2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（文科）及答案解析

北京市 高考数学二模试卷（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}

2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（　　）

A．y= B．y= C．y=log0.5x D．y=ex

3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（　　）

A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（　　）

A．20 B．16 C．15 D．12

6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（　　）

A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（　　）

A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日

B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量

C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大

D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．复数的虚部为______．

10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．

11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．

12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______； 若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．

14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：

则他第二天获得的奖励红包为______元，这五天累计获得的奖励红包为______元．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．

16．在等比数列{an}中，a1=1，a4=8

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|（n∈N*）．

17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：

（1）估计学生既选了课程三，又选了课程四的概率；

（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；

（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？

18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．

（Ⅰ）求证：PA∥GH；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；

（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．

19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．

（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；

（Ⅱ）求证：AB⊥AP；

（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}

【考点】交集及其运算．

【分析】根据集合交集的概念求解即可．

【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，

∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴A∩B={﹣1，0，1}，

故选A．

2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（　　）

A．y= B．y= C．y=log0.5x D．y=ex

【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．

【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；

对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；

对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；

对于D，y=ex在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．

故选：C．

3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（　　）

A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．

【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．

【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，

∴圆心的坐标为C（0，1），

∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，

∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．

因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，

整理得2x﹣3y+3=0．

故选：A．

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】程序框图．

【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．

【解答】解：模拟执行程序，可得

S=0，i=1

满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2

满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3

满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4

不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．

故选：B．

5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（　　）

A．20 B．16 C．15 D．12

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．

【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，

∵=3，

∴，

∴，

则•==．

故选：D．

6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．

【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或cosα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，

∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，

故选：B．

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（　　）

A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．

【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴g（x）是定义在R上的偶函数，

∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1

∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．

故选：B．

8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（　　）

A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日

B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量

C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大

D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小

【考点】频率分布折线图、密度曲线．

【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．

【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；

对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；

对于C、D，结合图象C正确，D错误；

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．复数的虚部为　1　．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．

【解答】解：∵==i，

∴它的虚部是1，

故答案为：1．

10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是　3　．

【考点】正弦定理．

【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．

【解答】解：cosB=，sinB==，

△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．

故答案为：3．

11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为　7　．

【考点】简单线性规划．

【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：

当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；

故答案为：7

12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为　y2=8x　； 若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为　=1　．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，

∴p=4，

∴抛物线C的方程为y2=8x；

抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，

∵渐近线方程为y=±x，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线的方程为=1．

故答案为：y2=8x； =1．

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　　．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，

由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，

由正视图知，三棱柱的高是3，

∴该几何体的表面积S=

=，

故答案为：．

14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：

则他第二天获得的奖励红包为　1.0　元，这五天累计获得的奖励红包为　8.0　元．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．

【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，

依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．

第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．

第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．

第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．

第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．

所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．

故答案是：1.1；8.0．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．

（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．

【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，

可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．

再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．

（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，

2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，

当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．

当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．

16．在等比数列{an}中，a1=1，a4=8

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|（n∈N*）．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；

（II）先等差数列{bn}的通项公式bn=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时bn≤0且当n≥6时bn≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|bn|的表达式．

【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．

由a1=1，a4=8

所以a4=a1q3=8

所以q=2

所以等比数列{an}的通项公式an=2n﹣1，n∈N*．

（II） 因为a3，a5分别为等差数列{bn}的第6项和第8项，

所以b6=a3=4，b8=a5=16，

设等差数列{bn}的公差为d

解得，b1=﹣26，d=6，

所以等差数列{bn}的通项公式bn=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32

因为当6n﹣32≤0时，n≤5．

（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=﹣（b1+b2+…+bn）=﹣3n2+29，

（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+bn=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；

综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=

17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：

（1）估计学生既选了课程三，又选了课程四的概率；

（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；

（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；

（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；

（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．

【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为： =，

（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为： =，

（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为： =；

再选课程三的概率为： =；

再选课程四的概率为： =；

所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．

18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．

（Ⅰ）求证：PA∥GH；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；

（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；

（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；

（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是VM﹣BDC=VC﹣BDM=

【解答】（I）证明：连接MO．

∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，

∵点M为PC的中点，

∴MO∥PA．

又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，

∴PA∥平面BDM．

又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，

∴PA∥GH．

（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．

∴DM=．

∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，

∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，

又MO==，

∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．

∵菱形ABCD中，BD⊥AC，

又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，

∴BD⊥平面PAC．

又BD⊂平面BDM，

∴平面PAC⊥平面BDM．

（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，

∴AC=2AO=2．

在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，

∴PA2+PC2=AC2，

∴PA⊥PC，∵MO∥PA，

∴PC⊥MO，

又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，

∴PC⊥平面BDM．

∴VM﹣BDC=VC﹣BDM====．

19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（I）令f′（x）=0求出f（x）的极值点，得出f（x）的单调性与单调区间，从而得出f（x）的极值；

（II）对x和a的范围进行讨论得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f（x），g（x）的零点个数，从而得出h（x）的零点个数．

【解答】解：（ I）f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．

令f′（x）=0，得x1=0，x2=．

∵a＞0，x1＜x2，

f′（x）及f（x）符号变化如下，

∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（）=﹣+1=﹣+1．

（ II）令g（x）=lnx=0，得x=1．

当0＜x＜1时，g（x）＜0；x=1时，g（x）=0；当x＞1时，g（x）＞0．

（1）当x＞1时，g（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上无零点．

所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（1，+∞）上无零点．

（2）当x=1时，g（1）=0，

所以1为g（x）的一个零点．

f（1）=a﹣2，

①当a=2时，1是f（x）的一个零点．

所以当a=2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．

②当0＜a＜2时，h（x）=max{f（x），g（x）}有一个零点．

③当a＞2时，h（x）=max{f（x），g（x）}无零点．

（3）当0＜x＜1时，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上无零点．

所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零点个数就是f（x）在（0，1）上的零点个数．

当a＞0时，由（ I）可知f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，

且f（0）=1，f（1）=a﹣2，f（）=﹣+1=．

①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．

所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．

②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，

所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．

③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，

f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．

综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．

20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．

（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；

（Ⅱ）求证：AB⊥AP；

（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；

（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得kAB•kPA=﹣1，即可得证；或求得kPA•kPB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．

（III）方法一、设kAB=k，由（II）知kAP=﹣，kBP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；

方法二、设kAB=k，由（II）知kAP=﹣，kBP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．

【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，

则a2=b2+c2=4，

所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；

（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），

则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），

由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②

点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，

法一：又kPB=，kBC==，且点B，C，P三点共线，

所以=，即=，

所以kAB•kPA=•=•

==•（﹣）=﹣1．

即AB⊥AP．

法二：由已知AB，AP的斜率都存在，

kPA•kPB=•==﹣，

又kPB=kBC=，可得kPA=﹣，

则kAB•kPA=•（﹣）=﹣1，

即AB⊥AP．

（III）法一：设kAB=k，由（II）知kAP=﹣，kBP=，

联立直线AP与BP方程，

解得x1=，

将k=代入得x1==．

q=====3+（﹣1），

因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．

法二：设kAB=k，由（II）知kAP=﹣，kBP=，

联立直线AP与BP方程：，解得x1=

==x0（1+），

q====3+，

因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．

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