浙江省台州市2015年高考数学一模试卷（理科） Word版含解析

2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（　　）

　 A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件

　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（　　）

　 A． B． C． D．

3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（　　）

　 A． 16 B． 32 C． 48 D． 96

4．现定义an=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则an取最小值时，n的值为（　　）

　 A． B． C． D． 1

5．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（　　）

　 A． ﹣2 B． ﹣1 C． 0 D． 2

6．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（　　）

　 A． 12 B． ﹣12 C． 8 D． ﹣8

7．设实数x，y满足则的取值范围为（　　）

　 A． [，1] B． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C． [﹣1，1] D． [﹣1，]

8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（　　）

　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）

9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M=　　　　　　；P∩S=　　　　　　；CRM=　　　　　　．

10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为　　　　　　；离心率为　　　　　　．

11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为　　　　　　，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有　　　　　　个．

12．已知{|an|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=　　　　　　，S3的所有可能值的集合为　　　　　　．

13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为　　　　　　km．

14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为　　　　　　．

15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为　　　　　　．

三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a=1，求的最小值．

17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿

FD折成一个60°的二面角．

（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；

（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．

18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．

（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；

（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．

19．设数列{an}的前n项和Sn，Sn=2an+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{an﹣1}为等比数列．

（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：T2n＜．

20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．

（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；

（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．

2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共7小题。共38分.把答案填在题中的横线上．

9． 10．

11． 12．

13. 14.

15.

三、解答题：本大题共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

17.（本小题满分12分）

18.

19.

20.

2015年浙江省台州市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知向量=（1，2），=（x，y）．则“x=﹣2且y=﹣4”是“∥”的（　　）

　 A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件

　 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据向量平行的性质及判定得到y=2x，进而判断“y=2x”和“x=﹣2，y=﹣4”的关系即可．

解答： 解：若“∥”，则满足y=2x，

由x=﹣2，y=﹣4能推出y=2x，是充分条件，

由y=2x推不出x=﹣2，y=﹣4，不是必要条件，

故选：B．

点评： 本题考查了充分必要条件，考查了平行向量问题，是一道基础题．

2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a=，b=2，B=，则A的值为（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 正弦定理．

专题： 解三角形．

分析： 由已知及正弦定理可解得sinA==，结合A的范围，利用三角形中大边对大角即可求得A的值．

解答： 解：由已知及正弦定理可得：sinA===，

由于：0＜A＜π，可解得：A=或，

因为：a=＜b=2，利用三角形中大边对大角可知，A＜B，

所以：A=．

故选：D．

点评： 本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角知识的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．

3．一个空间几何体的三视图如图所示，其体积为（　　）

　 A． 16 B． 32 C． 48 D． 96

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．

解答： 解：由三视图可知该几何体的直观图是正视图为底的四棱锥，

AB=2，CD=4，AD=4，

棱锥的高为VD=4，

则该四棱锥的体积V==16，

故选：A

点评： 本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．

4．现定义an=5n+（）n，其中n∈{，，，1}，则an取最小值时，n的值为（　　）

　 A． B． C． D． 1

考点： 数列递推式．

分析： 对数列函数f（n）=5n+（）n求导数，由导函数的符号判断数列an=5n+（）n为递增数列，由此可得an取最小值时n的值．

解答： 解：∵an=5n+（）n，

令f（n）=5n+（）n，

∴（n＞0），

∴数列an=5n+（）n为递增数列，

则当n∈{，，，1}，且an取最小值时，n的值为．

故选：A．

点评： 本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，属中档题．

5．若函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点，则实数a的值是（　　）

　 A． ﹣2 B． ﹣1 C． 0 D． 2

考点： 函数零点的判定定理．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根，令F（x）=|x|+log2（x2+2），可判断F（x）是偶函数，F（x）≥F（0）=1，从而可得a=﹣1．

解答： 解：函数f（x）=a+|x|+log2（x2+2）有且只有一个零点可化为

方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根，

令F（x）=|x|+log2（x2+2），

则F（x）是偶函数，且F（x）在[0，+∞）上是增函数，

故F（x）≥F（0）=1；

故方程|x|+log2（x2+2）=﹣a有且只有一个根时，

﹣a=1；

故a=﹣1．

故选B．

点评： 本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，同时考查了函数的性质的判断，属于基础题．

6．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则abc=（　　）

　 A． 12 B． ﹣12 C． 8 D． ﹣8

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，利用韦达定理求出abc的值．

解答： 解：由函数f（x）=的部分图象知，1与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且二次函数的顶点纵坐标为﹣1，

故1+3=，1×3=，=﹣1，

即b=﹣4a、c=3a，代入=﹣1得a=1，

∴b=﹣4，c=3，

∴abc=﹣12，

故选：B．

点评： 本题主要考查函数图象的应用，重点考查识图的能力．关键是从图象的特点入手，找出函数所要满足的性质．

7．设实数x，y满足则的取值范围为（　　）

　 A． [，1] B． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C． [﹣1，1] D． [﹣1，]

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 利用方式函数的性质将目标函数进行化简，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：====，

设k=，则k的几何意义为区域内的点到D（2，2）的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则AD的斜率最大，由，解得，即A（4，3），

此时AD的斜率最大，为k=，即k≤，

则≥2或＜0，

则﹣1≥1或﹣1＜﹣1，

0＜≤1或﹣1＜＜0，

即0＜≤1或﹣1＜＜0，

当y=2时，=0，

当x=2，y=0，对应的=，

综上﹣1≤≤1，

故选：C

点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质将目标函数进行分解是解决本题的关键．难度较大．

8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F为BD1的两个三等分点，G为长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，则∠EGF的最大值是（　　）

　 A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°

考点： 棱柱的结构特征．

专题： 数形结合；空间角．

分析： 根据题意，画出图形，结合图形得出当动点G为长方体的上下两个面的中心时，∠EFG最大，最大值为90°．

解答： 解：根据题意，画出图形，如图所示；

长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，

所以长方体的体对角线BD1=3；

设BD1的中点为O，因为E，F是BD1的三等分点，

所以OE=OF=，且长方体的高为1；

现以EF为直径作一个球，这个球与长方体的上下两个面相切于面的中心

（即该球与长方体的表面仅此两个公共点）；

因此，当G位于这两个公共点处时，∠EFG最大，

此时EF为直径，所以∠EFG=90°；

若G在长方体表面的其它位置时，则G必在该球的外部，∠EFG必小于90°；

所以∠EFG的最大值为90°．

故选：D．

点评： 本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了求空间角的应用问题，解题时应画出图形，利用数形结合的方法，是综合性题目．

二、填空题（本大题共7小题，共36分.其中9～12题，每小题6分，13～15题，每小题6分）

9．设集合P={x∈R|x2＜16}，M={x∈R|2x＜8}，S={x∈R|log5x＜1}，则P∪M=　{x|﹣4＜x＜4}　；P∩S=　{x|0＜x＜5}　；CRM=　{x|x≥4}　．

考点： 交集及其运算；并集及其运算．

专题： 集合．

分析： 求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．

解答： 解：∵P={x∈R|x2＜16}={x|﹣4＜x＜4}，

M={x∈R|2x＜8}={x|x＜3}，S={x∈R|log5x＜1}={x|0＜x＜5}，

则P∪M={x|x＜4}，P∩S={x|0＜x＜4}，

CRM={x|x≥4}，

故答案为：{x|﹣4＜x＜4}，{x|0＜x＜5}，{x|x≥4}

点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

10．设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，那么双曲线C的方程为　3　；离心率为　　．

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．

解答： 解：F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|﹣|PF2|=6，可得a=3，

双曲线方程为：=1，则b=4，c=5，

双曲线的离心率为：e=．

故答案为：3；．

点评： 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

11．已知圆C：x2+y2=25和两点A（3，4），B（﹣1，2），则直线AB与圆C的位置关系为　相交　，若点P在圆C上，且S△ABP=，则满足条件的P点共有　4　个．

考点： 直线和圆的方程的应用．

专题： 解三角形；直线与圆．

分析： 求出直线AB的斜率和点斜式方程，求得圆心到直线AB的距离，与半径比较即可判断AB与圆C的关系；求出AB的长，运用三角形的面积公式，求得P到直线AB的距离，即可判断P的个数．

解答： 解：直线AB的斜率为k==，

即有AB：y﹣4=（x﹣3），即为

x﹣2y+5=0，

圆心C（0，0）到直线AB的距离为=＜5，

则直线AB和圆C相交；

由于|AB|==2，

S△ABP=，则×d=，

即有d=，即P到直线AB的距离为，

而C到直线AB的距离为＞，

且5﹣＞，

即有在直线AB的两侧均有两点到直线AB的距离为，

则满足条件的P点共有4个．

故答案为：相交；4．

点评： 本题考查直线和圆的位置关系的判断，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．

12．已知{|an|}是首项和公差均为1的等差数列，S3=a1+a2+a3，则a3=　±3　，S3的所有可能值的集合为　{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}　．

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 由题意，|a3|=3，所以a3=±3，由a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，可得S3的所有可能值．

解答： 解：由题意，|a3|=3，所以a3=±3，

因为a1=±1，a2=±2，S3=a1+a2+a3，

所以S3的所有可能值为﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6，

故答案为：±3；{﹣6，﹣4，﹣2，0，2，4，6}．

点评： 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

13．有三家工厂分别位于A、B、C三点，经测量，AB=BC=5km，AC=6km，为方便处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AP、BP、CP．则AP+BP+CP的最小值为　km　km．

考点： 解三角形的实际应用．

专题： 计算题；解三角形．

分析： 由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，即可求出AP+BP+CP的最小值．

解答： 解：由题意，AB=BC=5km，AC=6km，所以AC上的高为4km，AB，AC上的高都为km，

∵4+6＞5+，

∴AP+BP+CP的最小值为km．

故答案为：km．

点评： 本题考查AP+BP+CP的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．

14．已知f（x）=则不等式f（x2﹣x）＞﹣5的解集为　（﹣1，2）　．

考点： 分段函数的应用．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 讨论分段函数的单调性，可得f（x）在R上连续，且为递减函数，又f（2）=﹣5，不等式f（x2﹣x）＞﹣5

即为f（x2﹣x）＞f（2），由单调性可去掉f，解二次不等式即可得到解集．

解答： 解：当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1为递减函数，

当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4为递减函数，

且x=0时，f（0）=3，

则f（x）在R上连续，且为递减函数，

又f（2）=﹣5，

不等式f（x2﹣x）＞﹣5即为f（x2﹣x）＞f（2），

由f（x）为R上的单调递减函数，可得

x2﹣x＜2，

解得﹣1＜x＜2．

则解集为（﹣1，2）．

故答案为：（﹣1，2）．

点评： 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性和运用：解不等式，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．

15．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则的取值范围为　[﹣4，]　．

考点： 平面向量数量积的运算．

专题： 平面向量及应用．

分析： 建立直角坐标系，设出C的坐标，求出，，然后化简，即可求解它的范围．

解答： 解：如图建立平面直角坐标系：

设D（cosθ，sinθ），﹣π≤θ≤π，

∠CAB=α，=（a，b），﹣＜α＜，

则tanα=，a=2cos2α，b=2cosαsinα，

•=（a，b）•（cosθ﹣1，sinθ）

=acosθ+bsinθ﹣a

=sin（θ+φ）﹣a，

其中tanφ==，∴α+φ=，﹣＜φ＜，

从而﹣＜θ+φ＜，

∴•=sin（θ+φ）﹣a的最大值是：﹣a，最小值是：﹣﹣a，

最大值为：﹣a=﹣2cos2α

=2cosα﹣2cos2α

=﹣2+，

当α=时，取最大值；

最小值是：﹣﹣a=﹣2cosα﹣2cos2α=﹣+，

当α=0时，取最小值﹣4；

故答案为：[﹣4，]．

点评： 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．

三、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．设△ABC的三内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，函数f（x）=cosx+sin（x﹣），且f（A）=1．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若a=1，求的最小值．

考点： 基本不等式；正弦函数的图象．

专题： 三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．

分析： （I）令两角和差的正弦公式可得函数f（x）=，f（A）==1，且A∈（0，π），即可得出．

（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=cosx+sin（x﹣）

=cosx+sinx﹣

=sinx+=，

∵f（A）==1，且A∈（0，π），

∴，解得A=．

（II）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴1==b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号．

≥2，

∴的最小值为2．

点评： 本题考查了两角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥BC∥FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE，现把此五边形ABCDE沿

FD折成一个60°的二面角．

（Ⅰ）求证：直线CE∥平面ABF；

（Ⅱ）求二面角E﹣CD﹣F的平面角的余弦值．

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （Ⅰ）先证明四边形ABCE为平行四边形得到CE∥AB，从而直线CE∥平面ABF；

（Ⅱ）取FD得中点G，如图作辅助线．先证明DF⊥平面ABF，从而DF⊥平面ECG，所以DF⊥EH，又EH⊥CD，所以EH⊥CD，又HI⊥CD，所以CD⊥平面EHI，从而CD⊥EI，从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．代入数据计算即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵AE∥DF，BC∥FD，∴AE∥BC，

又∵BC=AE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE∥AB．

又CE⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，所以直线CE∥平面ABF；

（Ⅱ）解：如图，取FD得中点G，连接EG、CG，

在△CEG中，作EH⊥CG，垂足为H，

在平面BCDF中，作HI⊥CD，垂足为I，连接EI．

∵AE=FG=BC，AE∥FG∥BC，∴AF∥EG，BF∥CG．

又DF⊥AF，DF⊥BF，故DF⊥平面ABF，所以DF⊥平面ECG，

∵EH⊥CG，DF⊥EH，∴EH⊥平面CGD，∴EH⊥CD，

又∵HI⊥CD，∴CD⊥平面EHI，所以CD⊥EI，

从而∠EIH为二面角E﹣CD﹣F的平面角．

设BC=AE=1，则FG=GD=CG=GE=1，

由于∠EGC为二面角C﹣FD﹣E的平面角，即∠EGC=60°，

所以在△CEG中，HG=CH=，EH=，HI=CHsin45°=，

所以EI=，所以cos∠EIH=．

点评： 本题考查空间角、空间中直线与平面的位置关系，属中档题．

18．如图，已知椭圆C：+y2=1，过点P（1，0）作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M、N．

（Ⅰ）设点A（0，2），k=1．求△AMN的面积；

（Ⅱ）设点B（t，0），记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k．（k1+k2）•k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）当k=1时，写成直线l的方程，再结合椭圆方程即得点N（0，﹣1），M（，），从而可得S△AMN=；

（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），结合椭圆方程可得关于x的一元二次方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，根据根的判别式△及韦达定理及直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，可得（k1+k2）•k=，分2t﹣8=0与2t﹣8≠0两种情况讨论即可．

解答： 解：（Ⅰ）当k=1时，直线l的方程为y=x﹣1，

由 得x1=0，

即点N（0，﹣1），M（，），

所以|AM|=3，S△AMN==；

（Ⅱ）设直线AN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），

由 得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

则△=16（3k2+1）＞0，及，，

由，得

（k1+k2）•k=k（+）

=k2（+）

=

=

=

若2t﹣8=0，则t=4，（k1+k2）•k=0为定值；

当2t﹣8≠0，则t2﹣4=0，（k1+k2）•k=为定值；

所以，当t=4时，（k1+k2）•k=0；

当t=2时，（k1+k2）•k=﹣1；

当t=﹣2时，（k1+k2）•k=﹣．

点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，利用一元二次方程中的韦达定理是解题的关键，属难题．

19．设数列{an}的前n项和Sn，Sn=2an+λn﹣4（n∈N+，λ∈R），且数列{an﹣1}为等比数列．

（Ⅰ）求实数λ的值，并写出数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）（i）判断数列{}（n∈N+）的单调性；（ii）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：T2n＜．

考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： （Ⅰ）由Sn+1﹣Sn易得an+1=2an﹣λ，所以an+1﹣1=2an﹣λ﹣1=，又数列{an﹣1}为等比数列，得λ=1．从而an﹣1=2n，则an=1+2n；

（Ⅱ）（i）作差==即得结论；

（ii）由bn==，可知T2n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），利用﹣＜﹣==，将其放缩即可．

解答： 解：（Ⅰ）由Sn=2an+λn﹣4，得Sn+1=2an+1+λ（n+1）﹣4，

两式相减得an+1=2an+1﹣2an+λ，

即an+1=2an﹣λ，

所以an+1﹣1=2an﹣λ﹣1=，

又数列{an﹣1}为等比数列，

所以，即λ=1．

所以a1=3，a1﹣1=2，

所以an﹣1=2n，

故数列{an}的通项公式为：an=1+2n；

（Ⅱ）（i）∵==，

又2n，2n+1单调递增，

∴数列{}（n∈N+）为单调递减数列；

（ii）∵bn==，

∴T2n=b1+b2+…+b2n

=（﹣）+（﹣）+…+（﹣），

由（i）得﹣＞﹣，

即﹣＞﹣，

所以﹣＜﹣==，

所以T2n＜（﹣）+（++…+）

=（﹣）+

＜﹣+=＜．

点评： 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”以及放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．

（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；

（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法；二次函数的性质．

专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： （Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；

（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．

解答： 解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为

ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，

当x=0时，0＞﹣1成立；

当x≠0时，a≥，

令g（x）=，

即有g（x）=，

当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；

当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．

则有g（x）的最大值为．

即有a≥，则a的最小值为；

（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，

使得方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．

而f（x）=，

（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．

方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；

（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，

方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；

（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，

在（，b）递减，在（b，+∞）递增．

又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，

要使方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．

则f（）﹣f（b）＞，

∀b∈[1，2]，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．

当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈[﹣11，﹣5]，

g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）max=﹣，即有a＞﹣，

当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．

即有﹣＜a＜；

②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，

在（，+∞）递增．

∀b∈[1，2]，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，

当＜3，∀b∈[1，2]恒成立，解得a＞﹣，

当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈[1，2]恒成立，

取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．

所以无解．

综上可得，a的取值范围为（﹣，）．

点评： 本题考查绝对值不等式的解法和运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/9401ec13c1c708a1294a442e.html