多边形及其内角和
知识点一:多边形的概念
⑴多边形定义:在平面内,由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做________.
如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做____________.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
多边形的表示:用表示它的各顶点的大写字母来表示,表示多边形必须按顺序书写,可按顺时针或逆时针的顺序.如五边形ABCDE.
⑵多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做______________,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做________________.
⑶多边形的对角线[来源:学*科*网Z*X*X*K]
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做___________________.
画一个五边形ABCDE,并画出所有的对角线.
知识点二:凸多边形与凹多边形
在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的______,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画CD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是______多边形.[来源:学,科,网]
知识点三:正多边形
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做_____________.
探究多边形的对角线条数
合作探究,完成下表,将你的思路与同学交流、分享
知识点四:多边形的内角和公式推导
1、我们知道三角形的内角和为__________.
2、我们还知道,正方形的四个角都等于____°,那么它的内角和为_____°,同样长方形的内角和也是______°.
3、正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360度,那么一般的四边形的内角和为多少呢?
4、画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.从中你得到什么结论?
探究1:任意画一个四边形,量出它的4个内角,计算它们的和.再画几个四边形,量一量、算一算.你能得出什么结论? 能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论?
结论: 。
探究2:从上面的问题,你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图3,请填空:
(1)从五边形的一个顶点出发,可以引_____条对角线, 它们将五边形分为_____个三角形,五边形的内角和等于180°×______.
(2)从六边形的一个顶点出发,可以引_____条对角线,它们将六边形分为_____个三角形,六边形的内角和等于180°×______.
探究3:一般地,怎样求n边形的内角和呢?请填空:
从n边形的一个顶点出发,可以引____条对角线,它们将n边形分为____个三角形,n边形的内角和等于180°×______.
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?
设多边形的边数为n,则
n边形的内角和等于______________.
想一想:要得到多边形的内角和必需通过“___________定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?
知识点五:多边形的外角和
探究4:如图8,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
问题:如果将六边形换为n边形(n是大于等于3的整数),结果还相同吗?
多边形的外角和定理: .
理解与运用
例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
已知:四边形ABCD的∠A+∠C=180°.求:∠B与∠D的关系.
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自我检测:
(一)、判断题.
1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( )
2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( )
3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.( )
4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n一2)条对角线,得到(n一2)个三角形.( )
5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.( )
(二)、填空题.
1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为 边形.
2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为 边形.
3.内角和等于外角和的多边形是 边形.
4.内角和为1440°的多边形是 .
5.若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是 边形.
6.五边形的对角线有 条,它们内角和为 .
7.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为 .
8.多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为 .
9.四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1:2:3:4,那么∠A:∠B:∠C:∠D= .
10.四边形的四个内角中,直角最多有 个,钝角最多有 个, 锐角最多有 个.
(三)解答题
1、一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?它共有多少条对角线?n边形呢?
2、在每个内角都相等的多边形中,若一个外角是它相邻内角的word/media/image7_1.png,则这个多边形是几边形?
3、若一个多边形的内角和与外角和的比为7:2,求这个多边形的边数。
4、一个多边形的每一个内角都等于其相等外角的7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png
5.一个多边形少一个内角的度数和为2300°.
(1)求它的边数; (2)求少的那个内角的度数.
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