江西省师大附中等五校2015届高三第一次联考数学文试卷（解析版）

江西省师大附中等五校2015届高三第一次联考数学文试卷（解析版）

【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。 2.适度综合考查，提高试题的区分度  本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【题文】1．设复数Z满足（2+i）·Z=1－2i3，则复数对应的点位于复平面内 （ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4

【答案解析】A 解析：∵（2+i）•Z=1﹣2i3，

∴．

∴复数Z对应的点的坐标为（），位于第一象限，故选：A．

【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求得复数Z对应的点的坐标，则答案可求．

【题文】2．集合，集合,则（ ）

A B C D

【知识点】交、并、补集的混合运算．A1

【答案解析】C 解析：由P中不等式，当x＞0时，变形得：x2﹣2x+1≤0，即（x﹣1）2≤0，

解得：x=1，当x＜0时，变形得：x2﹣2x+1≥0，即（x﹣1）2≥0，此时x＜0，

∴P={x∈Z|x=1或x＜0}，由Q中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，

解得：x＞1或x＜﹣3，即Q={x|x＞1或x＜﹣3}，∵全集为R，∴∁RQ={x|﹣3≤x≤1}，

则P∩∁RQ={﹣3，﹣2，﹣1，1}．故选：C．

【思路点拨】求出P中不等式的解集确定出P，求出Q中不等式的解集确定出Q，根据全集R求出Q的补集，找出P与Q补集的交集即可．

【题文】3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋bx，若i＝20， i＝30，则b的值为(　 　)

A．1 B．3 C．－3 D．－1

【知识点】线性回归方程．I4

【答案解析】B 解析：∵ i＝20， i＝30，，∴=2，=3，∵回归方程为=﹣3+bx，

∴3=﹣3+2b，∴b=3，故选：B．

【思路点拨】由样本数据可得，=2，=3，代入可求这组样本数据的回归直线方程．

【题文】4．已知数列{an}满足a1＝1， ，则＝(　 　)

A 1　　 B 0 C 2014 D －2014

【知识点】数列递推式．D1

【答案解析】B 解析：由，得，∵a1=1，∴a2=0，a3=1，a4=0，…∴数列{an}的所有奇数项为1，偶数项为0．∴ =0．故选：B．

【思路点拨】由数列递推式结合已知求得数列的前几项，得到数列{an}的所有奇数项为1，偶数项为0．则答案可求．

【题文】5.设x，y满足约束条件，则z=2x－3y的最小值是（ ）

A B－6 C D

【知识点】简单线性规划．E5

【答案解析】B 解析：由得

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

平移直线由图象可知当直线过点C时，直线截距最大，此时z最小，由，解得，即C（3，4）．代入目标函数，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

【题文】6．对某市人民公园一个月(30天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　 　)

A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53

【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．I2 I3

【答案解析】A 解析：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为：．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选A．

【思路点拨】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差即可．

【题文】7．如图三棱锥若侧面底面，则其主视图与左视图面积之比为（ ）

A． B．

C． D．

【知识点】简单空间图形的三视图．G2

【答案解析】A 解析：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高VD为一条直角边，△ABC中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．

设AC=X，则VA=x，VC=x，VD=x，BE=x，

则．故选：A．

【思路点拨】主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高为一条直角边，△ABC中AC的高为另一条直角边的直角三角形．

【题文】8. ( )

A． B． C． D．

【知识点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．C2

【答案解析】D 解析：原式=

===．

故选：D．

【思路点拨】利用诱导公式化简，再利用两角差的正弦即可求值．

【题文】9．以下四个命题:

①若,则；

②为了调查学号为1、2、3、…、69、70的某班70名学生某项数据，抽取了学号为2、12、22、32、42、52、62的学生作为数据样本，这种抽样方法是系统抽样；

③空间中一直线，两个不同平面，若∥，∥，则∥；

④函数的最小正周期为.

其中真命题的个数是（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【知识点】命题的真假判断与应用．A2

【答案解析】B 解析：①，则；故是真命题．

②学号本身有一定的规律，并没有随机编号，故不是系统抽样；假命题．

③空间中一直线，两个不同平面，若∥，∥，则∥；从正方体中很容易找到反例；假命题．

④函数，在x=0时有意义，而在x=时无意义，故是假命题．

故选B．

【思路点拨】对四个命题逐一分析，第2与第4个命题较容易出错．

【题文】10．以双曲线－＝1(a>0，b>0)中心O(坐标原点)为圆心，焦矩为直径的圆与双

曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂

足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．2

【知识点】双曲线的简单性质．H6

【答案解析】C 解析：由题意M的坐标为M，代入椭圆方程可得

∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2，∴e=+1．故选：C．

【思路点拨】由题意M的坐标为M，代入椭圆方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

【题文】11．向量在单位正方形网格中的位置如图所示，则＝ .

【知识点】平面向量数量积的运算．F2

【答案解析】3 解析： 如图建立平面直角坐标系，

则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．

【思路点拨】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．

【题文】12．设等差数列前项和为,若,则________.

【知识点】等差数列的前n项和．D2

【答案解析】3 解析：∵等差数列前项和为，满足，

∴，解得m=3．故答案为3．

【思路点拨】利用等差数列的前n项和公式即可得出。

【题文】13．函数的部分图像如

图所示，则将的图象向左至少平移 个单位

后，得到的图像解析式为．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4

【答案解析】 解析：由函数的图象可得A=1， T=•=﹣，∴ω=2．

再根据五点法作图可得 2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．

把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，

故答案为：．

【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

【题文】14．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为 .

【知识点】椭圆的简单性质．H5

【答案解析】解析：过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交，最小弦长为通径=2、最大弦长为长轴长8，弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，共有种情况，所取弦长不超过4，有4+1=5种情况，∴所求概率为．

故答案为：．

【思路点拨】过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交，最小弦长为通径=2、最大弦长为长轴长8，即可得出结论．

【题文】15．若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为 .

【知识点】根的存在性及根的个数判断．菁B9

【答案解析】解析：设y=|2x﹣1|﹣|x+1|，则y=，

图象如图所示，

函数的最小值为．∵关于x的方程有两个不同的实数根，

∴．故答案为：．

【思路点拨】做出函数的图象，函数的最小值为，即可求出实数m的取值范围．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【题文】16. （本题满分12分）

为了增强中学生的法律意识，某中学高三年级组织了普法知识竞赛.并随机抽取了A、B两个班中各5名学生的成绩，成绩如下表所示：

（1） 根据表中的数据，分别求出A、B两个班成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个班更为稳定？

（2） 用简单随机抽样方法从B班5名学生中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率.

【知识点】古典概型及其概率计算公式；频率分布表；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．I2 I3 K2

【答案解析】（1）A班更为稳定（2）

解析：（1）,..1分

,…3分

…5分

法律知识的掌握A班更为稳定……………6分

(2).从B班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93）

共有10个…………………………8分

基本事件；抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93）5个基本事件。………10分 …………12分

【思路点拨】（1）分别求出A、B两个班成绩的平均数和方差，由此能判断对法律知识的掌握A班更为稳定．

（2）从B班抽取两名学生的成绩分数，所有基本事件有10个，抽取的2名学生的分数差值至少是4分的有5个基本事件，由此能求出抽取的2名学生的分数差值至少是4分的概率．

【题文】17. （本题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos A－acos C=0.

(1)求角A的大小；

(2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

【知识点】正弦定理；余弦定理．C8

【答案解析】（1）A＝（2）

解析：(1)∵(2b－c)cos A＝acos C，∴(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C. ……2分

即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A.∴2sin Bcos A＝sin B.∵sin B≠0，…… 4分

∴cos A＝，∵0<A<π，∴A＝.……………………6分

(2)由(1)知A＝B＝，所以AC＝BC，C＝，设AC＝x，则MC＝x.又AM＝，在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcos C＝AM2，即x2＋2－2x··cos 120°＝()2，解得x＝2，…… 10分 故S△ABC＝x2sin＝.……12分

【思路点拨】1）利用正弦定理把(2b－c)cos A＝acos C中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A．（2）由（1）知A＝B＝，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案．

【题文】18．（本题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

（1）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．

【知识点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．G4 G7

【答案解析】（1）见解析（2）

解析：（1）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．…………6分

（2）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故

有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE．三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB

=•PA•PD•AB=•1•2•1=．…………………… 12分

【思路点拨】（1）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF∥平面ACE．（2）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．

【题文】19.（本题满分12分）

如图所示，程序框图的输出的各数组成数列.[来源:

]

（1）求的通项公式及前项和；

（2）已知是等差数列，且，，求数列前项和.

【知识点】数列的求和；程序框图．D4 L1

【答案解析】（1）（2）

解析：（1）由程序框图知，是的等比数列, ………… 4分

；……………………6分

（2） ……………8分

…………9分

由错位相减法可得：…………12分

【思路点拨】（1）由程序框图知，判断出是的等比数列，代入公式求出通项公式及前n项和Sn；

（2）设公差是d，由（1）和条件列出方程求出d，求出等差数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求出数列{an•bn}前n项和Tn．

【题文】20. （本题满分13分）

如图所示，作斜率为的直线与抛物线相交于不同的两点B、C，点A(2,1)在直线的右上方.

（1）求证：△ABC的内心在直线x=2上；

（2）若，求△ABC内切圆的半径．

【知识点】抛物线的简单性质．H7

【答案解析】（1）见解析（2）

解析：(1)设BC直线为,由

…………………3分

……………………………………………………5分

的平分线为，即内心在定直线上………………6分

(2),由(1)知直线AB：,直线AC:,由解得

,同理可得.………9分

……11分

………………………………………13分

【思路点拨】（1）只要证明kAB+kAC=0即可；（2）利用三角形的面积计算公式和内切圆的性质即可得出．

【题文】21. （本题满分14分）

已知是正实数,设函数.

(1)设,求的单调递减区间;

(2)若存在使成立,求的取值范围.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．B12

【答案解析】（1）（2）

解析：(1) ………2分

由得, ,………4分的单调递减区间为, …5分

(2)由得 ………………………………6分

(i)当,即时,

由得, ………………………………8分

(ii)当时, 单调递增.

………………………………………………………………10分

(iii)当,即时, 单调递减.

………………………………………………………………12分

当时恒成立. ………………………………13分

综上所述, ………………………………14分

【思路点拨】（1）根据已知求出的解析式，求出其导函数，分别求出导函数为正，为负时x的取值范围，进而可得h（x）的单调区间；（2）根据区间的定义可得，结合（1）中函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得的取值范围．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8deb1939c850ad02de8041b8.html