1、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD,连接DA并延长,交y轴于点E.
(1)求证:△OBC≌△ABD
(2)在点C的运动过程中,∠CAD的度数是否会变化?
如果不变,请求出∠CAD的度数;如果变化,请说
明理由。
(3)当点C运动到什么位置时,以A,E,C为顶点的
三角形是等腰三角形?
2、如图,将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起(图1).△ABD不动,
(1)若将△ACE绕点A逆时针旋转,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图2),证明:MB=MC.
(2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接DE,M是DE的中点,连接MB、MC(图3),判断并直接写出MB、MC的数量关系.
(3)在(2)中,若∠CAE的大小改变(图4),其他条件不变,则(2)中的MB、MC的数量关系还成立吗?说明理由.
3、(1)已知,如图①,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线 m 经 过点 A,BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,垂足分别为点 D,E, 求证:DE=BD+CE;
(2)如图②,将(1)中的条件改为在△ABC 中,AB=AC,D,A,E 三点都 在直线 m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角, 请问结论 DE=BD+CE 是否成立?若成立,请你给出证明:若不成立, 请说明理由.
4、已知△ABC和△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上。
(1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:AF=AE+AD;
(2)如图2,若AD=AB,求证:AF=AE+BC。(提示:在FA上截取FM=AE,连接DM)
5、在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等边三角形△ACD,E为AC的中点,连接DE并延长交BC于点F,连接BD.
(1)如图1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度数;
(2)如图2,∠ACB的平分线交AB于点M,交EF于点N,连接BN.
①补全图2;
②若BN=DN,求证:MB=MN.
6、已知,△ABC是等边三角形,过点C作CD∥AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O
(1)如图1,求证:AC垂直平分BD;
(2)点M在BC的延长线上,点N在AC上,且MD=NM,连接BN.
①如图2,点N在线段CO上,求∠NMD的度数;
②如图3,点N在线段AO上,求证:NA=MC.
7、如图,△ABC是等边三角形,AB=6,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)证明:在运动过程中,点D是线段PQ的中点;
(3)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
8、如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速 度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.它们运动的时间为 t(s).
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 t=1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由, 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不 变.设点 Q 的运动速度为 x cm/s,是否存在实数 x,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的 x、t 的值;若不存在,请说明理由.
9、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合),以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE,使∠DAE=90°,连接CE.
探究:如图①,当点D在线段BC上时,证明BC=CE+CD.
应用:在探究的条件下,若AB=,CD=1,则△DCE的周长为 .
拓展:(1)如图②,当点D在线段CB的延长线上时,BC、CD、CE之间的数量关系为 .
(2)如图③,当点D在线段BC的延长线上时,BC、CD、CE之间的数量关系为 .
10、CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF;(填“>”,“<”或“=”);EF,BE,AF三条线段的数量关系是: .
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想并证明.
23.(12分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系,不要证明.
28.问题背景:
如图 1:在四边形 ABC 中,AB=AD,∠BAD=120∘ ,∠B=∠ADC=90∘ .E,F 分别是 BC,CD 上的 点。且∠EAF=60∘ .探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
探索延伸:
如图 2,若在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180∘ .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且
∠EAF=12∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由; 实际应用:
如图 3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30∘ 的 A 处,舰艇乙在指挥中心南 偏东 70∘ 的 B 处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以
60 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50∘ 的方向以 80 海里/小时的速度前进 1.5 小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为 70∘ ,试求此时两舰 艇之间的距离。
26.(14分)【问题情境】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围。
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是___.
A. SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___.
解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。
【初步运用】
如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长。
【灵活运用】
如图3,在△ABC中,∠A=90°,D为BC中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论。
25.(本题满分10分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90º,则∠BCE= º.
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α、β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α、β之间有怎样的数量关系?请画出图形,并直接写出你的结论.
25.(本题满分10分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90º,则∠BCE= º.
(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.
①如图2,当点D在线段BC上移动,则α、β之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点D在直线BC上移动,则α、β之间有怎样的数量关系?请画出图形,并直接写出你的结论.
[来源:学&科&网]
26.(本题满分12分)如图,已知长方形ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点.若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BC上由点B向点C运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△AEP与△BPQ是否全等,请说明理由,并直接写出此时线段PE和线段PQ的位置关系;
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,运动时间
为t秒,设△PEQ的面积为Scm2,请用t的代数式表示S;
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点
Q的运动速度为多少时,能够使△AEP与△BPQ全等?
24.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是直线AB上的一动点(不和A、B重合),BE⊥CD于E,交直线AC于F.
(1)点D在边AB上时,证明:AB=FA+BD;
(2)点D在AB的延长线或反向延长线上时,(1)中的结论是否成立?若不成立,请画出图形并直接写出正确结论.
23.(本题10分)如图1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F
(1) 直接写出∠AFC的度数
(2) 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系
(3) 如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由
24.(本题12分)如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E.已知AO=m,BO=n,且m、n满足(n-6)2+|n-2m|=0
(1) 求A、B两点的坐标
(2) 若点D为AB中点,求OE的长
(3) 如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标
23.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠PAQ=90°,连接CQ.
(1)求证:CQ⊥BC.
(2)△ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置;若不能,请说明理由.
(3)当点P在BC上什么位置时,△ACQ是等腰三角形?请说明理由.
23.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,M为AC上任意一点(不与点A,C重合),过点M作直线MN交BC于点N,过点A,B作AD⊥MN,BE⊥MN,垂足分别为D,E.
(1)∠DAM,∠EBN之间的数量关系是 .
(2)如图2,当点M在AC的延长线上时,其他条件不变,探索∠DAM,∠EBN之间的数量关系并证明你的结论.
(3)如图3,若∠ACB=α,点N在BC的延长线上,其他条件不变时,∠DAM,∠EBN之间的数量关系是否改变?若改变,请写出∠DAM,∠EBN与α之间满足的数量关系,并说明理由.
26.(12分)如图,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC,△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图①中,请你通过观察、测量、猜想,写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ,猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系与位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
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