等比数列的定义与通项公式正式版

等比数列的定义与通项公式教学设计

一、教材依据

中等职业教育课程改革国家规划新教材数学基础模块下册第六章《数列》第三节。

本节课要求能正确理解等比数列的定义，能根据定义判断一个数列是等比数列，能运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项，能运用公式解决一些简单的实际问题。

这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列——等比数列。教材将等比数列安排在等差数列之后，有承前启后的作用，一方面与等差数列有着密切联系，另一方面为进一步学习等比数列求和有关内容做好准备。

二、学生情况分析

现在的中职学生由于入学成绩低，基础普遍较差，且没有学习的信心和主动性，

也不善于归纳总结。在本节课学习时，我考虑学生可能会把等比数列和等差数列混淆，对通项公式的推导和公式的运用可能比较难理解。针对这些，我用幻灯片提前准课好堂提问和课堂练习，尽量多一些学生思考的时间，并积极鼓励学生和启发学生通过类比、猜测和归纳，根据等差数列的定义与通项公式得出等比数列的定义与通项公式；我还把基础知识、基本技能、方法和思路溶于课堂练习中，使学生在不知不觉中接受、掌握和巩固等比数列的概念、公式，并发现解题的规律。总之在课堂上我采用启发式的、感观性的、让学生参与的直观教学，我用三多，即多练，多问，多鼓励来打消学生的畏难情绪，充分尊重学生的主体性和创造性，通过师生互动，为学生学好数学搭建平台。

三、设计思想

这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力。另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较。

在设计本节课时，我将内容按照“问题情景——学生活动——教学构建——教学运用——教学反思”的顺序展开，通过列举生活中的大量背景，让学生自己去发现，去探索其公式意义。

四、教学目标

（一）知识目标：

1、类比等差数列的概念，理解等比数列的概念；

2、类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式；

3、掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题。

（二）能力目标：

给出问题情境，引导学生经过类比、观察、猜测、归纳、概括等过程，培养学生的类比创新能力，严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。

（三）情感目标：

通过感受问题情境，激发学生学习数学的热情，培养学生应用数学的意识。

五、教学重点：等比数列的定义和对通项公式的认识与应用。

六、教学难点：等比数列通项公式的推导和运用。

七、教学设备：多媒体辅助教学。

八、教学过程：

（一）创设情境（幻灯片）（2分钟）

情境1：某人于元月经引诱参与传销活动，二月发展2人作为其下线。一个月后，每个下线各发展2人作其下线，依此继续。问：每个月新增多少人受骗?

情境2：银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是

本利和＝本金×（1＋利息）贷款期

例如，现在从银行贷款10000元钱，年利息是1.98%，那么按照复利，5年内各年末的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：

各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：

10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985。

（二）学生活动(3分钟)

问题：1、上面这些问题涉及的数列是等差数列吗？

2、与等差数列相比，上面这些数列有什么共同特点？

3、你能再举出几个具有这样特点的数列吗？（要求与众不同）

（评析：①从实际问题引入，体现直观具体，激发学生的求知欲；②与旧知发生联系，获得类比情境；学生举例，问题具有开放性，意在积累感性认识；要求“与众不同”恰是通过交流为不同学生构筑相接近的认知平台。）

（三）建构教学（15分钟）

1、等比数列的概念（引导学生通过类比等差数列得出）

（1）定义：一般地，一个数列从第二起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

练习：(幻灯片）

①以下几组数列，说出哪些是等比数列，如果是等比数列，它的公比是多少？

A、－2，1，4，7，10，13，16，19，…

B、8，16，32，64，128，256，…

C、31，29，27，25，23，21，19，…

D、1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

②等比数列和等差数列有着密切的联系，那么有没有这样的数列，它既是等差数列又是等比数列呢？请举例。

③对于等比数列{ an }， an 能不能是0？公比q能不能是0？

得到对定义的认识：①等比数列的每一项都不为0；②公比不为0。

提问：对于等比数列，你想对它做些什么研究？问题是怎样产生的？

（2）概念数字化（类比等差数列，在教师的启发下由学生讨论得出）

对于数列｛an｝，若（，q为常数），则称这个数列为等比数列，常数

q称为等比数列的公比。

提问：通过类比可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，我们已经知道等差数列可以用公差d，项数n及首项a1表示等差数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式an。同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验。

2、等比数列的通项公式（由学生类比等差数列讨论得到等比数列的通项公式）

（1）通项公式：

（2）知道等比数列的首项和公比就可求出这个数列的任何项

练习：（幻灯片）

①一个蜂巢里有１只蜜蜂，第1 天,它飞出去找回了1 个伙伴；第2 天,2 只蜜蜂飞出去，各自找回了1 个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去，第10 天所有蜜蜂都归巢后，算一算蜂巢中共有多少只蜜蜂？

②写出等比数列3,9,27,81,…,3n,… 的通项公式

③用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是哪些？

 A、已知a1=2，an=3an+1；         B、 1，2，4，……；

C、 a，a，a，……，a；         D、1，-1，1，……，(-1)n+1。

师点评：寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列常用的一种方法，叫不完全归纳法。

④提问：对于等比数列的通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它？

（在讲等差数列时已讨论过这类公式，学生知道从什么角度去认识公式）

A、可以从函数的角度去认识，通项公式可以看作是“项”与“项所在的项数”之间的函数关系。

当q＝1时，，点（n，）在直线y＝a1上；当q≠1时，函数图像类似于指数函数图像，但是它的图像是由一些孤立的点组成。

B、从方程的角度去考虑，方程中有四个量，在a1，an，q和n中只要知道其中三个量，便可求第四个，请学生自己举例编这样类型的题。

（评析：通过学生自己亲自尝试、体验，才能深该理解等数列的定义和通项公式。对学生来讲，这样才能学好数学）

（四）知识应用（10分钟）

例1 在等比数列｛an｝中，求a13

（引导学生自己分析，要求等比数列的某一项，根据通项公式，必须先求首项a1和公比q）

解：设等比数列的公比为q，则 解得

故

所以

反思：这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用的过程主要是三个步骤：设、列、求。

师析：这类题既从定义、结构，又从通项入手，多角度体会等比数列的特点，逐步达到概念和公式的深层内化。

例2 银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息，小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%，如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱？

（引导学生分析，每年末的本利和为：本利和＝本金×（1＋利息）贷款期，每年末的本利和组成的数列，是一个等比数列，公差q=1.0576，现在要求的是这个数列的第5项，需要什么条件呢？）

解：公差q=1＋0.0576＝1.0576

第1年末的本利和为：a1＝

第5年末的本利和为：a5＝

反思：这是等比数列在生活中的实际应用，要先求出首项和公比。

师析：数学是我们工作和生活的工具，学习数学目的就是为了应用。

（五）学生巩固练习（8分钟）

1、求等比数列5，-15，45，…的第4项与第5项？

2、一个等比数列的第2项是10，第3项是70 ，求它的第1项与第4项？

（六）拓展延伸（3分钟）

引导学生分析思考如下问题：如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？

（七）回顾反思与布置作业（4分钟）

1、回顾反思（在这节课上，你有哪些收获？）（启发学生类比等差数列得出。）

（1）等比数列的定义；

（2）等比数列的通项公式及推导；

（3）等比数列首项与公比不能为0。

2、布置作业

（1）课后思考：对照等差数列，试猜想等比数列的一些相应的性质。

（2）必做题：教材P19习题A组：1，2，3

选做题：教材P19习题B组：1，2

（3）预习作业：P15～18等比数列的前n项和公式

九、教学反思

在本节课教学设计中，处处创设数学情境，激发了学生的学习兴趣的探究热情，体现了数学的应用价值。

在教学中，在教师的的鼓励与启发下，让学生自己思考，去类比、去联想、去探究、去归纳、去总结；在从方程的观点去认识通项公式时，让学生自己编题，这样即达到了考查的目的，又发挥了其主观能动性，让学生自主构建，在动态中生成，从而达到培养学生自主学习的能力。

十、板书设计

学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！　当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。

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