2017-2018学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}
2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．C．
4．化简：（sinα+cosα）2=（ ）
A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα
5．向量=（1，﹣2），
=（2，1），则（ ）
A．∥
B．
⊥
C．与
的夹角为60°D．
与
的夹角为30°
6．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（ ）
A．15B．30C．31D．64
7．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（ ）
A．C．
8．在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，则a=（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
9．比较大小：log25 log23；（填“＞”或“＜”）
10．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师 人．
11．某程序框图如图所示，若输入的a，b，c的值分别是3，4，5，则输出的y值为 ．
12．a＞1，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13．已知sinα=，0＜α＜
，求cosα和sin（α+
）的值．
14．已知在等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3．
（1）求an；
（2）令bn=2an，判断数列{bn}是等差数列还是等比数列，并说明理由．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．
（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；
（2）求三棱锥B﹣ACB1体积．
16．已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．
17．已知函数f（x）=log2（x+1）．
（1）将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；
（2）若关于x的函数y=g2（x）﹣mg（x2）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．
一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
18．已知双曲线﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，
），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣
=1B．
﹣
=1
C．﹣
=1D．
﹣
=1
19．甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（ ）
A．72种B．54种C．36种D．24种
20．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③M={（x，y）|y=log2x}；
④M={（x，y）|y=ex﹣2}．
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
21．若“∀x∈[0，]，tanx＜m”是假，则实数m的最大值为 ．
22．已知椭圆C： +
=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．
三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）．
（1）求X的分布列；
（2）若Y=﹣λ2X+λ+1，E（Y）＞1，求实数λ的取值范围．
24．已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．
2015-2016学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}
【分析】先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．
【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，所以CUB={1，3，4}，
又A={1，3，5}，所以A∩（CUB）={1，3，5}∩{1，3，4}={1，3}．
故选D．
【点评】本题考查了交集和补集运算，熟记概念，是基础题．
2．下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥
【分析】根据空间几何体三视图的概念，对选项中的几何体三视图进行判断即可．
【解答】解：球的正视图、侧视图和俯视图都是半径相等的圆面，都相同．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．C．
【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．
【解答】解：函数，
可得：f（﹣1）=5＞0，
f（0）=3＞0，
f（1）=＞0，
f（2）=＞0，
f（3）=﹣0，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选：D．
【点评】本题考查零点定理的应用，考查计算能力．
4．化简：（sinα+cosα）2=（ ）
A．1+sin2αB．1﹣sinαC．1﹣sin2αD．1+sinα
【分析】把（sinα+cosα）2 展开，利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果．
【解答】解：∵（sinα+cosα）2 =1+2sinαcosα=1+sin2α，
故选：A．
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
5．向量=（1，﹣2），
=（2，1），则（ ）
A．∥
B．
⊥
C．与
的夹角为60°D．
与
的夹角为30°
【分析】运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．
【解答】解：∵向量=（1，﹣2），
=（2，1），
∴=1×2+（﹣2）×1=0，
∴夹角的余弦为0，
∴⊥
．
故选B．
【点评】本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线与垂直的坐标表示．
6．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（ ）
A．15B．30C．31D．64
【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．
【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．
再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=
．
故 a12 =a1+11d=﹣+
=15，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．
7．下列坐标对应的点中，落在不等式x+y﹣1＜0表示的平面区域内的是（ ）
A．C．
【分析】分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式x+y﹣1＜0进行判断，即能够求出答案．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/91984357cd7931b765ce0508763231126fdb7776.html
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