到一定阶段的产物，也是城市带动区域最有效的组织形式。因此研究一个区域的城市体系规模结构和空间结构, 并揭示其规律对发挥城市特色, 加强区域城市体系内聚力, 推进城市体系发展, 促进区域经济增长都具有极为重要的意义。
山西省地处黄河中游地段、太行山西侧的黄土高原东部，黄河以东。地理坐标为北纬34°34'——40°43'、东经110°14'——114°33'。东西宽约290公里，南北长约550公里，全省总面积15.6万平方公里，约占全国总面积的1.6%。人口3410万人，现辖太原、大同、朔州、阳泉、长治、忻州、吕梁、晋中、临汾、运城、晋城等11个地级市，共 85个县，11个县级市，23个市辖区。本文选取山西省的11个地级市进行城市体系分形特征研究，揭示其分形规律，并为其城市体系优化提出建议。
分形理论（Fractal Theory）是美籍法国科学家曼德尔布罗在20世纪70年代中期创立的一门非线性自组织理论，其产生于科学研究中线性科学向非线性科学的转变。分形理论的研究对象主要是不光滑、不规则甚至支离破碎的空间形态, 如海岸线, 雪花的轮廓等。随着分形定义的逐步明确, 分形研究的对象也逐渐由仅限于几何物体的形态和结构扩大到动态系统的时间分形, 经济社会的信息分形及生命科学中的功能分形。
分形理论的原理就是从自相似性出发去认识描述事物，描述事物的相似性特征量叫做分维数。通过对经典的欧氏（整数) 维的定义进行拓广 , 人们已得出多种分维计算方法。豪斯道夫(Hausdorff) 维、相似维、关联维、信息维等。
城市体系是非线性的复杂系统, 城市体系各要素通过物质流、能量流和信息流的传输和交换, 相互作用, 协同发育, 产生比速增长机制, 使得区域城市的空间分布显示出一定的规律, 这便是城市体系空间分布的自相似性分形结构。
认识城市体系的分形特征，可以为城市体系规划的现状分析提供一个很好的视角，本文应用分形理论，以山西省为例，通过建立城市体系规模结构、空间结构的分形模型，计算山西省城市体系规模结构的分形维数，空间结构的聚类维数和关联维数，分析山西省城市体系规模结构与空间结构现状特征，并对山西省城市体系发展提出建议。其研究框架如下（图1）
图1 山西省城市体系分形研究框架图
假定一个区域分布若干聚落, 由于城市与乡镇之间无明显界限, 可以设定一个人口尺度r 来度量,规定人口规模S = r 的聚落为城市, 显然, 改变人口尺度r, 区域城市的数目N （r） 也会改变, 当r 由大变小时, N （r) 不断增大, 当满足关系式:
(1)
C , D 为参数, 即区域城市累计数与人口尺度成负幂率分布时, 可以认为城市规模分布为分形, D 为分维。若区域城市总数, 令P （r） = N （r） /
表示人口规模大于或等于门槛值r 的城市数目百分比, 则:
(2)
参数A = N （r） /, 式(2) 便是城市体系规模分布的Pareto 公式, 它在本质上与式（1) 相同。另一方面, 如果我们将区域城市按人口规模由大到小排序, 可得如下模型:
(3)
这便是著名的Zapf 公式, 式中k 为城市位序, P （k）为位序为k 的城市人口数, 系数在理论上为首位城市人口数, 参数q 被称为Zapf 指数。 可以证明, 式（1) 与式（3) 在理论上等价, 可知q= 1/D, Zapf 指数具有分维性质, 故有人称之为Zapf 维。Zapf 维数可以反映城市体系规模分布的几何特征, 在式（3) 中, 令
, 则有:
(4)
这里Pn 为最小城市的人口数目,为区域城市总数, 易见:当q= 1 时, D= 1, 此时
, 即首位城市与最小城市的人口规模之比恰为区域内城市总数, 城市体系系统性态良好, Carroll 称此种形态为约束型位序- 规模分布;当q> 1, D < 1 时,
, 这时城市规模分布比较分散, 人口分布差异程度较大, 首位城市的垄断性较强, 区域内城市体系发育还不成熟;当q< 1, D> 1 时,
, 此时人口规模分布比较集中, 人口分布比较均衡, 中间位序的城市发育, 整个城市体系发育已较成熟。
Pareto 分布和Zapf 分布的区别在于: 在应用中前者对人口尺度以等间距取值, 后者对城市数目以等间距取值（转为位序) , 而它们的数理本质却是相同的. 需要说明的是, 计算分维, 从理论上讲最好采用Pareto 公式, 此时人口尺度r （相当于P （k)） 按一定步长变化, 但人口累计数N （r） （相当于k) 的变化是不规则的. 显然由此计算的D 值会与q 值有一定的差异. 利用Pareto 公式的缺点是:人口尺度的步长对分维值的计算结果有一定干扰.尺度的步长相当于空间分析的分辨率, 分维的计算在理论上与尺度无关, 但对分辨率肯定有依赖 ,依赖的程度越小, 表明系统的自相似性越强. 寻找最佳步长比较麻烦, 所以本文采用Zapf 公式:将(3) 式两边取对数, 得:
lnP （k） = lnP1 - q lnk （5)
（5) 式中的k 为所选城市的位序. 首先将城市按人口规模排序（表1）, 然后将点列（lnk, lnP （k）） 进行一元线形回归, 绘成位序-规模的双对数坐标图（图2)。
表1山西省人口规模序位单位：万人
得规模结构分型维数D=1.227，相关性系数R =0.963，分形维数D>1,说明山西省城市人口都具有分形特征，城市间的规模差异较小，人口分布比较均衡，城市规模分布趋于集中，首位城市不突出，中间位序的城市数目较多。
城市空间结构是城市体系的重要特征之一，描述城市在地域空间上分布的自相关特性是空间集聚分维数。假定城市体系按照某种自相似规则围绕中心城市呈凝聚态分布，城市体系向各个方向均匀变化，则可借助几何测度关系确定半径r的圆周内城市数目N(r)与半径r的关系，有，类似于豪斯道夫(Hausdorff) 维数公式，D是空间聚类的分维数，现实中区域一般不是圆形，因此r直接取值可能会导致错误的分维，应该将其转化为平均半径，平均半径定义为
(6)
式中：是平均半径，S是一定范围内城市点数目，
是从中心城市到第i个城市的距离，整个公式的含义是由S个点集聚的平均半径。半径与城市数目之间存在如下关系：
也可以表示成
。
D为城市体系空间聚集维数, 其地理意义在于: 当D< 2 时,城市体系呈集聚分布，从中心逐渐向四周衰减, 呈非线性、不均匀变化, 越往四周衰减速度越快；当D= 2 时, 城市体系由中心向四周是均匀分布；当D> 2 时, 城市体系由中心向四周呈递增趋势，城市体系分布呈漏斗状离散分布，这种结构发育呈非正常状态。
以太原市为中心城市，从地图上测量太原市与各个地级市间的直线距离，可以求出平均半径（表2）。以lnS为纵坐标，ln
为横坐标，做散点图（图3），进行线性回归分析，得聚类维数D=0.827，相关系数R =0.998。 D<2,说明山西省城市空间分布有明显的聚类特征，城市密度由中心向四周逐渐减小。
表2 山西省城市数目与平均半径统计表 单位：千米
城市之间会通过物质流、能量流和信息流的传输和交换而相互作用，形成一定的增长关联机制，这种关联会促使城市的空间分布显示出一定的规律并具有自相似的分形特征，因此可以用关联维数来测定城市之间的相互作用和空间关联。城市间的空间关联定义是：
(7)
(8)为筛选的城市数目；r为给定的距离标度；
为城市体系内第i个城市与第j个城市之间的距离。
为Heaviside越阶函数
如果城市体系的空间分布是分形的，则应具有标度不变性，即
(9)
对上式两边同时求对数
(10)式中, D 为城市体系的空间关联维数,反映了城市体系要素空间分布的均衡性。 一般情况下, 其数值变化于0~ 2 之间, 当时, 表明城市分布高度集中于一地（形成一个首位城市) ; 当
时, 表示城市体系各要素集中到一条地理线（如铁路、河流、海岸线等) ; 当
时, 表明城市的空间分布很均匀, 导致以任何一个城市为中心, 城市的分布密度都是均匀变化的9 , 标准的中心地模型即属于这种情况。D值越小, 说明城市体系各城市之间联系越紧密, 分布越集中; D值越大, 说明城市空间作用力越小, 城市布局越分散。
本文以太原市为中心城市，分别以城市之间的直线距离（乌鸦距离）和城市间的运营距离（蠕牛距离）进行计算关联维数D和D′。通常D′越接近于D , 则表明各城市之间的连通性越好。空间关联维数的优点在于它可以有效反映城市体系各城市间交通网络的通达性, 说明各城市间的关联程度。 刘继生等进一步定义牛鸦维数比为9
(11)
牛鸦维数比是衡量各城市间交通网络通达性的指标, 当时, 表明交通网络通达性较差;
越接近1, 表明各城市之间越接近于直线式连通, 交通网络通达性越好, 城市间关联程度越高; 当
时, 表明交通不受任何障碍的限制, 这是一种极端理想的状况, 在现实社会中一般不存在。
现以整个山西省为11个主要城市为研究对象，通过测量城市之间的直线距离和实际运营距离，列成表格（表3、表4）。
表3 山西省城市直线距离矩阵 单位：公里
表4 山西省城市运营距离矩阵 单位：公里
以步长△r=50公里来取距离标度r，则距离小于r的城市数C(r)随着r的变化而变化，这样就得到一系列的点对（r，C(r)），制成表格（表5）。以ln C(r)为纵坐标，lnr为横坐标，做散点图（图4），进行线性回归分析，得相关系数R =0.985，关联维数D=0.697，说明山西省城市体系空间关联较为紧密。
表5 实际距离及对应的城市数目
图4
同样我们可以把r换成城市之间的运营距离，根据运营距离矩阵，制成表格（表6）。以lnC(r)为纵坐标，lnr为横坐标，做散点图（图5），进行线性回归分析，得相关系数R =0.987，交通网络的关联维数D′=0.744，说明山西省城市体系空间关联较为紧密。计算牛鸦维数=1.067，大于1。说明山西省城市体系间的交通联通性差，这主要是与山西省的地形有关，山西省东有太行山脉，西有吕梁山脉南北延伸，使得交通非常不便利，其它地级城市之间的联通大多数要绕经太原市，这样的交通格局强化了太原市交通核的作用，但是其他城市之间的空间联系极其不方便。
表6 运营距离及对应的城市数目
图5
综合上面的分析，山西省城市体系规模结构和空间结构都具有分形特征。规模结构上，人口差异较小，中型城市发达。11个城市中非农业人口在20—40万人的城市就有6个，分别为临汾市、 晋中市、 运城市、晋城市、 朔州市、忻州市。空间结构上，围绕中心城市太原市呈向心式集聚，城市密度由中心向外递减，这是符合理论的正常模式。城市体系空间上联系紧密，但是交通条件较差，这是受到东面的太行山山脉、西面的吕梁山山脉的自然隔离影响。针对这些问题提出山西城市体系发展的对策和建议。
第一，扩大太原市的城市规模，建设完善其职能，利用太原市的技术、经济优势聚集更多的资源、人才、企业形成产业集群。利用太原市处于山西中部交通枢纽的集聚优势，带动周边城市的发展。
第二，从整体上来看山西省城市主要沿大（同）——运（城）高速公路，和大（同）—长（治）—晋（城）高速公路分布;大运高速沿线城市有大同、朔州、忻州、太原、临汾、运城；大—长—晋高速沿线城市有大同、朔州、忻州、太原、晋中、长治、晋城。在以后发展中要以这两条交通线，作为城市发展轴，促进城市沿交通线分布，形成区域城市密集区，带动区内城市发展。
第三，由于受自然地形的限制和人为因素的影响山西省道路交通系统较差，在城市规划中要完善区域交通体系。同时要利用现代的通信设施来克服自然条件限制，做好通信基础设施建设，充分利用互联网、电子商务等新的联系方式取代部分交通，降低出行成本，形成交通与信息技术优势互补，构建高速道路交通有形网络空间和信息高速公路的虚拟网络空间。
[ 参 考 文 献 ]
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