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2016年高考山东理科数学试题及答案（word解析版）

发布时间：2018-01-22 00:23:37 来源：文档文库

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）【2016年山东，理1，5分】若复数word/media/image2.gif满足word/media/image3.gif，其中word/media/image4.gif为虚数为单位，则word/media/image5.gif（）

（A）word/media/image6.gif （B）word/media/image7.gif （C）word/media/image8.gif （D）word/media/image9.gif

【答案】B

【解析】设word/media/image10.gif，则word/media/image11.gif，所以word/media/image12.gif，故选B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

（2）【2016年山东，理2，5分】已知集合word/media/image13.gif，则word/media/image14.gif（）

（A）word/media/image15.gif （B）word/media/image16.gif （C）word/media/image17.gif （D）word/media/image18.gif

【答案】C

【解析】由题意word/media/image19.gif，word/media/image20.gif，所以word/media/image21.gif，故选C．

【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

（3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是word/media/image23.gif，样本数据分组为word/media/image24.gif，word/media/image25.gif，word/media/image26.gif，word/media/image27.gif，word/media/image28.gif．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140

【答案】D

【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为word/media/image29.gif，

所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是word/media/image30.gif人，故选D．

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

（4）【2016年山东，理4，5分】若变量word/media/image32.gif，word/media/image33.gif满足word/media/image34.gif，则word/media/image35.gif的最大值是（）

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12

【答案】C

【解析】由word/media/image35.gif是点word/media/image37.gif到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点word/media/image38.gif，

所以word/media/image39.gif是最优解，word/media/image35.gif的最大值是10，故选C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

（5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该

几何体的体积为（）

（A）word/media/image41.gif （B）word/media/image42.gif （C）word/media/image43.gif （D）word/media/image44.gif

【答案】C

【解析】由三视图可知，半球的体积为word/media/image45.gif，四棱锥的体积为word/media/image46.gif，所以该几何体的体积为word/media/image43.gif，

故选C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状

是解答的关键．

（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线word/media/image47.gif分别在两个不同的平面word/media/image48.gif，word/media/image49.gif内，则“直线word/media/image50.gif和直线word/media/image51.gif相交”是“平面word/media/image48.gif和平面word/media/image49.gif相交”的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由直线word/media/image50.gif和直线word/media/image51.gif相交，可知平面word/media/image52.gif有公共点，所以平面word/media/image53.gif和平面word/media/image54.gif相交．又如果平面word/media/image53.gif和平面word/media/image54.gif相

交，直线word/media/image50.gif和直线word/media/image51.gif不一定相交，故选A．

【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．

（7）【2016年山东，理7，5分】函数word/media/image55.gif的最小正周期是（）

（A）word/media/image56.gif （B）word/media/image57.gif （C）word/media/image58.gif （D）word/media/image59.gif

【答案】B

【解析】由word/media/image60.gif，所以，最小正周期是word/media/image61.gif，故选B．

【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量word/media/image62.gif满足word/media/image63.gif，若word/media/image64.gif则实数word/media/image65.gif的值为（）

（A）4 （B）word/media/image66.gif （C）word/media/image67.gif （D）word/media/image68.gif

【答案】B

【解析】因为word/media/image69.gif，由word/media/image64.gif，有word/media/image70.gif，即word/media/image71.gif，word/media/image72.gif，

故选B．

【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．

（9）【2016年山东，理9，5分】已知函数word/media/image73.gif的定义域为word/media/image74.gif，当word/media/image75.gif时，word/media/image76.gif；当word/media/image77.gif时，word/media/image78.gif；当word/media/image79.gif时，word/media/image80.gif，则word/media/image81.gif（）

（A）word/media/image82.gif （B）word/media/image83.gif （C）0 （D）2

【答案】D

【解析】由word/media/image80.gif，知当word/media/image79.gif时，word/media/image84.gif的周期为1，所以word/media/image85.gif．又当word/media/image77.gif时，

word/media/image86.gif，所以word/media/image87.gif．于是word/media/image88.gif，故选D．

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．

（10）【2016年山东，理10，5分】若函数word/media/image89.gif的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称word/media/image89.gif具有word/media/image90.gif性质．下列函数具有word/media/image90.gif性质的是（）

（A）word/media/image91.gif （B）word/media/image92.gif （C）word/media/image93.gif （D）word/media/image94.gif

【答案】A

【解析】因为函数word/media/image92.gif，word/media/image93.gif的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数word/media/image94.gif的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有word/media/image90.gif性质，故选A．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分

（11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出word/media/image4.gif的

值为．

【答案】3

【解析】word/media/image96.gif时，执行循环体后word/media/image97.gif，word/media/image98.gif不成立；word/media/image99.gif时，执行循环体后word/media/image100.gif，word/media/image98.gif

不成立；word/media/image101.gif时，执行循环体后word/media/image102.gif，word/media/image98.gif成立；所以word/media/image101.gif，故填 3.

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进

行解答．

（12）【2016年山东，理12，5分】若word/media/image103.gif的展开式中word/media/image104.gif的系数是word/media/image105.gif，则实数word/media/image106.gif ．

【答案】word/media/image107.gif

【解析】由word/media/image108.gif，得word/media/image109.gif，所以应填word/media/image82.gif．

【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．

（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线word/media/image110.gif，若矩形word/media/image111.gif的四个顶点在word/media/image112.gif上，word/media/image113.gif的中点为word/media/image112.gif的两个焦点，且word/media/image114.gif，则word/media/image112.gif的离心率为．

【答案】2

【解析】由题意word/media/image115.gif，所以word/media/image116.gif，于是点word/media/image117.gif在双曲线word/media/image112.gif上，代入方程，得word/media/image118.gif，

在由word/media/image119.gif得word/media/image112.gif的离心率为word/media/image120.gif．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出word/media/image121.gif的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

（14）【2016年山东，理14，5分】在word/media/image122.gif上随机的取一个数word/media/image123.gif，则事件“直线word/media/image124.gif与圆word/media/image125.gif相交”发生的概率为．

【答案】word/media/image126.gif

【解析】首先word/media/image123.gif的取值空间的长度为2，由直线word/media/image124.gif与圆word/media/image127.gif相交，得事件发生时word/media/image123.gif的取值空间为word/media/image128.gif，其长度为word/media/image129.gif，所以所求概率为word/media/image130.gif．

【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．

（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数word/media/image131.gif，其中word/media/image132.gif，若存在实数word/media/image133.gif，使得关于word/media/image134.gif的方程word/media/image135.gif有三个不同的根，则word/media/image136.gif的取值范围是．

【答案】word/media/image137.gif

【解析】因为word/media/image138.gif的对称轴为word/media/image139.gif，所以word/media/image140.gif时word/media/image141.gif单调递增，只要word/media/image133.gif大于word/media/image138.gif的最小值word/media/image142.gif时，关于word/media/image134.gif的方程word/media/image135.gif在word/media/image140.gif时有一根；又word/media/image143.gif在word/media/image144.gif，word/media/image132.gif时，存在实数word/media/image133.gif，使方程word/media/image135.gif在word/media/image144.gif时有两个根，只需word/media/image145.gif；故只需word/media/image146.gif即可，解之，注意word/media/image132.gif，得word/media/image147.gif，故填word/media/image148.gif．

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到word/media/image149.gif是难点，属于中档题．

三、解答题：本大题共6题，共75分．

（16）【2016年山东，理16，12分】在word/media/image150.gif中，角word/media/image151.gif的对边分别为word/media/image152.gif，已知word/media/image153.gif．

（1）证明：word/media/image155.gif；

（2）求word/media/image156.gif的最小值．

解：（1）由word/media/image153.gif得word/media/image157.gif，word/media/image158.gif，

由正弦定理，得word/media/image155.gif．

（2）由word/media/image159.gifword/media/image160.gif．所以word/media/image156.gif的最小值为word/media/image161.gif．

【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为word/media/image162.gif，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式word/media/image163.gif的应用，不等式的性质．

（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，word/media/image165.gif是下底面圆word/media/image166.gif的直径，word/media/image167.gif是上底

面圆word/media/image168.gif的直径，word/media/image169.gif是圆台的一条母线．

（1）已知word/media/image170.gif分别为word/media/image171.gif的中点，求证：word/media/image172.gif平面word/media/image173.gif；

（2）已知word/media/image174.gif，求二面角word/media/image175.gif的余弦值．

解：（1）连结word/media/image177.gif，取word/media/image177.gif的中点word/media/image178.gif，连结word/media/image179.gif，因为word/media/image180.gif，word/media/image167.gif在上底面内，word/media/image181.gif不

在上底面内，所以word/media/image182.gif上底面，所以word/media/image182.gif平面word/media/image173.gif；又因为word/media/image183.gif，word/media/image184.gif平

面word/media/image173.gif，word/media/image185.gif平面word/media/image173.gif，所以word/media/image186.gif平面word/media/image173.gif；所以平面word/media/image187.gif平面word/media/image173.gif，

由word/media/image188.gif平面word/media/image189.gif，所以word/media/image172.gif平面word/media/image173.gif．

（2）连结word/media/image190.gif，word/media/image191.gif word/media/image192.gif，以为word/media/image166.gif原点，分别以word/media/image193.gif为word/media/image194.gif轴，

建立空间直角坐标系．word/media/image195.gif，word/media/image196.gif，

于是有word/media/image197.gif，word/media/image198.gif，word/media/image199.gif，word/media/image200.gif，可得平面word/media/image201.gif中的向量word/media/image202.gif，

word/media/image204.gif，于是得平面word/media/image201.gif的一个法向量为word/media/image205.gif，又平面word/media/image173.gif的

一个法向量为word/media/image206.gif，设二面角word/media/image175.gif为word/media/image207.gif，

则word/media/image208.gif．二面角word/media/image209.gif的余弦值为word/media/image210.gif．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认

真审题，注意向量法的合理运用．

（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列word/media/image211.gif的前word/media/image212.gif项和word/media/image213.gif，word/media/image214.gif是等差数列，且word/media/image215.gif．

（1）求数列word/media/image214.gif的通项公式；

（2）令word/media/image216.gif．求数列word/media/image217.gif的前word/media/image212.gif项和word/media/image218.gif．

解：（1）因为数列word/media/image211.gif的前word/media/image212.gif项和word/media/image213.gif，所以word/media/image219.gif，当word/media/image220.gif时，

word/media/image221.gif，又word/media/image222.gif对word/media/image223.gif也成立，所以word/media/image222.gif．

又因为word/media/image214.gif是等差数列，设公差为word/media/image224.gif，则word/media/image225.gif．当word/media/image223.gif时，word/media/image226.gif；当word/media/image227.gif时，

word/media/image228.gif，解得word/media/image229.gif，所以数列word/media/image214.gif的通项公式为word/media/image230.gif．

（2）由word/media/image231.gif，于是word/media/image232.gif，

两边同乘以２，得word/media/image233.gif，两式相减，得

word/media/image234.gifword/media/image235.gif

word/media/image236.gif．

【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．

（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是word/media/image237.gif，乙每轮猜对的概率是word/media/image238.gif；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（2）“星队”两轮得分之和word/media/image239.gif的分布列和数学期望word/media/image240.gif．

解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件word/media/image241.gif；

“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件word/media/image242.gif，则word/media/image243.gif；

word/media/image244.gif．所以word/media/image245.gif．

（2）“星队”两轮得分之和word/media/image246.gif的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是

word/media/image247.gif；word/media/image248.gif；

word/media/image249.gif；word/media/image250.gif；

word/media/image251.gif；word/media/image252.gif；

word/media/image239.gif的分布列为：

word/media/image239.gif的数学期望word/media/image260.gif．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．

（20）【2016年山东，理20，13分】已知word/media/image261.gif．

（1）讨论word/media/image84.gif的单调性；

（2）当word/media/image262.gif时，证明word/media/image263.gif对于任意的word/media/image264.gif成立．

解：（1）求导数word/media/image265.gifword/media/image266.gif，当word/media/image267.gif时，word/media/image268.gif，word/media/image269.gif，word/media/image73.gif单调递增，

word/media/image270.gif，word/media/image271.gif，word/media/image73.gif单调递减当word/media/image272.gif时，word/media/image273.gif

①当word/media/image274.gif时，word/media/image275.gif，word/media/image268.gif或word/media/image276.gif，word/media/image277.gif，word/media/image73.gif单调递增，word/media/image278.gif，word/media/image279.gif，、word/media/image73.gif单调递减；

②当word/media/image280.gif时，word/media/image281.gif，word/media/image282.gif，word/media/image283.gif，word/media/image73.gif单调递增，

③当word/media/image284.gif时，word/media/image285.gif，word/media/image286.gif或word/media/image287.gif，word/media/image277.gif，word/media/image73.gif单调递增，word/media/image288.gif，word/media/image279.gif，

word/media/image73.gif单调递减．

（2）当word/media/image262.gif时，word/media/image289.gif，word/media/image290.gif，

于是word/media/image291.gifword/media/image292.gif，word/media/image264.gif

令word/media/image293.gif，word/media/image294.gif，word/media/image264.gif，于是word/media/image295.gif，

word/media/image296.gif，word/media/image297.gif的最小值为word/media/image298.gif；又word/media/image299.gif，

设word/media/image300.gif，word/media/image264.gif，因为word/media/image301.gif，word/media/image302.gif，所以必有word/media/image303.gif，使得word/media/image304.gif，

且word/media/image305.gif时，word/media/image306.gif，word/media/image307.gif单调递增；word/media/image308.gif时，word/media/image309.gif，word/media/image307.gif单调递减；又word/media/image310.gif，word/media/image311.gif，

所以word/media/image307.gif的最小值为word/media/image311.gif．所以word/media/image312.gif．

即word/media/image263.gif对于任意的word/media/image264.gif成立．

【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．

（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系word/media/image313.gif中，椭圆word/media/image314.gif的离心率是word/media/image315.gif，抛物线word/media/image316.gif的焦点word/media/image317.gif是word/media/image318.gif的一个顶点．

（1）求椭圆word/media/image318.gif的方程；

（2）设word/media/image319.gif是word/media/image112.gif上的动点，且位于第一象限，word/media/image112.gif在点word/media/image319.gif处的切线word/media/image320.gif与word/media/image318.gif交于不同的两点word/media/image321.gif，线段word/media/image322.gif的中

点为word/media/image323.gif，直线word/media/image324.gif与过word/media/image319.gif且垂直于word/media/image32.gif轴的直线交于点word/media/image325.gif．

（i）求证：点word/media/image325.gif在定直线上；

（ii）直线word/media/image320.gif与word/media/image33.gif轴交于点word/media/image326.gif，记word/media/image327.gif的面积为word/media/image328.gif，word/media/image329.gif的面积为word/media/image330.gif，求word/media/image331.gif的最大值及取得最大值时点word/media/image319.gif的坐标．

解：（1）由离心率是word/media/image315.gif，有word/media/image332.gif，又抛物线word/media/image333.gif的焦点坐标为word/media/image334.gif，所以word/media/image335.gif，于是word/media/image262.gif，

所以椭圆word/media/image318.gif的方程为word/media/image336.gif．

（2）（i）设word/media/image319.gif点坐标为word/media/image337.gif，由word/media/image333.gif得word/media/image338.gif，所以word/media/image112.gif在点word/media/image319.gif处的切线word/media/image320.gif的斜率为word/media/image136.gif，

因此切线word/media/image339.gif的方程为word/media/image340.gif，设word/media/image341.gif，word/media/image342.gif，将word/media/image340.gif代入

word/media/image336.gif，得word/media/image343.gif．于是word/media/image344.gif，word/media/image345.gif，

又word/media/image346.gif，于是直线word/media/image324.gif的方程为word/media/image347.gif．

联立方程word/media/image347.gif与word/media/image348.gif，得word/media/image325.gif的坐标为word/media/image349.gif．所以点word/media/image325.gif在定直线word/media/image350.gif上．

（ii）在切线word/media/image320.gif的方程为word/media/image340.gif中，令word/media/image351.gif，得word/media/image352.gif，即点word/media/image326.gif的坐标为word/media/image353.gif，又word/media/image354.gif，

word/media/image334.gif，所以word/media/image355.gif；再由word/media/image356.gif，得

word/media/image357.gif于是有word/media/image358.gif．令word/media/image359.gif，

得word/media/image360.gif，当word/media/image361.gif时，即word/media/image362.gif时，word/media/image363.gif取得最大值word/media/image364.gif．此时word/media/image365.gif，word/media/image366.gif，所以word/media/image319.gif点的坐标为word/media/image367.gif．所以word/media/image363.gif的最大值为word/media/image364.gif，取得最大值时点word/media/image319.gif的坐标为word/media/image367.gif．