2015年1月上海市杨浦区高三数学(理科)一模试卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分．
1．若复数（
是虚数单位）是纯虚数，则实数
．
2．若为
上的奇函数，当
时，
，则
．
3．设定点，若动点
在函数
图像上，则
的最小值为 ．
4．用数字“”组成一个四位数，则数字“
”都出现的四位偶数有 个．
5．设，圆
的面积为
，则
．
6．在中，
，
是斜边
上的两个三等分点，则
的值为 ．
7．设函数，若存在
同时满足以下条件：①对任意的
，都有
成立；②
，则
的取值范围是 ．
8．若不等式的解集是区间
的子集，则实数
的取值范围为 ．
9．关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线是双曲线； ②关于
轴对称；
③关于坐标原点中心对称； ④与轴所围成封闭图形面积小于2．
则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）
二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.
10．“”是“关于
的二元一次方程组
有唯一解”的 【 】
A．必要不充分条件； B．充分不必要条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
11．已知等比数列前
项和为
，则下列一定成立的是 【 】
A．若，则
； B．若
，则
；
C．若，则
； D．若
，则
．
12．对于集合，定义了一种运算“
”，使得集合
中的元素间满足条件：如果存在元素
，使得对任意
，都有
，则称元素
是集合
对运算“
”的单位元素．例如：
，运算“
”为普通乘法；存在
，使得对任意
，都有
，所以元素
是集合
对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“”：
①，运算“
”为普通减法；
②{
表示
阶矩阵，
}，运算“
”为矩阵加法；
③（其中
是任意非空集合），运算“
”为求两个集合的交集．
其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】
A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．
三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
请仔细阅读以下材料：
已知是定义在
上的单调递增函数．
求证：命题“设，若
，则
”是真命题．
证明 因为，由
得
．
又因为是定义在
上的单调递增函数，
于是有． ①
同理有． ②
由① + ②得．
故，命题“设，若
，则
”是真命题．
请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设，若
，则：
”是真命题；
（2）解关于的不等式
（其中
）．
14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段
，
该曲线段是函数，
的图像，图像的
最高点为
．边界的中间部分为长
千米的直线段
，且
．游乐场的后一部分边界是以
为圆心的一段圆弧
．
（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口
距海岸线
最近距离为
千米，现准备从入口
修一条笔直的景观路到
，求景观路
长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边
形休闲区，平行四边形的一边在海岸线
上，一边在半径
上，另外一个顶点
在圆弧
上，且，求平行四边形休闲区
面积的最大值及此时
的值．
15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）
已知分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
过点
且与抛物线
有一个公共的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）斜率为的直线
过右焦点
，且与椭圆交于
两点，求弦
的长；
（3）为直线
上的一点，在第（2）题的条件下，若△
为等边三角形，求直
线的方程．
16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设数列满足：①
；②所有项
；③
．
设集合，将集合
中的元素的最大值记为
．换句话说，
是
数列中满足不等式
的所有项的项数的最大值．我们称数列
为数列
的
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列
；
（2）设，求数列
的伴随数列
的前100之和；
（3）若数列的前
项和
（其中
常数），试求数列
的伴随
数列前
项和
．
理科答案
一．填空题：
；
；
；
；
；
；
；
；
②④
二．选择题：
三．解答题：
13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题：设，若
，则：
……4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为，由
得：
， …………………………1分
又是定义在
上的单调递增函数
所以…………（1） …………………………1分
同理有：…………（2） …………………………1分
由（1）+（2）得： …………………………1分
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. …………………………1分
（2）由（1）的结论有：，即：
………………………3分
①当时，即
时，不等式的解集为：
……………2分
②当时，即
时，不等式的解集为：
………2分
当
时，即
时，不等式的解集为：
……………2分
14. 解：（1）由已知条件，得 ……………………………1分
又∵ ……………………………2分
又∵当时，有
……2分
∴ 曲线段的解析式为
． ………1分
（2）由
得
…………2分
又…2分
……………………1分
∴ 景观路长为
千米 ……………1分
(3)如图，……………………………………1分
作轴于
点，在
中，
……………1分
在中，
…………………1分
∴ ……………1分
…………………1分
…………………2分
当时，即
时：平行四边形面积最大值为
…………………1分
15.解（1）由题意得
…………………2分
又，
得，，解得
或
（舍去）， …………………2分
则， …………1分
故椭圆方程为． …………………1分
（2）直线的方程为
． …………………1分
联立方程组
消去并整理得
． …………………3分
设，
．
故，
． …………………1分
则． …2分
（3）设的中点为
．
可得， …………………1分
． …………………1分
直线的斜率为
，又
，
所以． …………………2分
当△为正三角形时，
，
可得， …………………1分
解得． …………………1分
即直线的方程为
，或
． …………………1分
16. 解：（1）1,4,7． ………………6分
（2）由，得
∴ 当时，
…………………………1分
当时，
…………………1分
当时，
…………………1分
当时，
……………1分
当时，
……………1分
∴ …………1分
（3）∵ ∴
…………………1分
当时，
∴ …………………2分
由得：
因为使得成立的
的最大值为
，
所以 ……1分
当时：
…………………1分
当时：
…………………1分
当时：
…………………1分
所以 ……………1分
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