高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4

发布时间：2019-10-27 19:04:53 来源：文档文库

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2.1　9bea30f448c5dffe6a13e460c07a8181.png

预习课本P74～76，思考并完成以下问题

(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？

(4)如何判断相等向量或共线向量？向量word/media/image3_1.png与向量word/media/image4_1.png是相等向量吗？

(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？

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1．向量的概念和表示方法

(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示：

[点睛]　向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．

2．向量的长度(或称模)与特殊向量

(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．

(2)向量的长度表示：向量word/media/image3_1.png，a的长度分别记作：|word/media/image3_1.png|，|a|.

(3)特殊向量：

①长度为0的向量为零向量，记作0；

②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

[点睛]　定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．

3．向量间的关系

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．

[点睛]　共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量能比较大小．(　　)

(2)向量的模是一个正实数．(　　)

(3)单位向量的模都相等．(　　)

(4)向量word/media/image3_1.png与向量word/media/image4_1.png是相等向量．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．

其中可以看成是向量的个数(　　)

A．1　　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4

答案：B

3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　)

A．也可以用word/media/image6_1.png表示　　　 B．方向是由M指向N

C．始点是M D．终点是M

答案：D

4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与word/media/image8_1.png相等的向量有______．

答案：word/media/image3_1.png，word/media/image9_1.png

[典例]　有下列说法：①向量word/media/image3_1.png和向量word/media/image4_1.png长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量word/media/image12_1.png是有向线段；④向量0202389f89db180b3414379e82b001345.png0，其中正确的序号为________．

[解析]　对于①，|word/media/image3_1.png|＝|word/media/image4_1.png|＝AB，故①正确；

对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；

对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；

对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．

[答案]　①

(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手

①是否有大小；②是否有方向．

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

[活学活用]

有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量word/media/image3_1.png，word/media/image14_1.png满足|word/media/image3_1.png|＞|word/media/image14_1.png|，且word/media/image3_1.png与word/media/image14_1.png同向，则word/media/image3_1.png＞word/media/image14_1.png；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中正确说法的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

解析：选A　对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

[典例]　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①word/media/image17_1.png，使|word/media/image17_1.png|＝41553867a52c684e18d473467563ea33b.png，点A在点O北偏东45°；

②word/media/image3_1.png，使|word/media/image3_1.png|＝4，点B在点A正东；

③word/media/image12_1.png，使|word/media/image12_1.png|＝6，点C在点B北偏东30°.

[解]　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|word/media/image17_1.png|＝41553867a52c684e18d473467563ea33b.png，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量word/media/image17_1.png如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向处，且|word/media/image3_1.png|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量word/media/image3_1.png如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|word/media/image12_1.png|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为39097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量word/media/image12_1.png如图所示．

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[活学活用]

一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量word/media/image3_1.png，word/media/image12_1.png，word/media/image14_1.png，word/media/image19_1.png.

解：如图所示．

[典例]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且word/media/image17_1.png＝a，word/media/image23_1.png＝b，word/media/image24_1.png＝c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

[解]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有word/media/image25_1.png，word/media/image12_1.png，word/media/image26_1.png，word/media/image27_1.png.

(2)与a共线的向量有word/media/image28_1.png，word/media/image12_1.png，word/media/image25_1.png，word/media/image27_1.png，word/media/image29_1.png，word/media/image30_1.png，word/media/image26_1.png，word/media/image31_1.png，word/media/image19_1.png.

(3)与a相等的向量有word/media/image28_1.png，word/media/image30_1.png，word/media/image29_1.png；与b相等的向量有word/media/image9_1.png，word/media/image32_1.png，word/media/image33_1.png；与c相等的向量有word/media/image34_1.png，word/media/image8_1.png，word/media/image3_1.png.

[一题多变]

1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量word/media/image12_1.png相等的向量．

解：与向量word/media/image12_1.png相等的向量有word/media/image25_1.png，word/media/image26_1.png，word/media/image27_1.png.

2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？

解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

层级一　学业水平达标

1．下列说法正确的是(　　)

A．向量word/media/image3_1.png∥word/media/image14_1.png就是word/media/image3_1.png所在的直线平行于word/media/image14_1.png所在的直线

B．长度相等的向量叫做相等向量

C．若a＝b，b＝c，则a＝c

D．共线向量是在一条直线上的向量

解析：选C　向量word/media/image3_1.png∥word/media/image14_1.png包含word/media/image3_1.png所在的直线与word/media/image14_1.png所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．

2.如图，在圆O中，向量word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，word/media/image26_1.png是(　　)

A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

解析：选C　由图可知word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，word/media/image26_1.png是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.

3．向量word/media/image3_1.png与向量word/media/image12_1.png共线，下列关于向量word/media/image37_1.png的说法中，正确的为(　　)

A．向量word/media/image37_1.png与向量word/media/image3_1.png一定同向

B．向量word/media/image37_1.png，向量word/media/image3_1.png，向量word/media/image12_1.png一定共线

C．向量word/media/image37_1.png与向量word/media/image12_1.png一定相等

D．以上说法都不正确

解析：选B　根据共线向量定义，可知word/media/image3_1.png，word/media/image12_1.png，word/media/image37_1.png这三个向量一定为共线向量，故选B.

4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与word/media/image39_1.png平行的向量有(　　)

A．1个　　　　　　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C　根据向量的基本概念可知与word/media/image39_1.png平行的向量有word/media/image40_1.png，word/media/image41_1.png，word/media/image42_1.png，共3个．

5．已知向量a，b是两个非零向量，word/media/image26_1.png，word/media/image43_1.png分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是(　　)

A．word/media/image26_1.png＝word/media/image43_1.png B．word/media/image26_1.png＝word/media/image43_1.png或word/media/image26_1.png＝－word/media/image43_1.png

C．word/media/image26_1.png＝1 D．|word/media/image26_1.png|＝|word/media/image43_1.png|

解析：选D　由于a与b的方向不知，故word/media/image26_1.png与word/media/image43_1.png无法判断是否相等，故A、B选项均错．又word/media/image26_1.png与word/media/image43_1.png均为单位向量．∴|word/media/image26_1.png|＝|word/media/image43_1.png|，故C错D对．

6．已知|word/media/image3_1.png|＝1，|word/media/image37_1.png|＝2，若∠ABC＝90°，则|word/media/image12_1.png|＝________.

解析：由勾股定理可知，BC＝f9b901f1cfe90657cf861b2715ff47df.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，所以|word/media/image12_1.png|＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

答案：9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.

解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，

所以|a0|＋|b0|＝2.

答案：③

8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．

解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.

答案：①③④

9.如图，O是正方形ABCD的中心．

(1)写出与向量word/media/image3_1.png相等的向量；

(2)写出与word/media/image17_1.png的模相等的向量．

解：(1)与向量word/media/image3_1.png相等的向量是word/media/image9_1.png.

(2)与word/media/image17_1.png的模相等的向量有：word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，word/media/image25_1.png，word/media/image43_1.png，word/media/image45_1.png，word/media/image30_1.png，word/media/image26_1.png.

10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

(1)在如图所示的坐标系中画出word/media/image19_1.png，word/media/image9_1.png，word/media/image29_1.png，word/media/image3_1.png.

(2)求B地相对于A地的位移．

解：(1)向量word/media/image19_1.png，word/media/image9_1.png，word/media/image29_1.png，word/media/image3_1.png如图所示．

(2)由题意知word/media/image19_1.png＝word/media/image12_1.png.

所以AD綊BC，

则四边形ABCD为平行四边形．

所以word/media/image3_1.png＝word/media/image9_1.png，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．

层级二　应试能力达标

1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　　)

A．word/media/image19_1.png＝word/media/image12_1.png　　　　　　　 B．word/media/image37_1.png＝word/media/image49_1.png

C．word/media/image50_1.png＝word/media/image51_1.png D．word/media/image52_1.png＝word/media/image51_1.png

解析：选D　根据相等向量的定义，分析可得：

A中，word/media/image19_1.png与word/media/image12_1.png方向不同，故word/media/image19_1.png＝word/media/image12_1.png错误；

B中，word/media/image37_1.png与word/media/image49_1.png方向不同，故word/media/image37_1.png＝word/media/image49_1.png错误；

C中，word/media/image50_1.png与word/media/image51_1.png方向相反，故word/media/image50_1.png＝word/media/image51_1.png错误；

D中，word/media/image52_1.png与word/media/image51_1.png方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故word/media/image52_1.png＝word/media/image51_1.png正确．

2．下列说法正确的是(　　)

A．若a∥b，b∥c，则a∥c

B．终点相同的两个向量不共线

C．若a≠b，则a一定不与b共线

D．单位向量的长度为1

解析：选D　A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．

3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：

①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.

其中正确的是(　　)

A．①④ B．③

C．③④ D．②③

解析：选B　a为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.

4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有(　　)

A．一组 B．二组

C．三组 D．四组

解析：选A　由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即word/media/image54_1.png＝word/media/image55_1.png.

5．四边形ABCD满足word/media/image19_1.png＝word/media/image12_1.png，且|word/media/image37_1.png|＝|word/media/image49_1.png|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．

答案：矩形

6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量word/media/image19_1.png相等的向量为________；与向量word/media/image17_1.png共线的向量为__________；与向量word/media/image17_1.png的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)

解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与word/media/image19_1.png相等的向量为word/media/image24_1.png；与word/media/image17_1.png共线的向量为word/media/image9_1.png，word/media/image57_1.png；与word/media/image17_1.png的模相等的向量为word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，word/media/image9_1.png，word/media/image57_1.png，word/media/image19_1.png.

答案：word/media/image24_1.png　word/media/image9_1.png，word/media/image57_1.png　word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，word/media/image9_1.png，word/media/image57_1.png，word/media/image19_1.png

7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．

(1)写出图中所示向量与向量word/media/image59_1.png长度相等的向量．

(2)写出图中所示向量与向量word/media/image41_1.png相等的向量．

(3)分别写出图中所示向量与向量word/media/image59_1.png，word/media/image41_1.png共线的向量．

解：(1)与word/media/image59_1.png长度相等的向量是word/media/image28_1.png，

word/media/image41_1.png，word/media/image60_1.png，word/media/image42_1.png，word/media/image49_1.png，word/media/image31_1.png，word/media/image54_1.png，word/media/image57_1.png.

(2)与word/media/image41_1.png相等的向量是word/media/image54_1.png，word/media/image57_1.png.

(3)与word/media/image59_1.png共线的向量是word/media/image37_1.png，word/media/image60_1.png，word/media/image42_1.png；

与word/media/image41_1.png共线的向量是word/media/image54_1.png，word/media/image57_1.png，word/media/image29_1.png.

8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，Ab1d224b85919a9bd8db6ad464ad88dbe.png，B(x，y)是m上的点．求