初中数学应用问题中的调和平均数模型
湖北省来凤县接龙中学 445700 胡永安
数学中有四种较为常见的平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数、平方平均数．在数学应用问题中，算术平均数和几何平均数较为常见，平方平均数很少涉及，而调和平均数常有出现．
对于正数、
，我们称
叫做
、
的调和平均数，记为
，即
，其本质在于
、
、
构成等差数列．
下面谈谈初中数学应用问题中的调和平均数模型．
一、等距离平均速度问题
例1 甲、乙两地间的距离为，从甲地到乙地的速度为
，从乙地到甲地的速度为
，则往返的平均速度
是
、
的调和平均数．
解 往返平均速度为
二、等价钱平均价格问题
例2 有甲、乙两种同类商品，甲每件价格为，乙每件的价格为
，现购进价值均为
的这两种商品，则每件商品平均价格
是
、
的调和平均数．
解 每件商品平均价格为
三、等溶质增减等溶剂问题
例3 现有浓度为的某种溶液，若加入一定量的水后浓度变为
，若减少同样量的水后浓度变为
，则
是
、
的调和平均数．
解 我们假设刚开始时原溶液中溶质和溶液分别为、
，每次增加或减少的水量为
，那么
四、等发车时间前后过车问题
例4 环城公共汽车站每隔分种向两个方向各发一辆公共汽车．某人在环城公路上匀速步行，每隔
分种就遇到一辆迎面开来的公汽，每隔
分种就有一辆公汽从后面超过他．则该路公共汽车发车间隔时间
是
、
的调和平均数．
解 设同一方向上相邻两车的距离为，有方程组：
其中为车速与人速之比．
例5 小红放学后沿着公共汽车的线路以千米／时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．当第一辆公共汽车从她身后超过时，迎面正好遇到了第一辆公共汽车，而当第
辆公共汽车从她身后超过时，迎面正好遇到了第
辆公共汽车．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？
解 设题中时间间隔为分种，那么每隔
分钟迎面遇到一辆公共汽车；每隔
分钟一辆公共汽车从身后超过；此时令汽车的速度为
千米／时，根据等发车时间前后过车问题公式有
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