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(一)直线
1.
2.直线的方程
(1)点斜式 (直线过点,且斜率为).
(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
(3)一般式 (其中A、B不同时为0).
特别的:(1)已知直线纵截距,常设其方程为或;已知直线横截距,常设其方程为(直线斜率k存在时,为k的倒数)或.知直线过点,常设其方程为或
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点;
直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3、几个距离公式
(1)两点间距离公式:
(2)到直线的距离为
特别地,当直线L: 时,点P ()到L的距离;
当直线L: 时,点P ()到L的距离.
(3).两平行线间的距离公式:设
4.两直线的位置关系:;
;重合
5.三角形的重心坐标公式 :△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
(二)圆
1. 圆的三种方程
(1)圆的标准方程 .
(2)圆的一般方程 (>0).
(3)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、)
注意:
(1).圆心必在弦的中垂线上;两圆相切,两圆心连线必过切点;辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。
(2).处理直线与圆的位置关系有两种方法:(1)求圆心到直线的距离与圆的半径比较;(2)直线方程与圆的方程联立,看判别式。
2.点P()和圆的位置关系:
(1)当时,点P在圆外;
(2)当时,点P在圆上;
(3)当时,点P在圆内.
3.直线和圆的位置关系:
直线与圆相交>0 d
直线与圆相切=0 d=r
直线与圆相离<0 d>r.
4.圆与圆的位置关系:设圆的半径为,圆的半径为,两圆的圆心距为d,
当时,两圆相离;当时,两圆外切;
当时,两圆相交;当=d时,两圆内切;
当
注意:
(1)若两圆相交时,把两圆的方程作差消去和就得到两圆的公共弦所在直线的方程。
(2)圆的弦长公式(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径)
(3)求圆外一点P到圆O上任一点距离的最小值为,最大值为(其中r为圆的半径)
(三)圆锥曲线
1、椭圆:
(1)定义:平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
(2)椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 | |||
图形 | |||
性质 | 范围 | -a≤x≤a -b≤y≤b | -b≤x≤b -a≤y≤a |
对称性 | 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 | ||
顶点 | A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) | A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) | |
轴 | 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b | ||
焦距 | |F1F2|=2c | ||
离心率 | e= | ||
a,b,c的关系 | c2=a2-b2 | ||
注意:
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值,且最大距离为,最小距离为。
(2)过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最短的弦,而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通经.
(3)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,在结合就可求出e().
2、双曲线
(1).双曲线的定义:平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
注:实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
(2). 双曲线的标准方程和几何性质:
标准方程 | (a>0,b>0) | (a>0,b>0) |
图 形 | ||
范围 | x≥a或x≤-a,y∈R | x∈R,y≤-a或y≥a |
对称性 | 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 | |
顶点 | A1(-a,0),A2(a,0) | A1(0,-a),A2(0,a) |
渐近线 | y=± | y=± |
离心率 | e= | |
实虚轴 | 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长 | |
a,b,c的关系 | c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) | |
注意:(1)直线和双曲线交于一点时,不一定相切,例如,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.
(2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即就是双曲线的两条渐近线方程.
(3)若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况.
3、抛物线
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线.
(2)抛物线的标准方程和几何性质:
图形 | |||||
标准方程 | y2=2px(p>0) | y2=-2px(p>0) | x2=2py(p>0) | x2=-2py (p>0) | |
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 | |||||
性质 | 顶点 | O(0,0) | |||
对称轴 | y=0 | x=0 | |||
焦点 | F | F | F | F | |
离心率 | e=1 | ||||
准线方程 | x=- | x= | y=- | y= | |
范围 | x≥0,y∈R | x≤0,y∈R | y≥0,x∈R | y≤0,x∈R | |
开口方向 | 向右 | 向左 | 向上 | 向下 | |
注意:(1)过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即.
(2)焦半径公式:
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则;
若点在抛物线上,焦点为,则.
(3)焦点弦问题:
设AB是过抛物线焦点的弦.
则;;
4. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)
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