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2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学（理科）试题Word版含答案

发布时间：2019-09-03 10:06:41 来源：文档文库

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2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设word/media/image1_1.png为虚数单位，则word/media/image2_1.png（）

A．word/media/image3_1.png B．word/media/image4_1.png C．5 D．-5

2．集合word/media/image5_1.png的子集的个数为（）

A．4 B．7 C．8 D．16

3．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩word/media/image6_1.png关于测试序号word/media/image7_1.png的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：

①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；

②二班成绩不够稳定，波动程度较大；

③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．

其中正确结论的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．等差数列word/media/image9_1.png中，已知word/media/image10_1.png，且公差word/media/image11_1.png，则其前word/media/image12_1.png项和取最小值时的word/media/image13_1.png的值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）

A．95，94 B．92，86 C．99，86 D．95，91

6．若角word/media/image15_1.png的顶点为坐标原点，始边在word/media/image16_1.png轴的非负半轴上，终边在直线word/media/image17_1.png上，则角word/media/image15_1.png的取值集合是（）

A．word/media/image18_1.png B．word/media/image19_1.png

C．word/media/image20_1.png D．word/media/image21_1.png

7．已知word/media/image22_1.png，且word/media/image23_1.png，则word/media/image24_1.png的最小值为（）

A．8 B．9 C．12 D．16

8．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）

A．4立方丈 B．5立方丈 C． 6立方丈 D．12立方丈

9．已知矩形word/media/image26_1.png的顶点都在球心为word/media/image27_1.png，半径为word/media/image28_1.png的球面上，word/media/image29_1.png，且四棱锥word/media/image30_1.png的体积为word/media/image31_1.png，则word/media/image32_1.png等于（）

A．4 B．word/media/image33_1.png C．word/media/image34_1.png D．word/media/image35_1.png

10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）

A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和

B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和

C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和

D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

11．已知word/media/image37_1.png为坐标原点，设word/media/image38_1.png分别是双曲线word/media/image39_1.png的左、右焦点，点word/media/image40_1.png为双曲线上任一点，过点word/media/image41_1.png作word/media/image42_1.png的平分线的垂线，垂足为word/media/image43_1.png，则word/media/image44_1.png（）

A．1 B．2 C． 4 D．word/media/image45_1.png

12．已知定义在word/media/image46_1.png上的奇函数word/media/image47_1.png满足word/media/image48_1.png，当word/media/image49_1.png时，word/media/image50_1.png，则函数word/media/image51_1.png在区间word/media/image52_1.png上所有零点之和为（）

A．word/media/image53_1.png B．word/media/image54_1.png C． word/media/image55_1.png D．word/media/image56_1.png

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知角word/media/image57_1.png满足word/media/image58_1.png，word/media/image59_1.png，则word/media/image60_1.png的取值范围是．

14．已知平面内三个不共线向量word/media/image61_1.png两两夹角相等，且word/media/image62_1.png，word/media/image63_1.png，则word/media/image64_1.png ．

15．在word/media/image65_1.png中，三个内角word/media/image66_1.png的对边分别为word/media/image67_1.png，若word/media/image68_1.png，且word/media/image69_1.png，word/media/image65_1.png面积的最大值为．

16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为．

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．已知数列word/media/image70_1.png的前word/media/image71_1.png项和word/media/image72_1.png．

（Ⅰ）求数列word/media/image70_1.png的通项公式；

（Ⅱ）设word/media/image73_1.png，求证：word/media/image74_1.png．

18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间word/media/image78_1.png内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间word/media/image79_1.png内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间word/media/image80_1.png的分布列与数学期望．

19．如图，四棱锥word/media/image81_1.png中，底面word/media/image82_1.png为菱形，word/media/image83_1.png平面word/media/image82_1.png，word/media/image84_1.png为word/media/image85_1.png的中点．

（Ⅰ）证明：word/media/image87_1.png平面word/media/image88_1.png；

（Ⅱ）设word/media/image89_1.png，三棱锥word/media/image90_1.png的体积为word/media/image91_1.png，求二面角word/media/image92_1.png的余弦值．

20．已知椭圆word/media/image93_1.png的两个焦点为word/media/image94_1.png，且经过点word/media/image95_1.png．

（Ⅰ）求椭圆word/media/image93_1.png的方程；

（Ⅱ）过word/media/image96_1.png的直线word/media/image97_1.png与椭圆word/media/image93_1.png交于word/media/image98_1.png两点（点word/media/image99_1.png位于word/media/image100_1.png轴上方），若word/media/image101_1.png，且word/media/image102_1.png，求直线word/media/image97_1.png的斜率word/media/image103_1.png的取值范围．

21．已知函数word/media/image104_1.png，word/media/image105_1.png．

（Ⅰ）若函数word/media/image106_1.png与word/media/image107_1.png的图像在点word/media/image108_1.png处有相同的切线，求word/media/image109_1.png的值；

（Ⅱ）当word/media/image110_1.png时，word/media/image111_1.png恒成立，求整数word/media/image112_1.png的最大值；

（Ⅲ）证明：word/media/image113_1.pngword/media/image114_1.png．

（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点word/media/image115_1.png为极点，word/media/image116_1.png轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点word/media/image117_1.png的直角坐标为word/media/image118_1.png，点word/media/image119_1.png的极坐标为word/media/image120_1.png，若直线word/media/image121_1.png过点word/media/image122_1.png，且倾斜角为word/media/image123_1.png，圆word/media/image124_1.png以word/media/image125_1.png圆心，3为半径．

（Ⅰ）求直线word/media/image121_1.png的参数方程和圆word/media/image124_1.png的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线word/media/image121_1.png与圆word/media/image124_1.png相交于word/media/image126_1.png两点，求word/media/image127_1.png．

23．选修4-5：不等式选讲

设不等式word/media/image128_1.png的解集为word/media/image129_1.png．

（Ⅰ）求集合word/media/image130_1.png；

（Ⅱ）若word/media/image131_1.png，求证：word/media/image132_1.png．

2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷

数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. A 2. C 3. D 4. C 5.B 6. D

7. B 8. B 9. A 10. C 11. A 12. D

简答与提示：

8. 【命题意图】本题考查中华传统文化及三视图.

【试题解析】B　由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.

9. 【命题意图】本题主要考查球的相关知识.

【试题解析】A 由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为word/media/image133_1.png，从而球的半径word/media/image134_1.png.故选A.

10. 【命题意图】本题主要考查算法和等差数列的前word/media/image135_1.png项和.

【试题解析】C 由题意可知word/media/image136_1.png，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.

11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.

【试题解析】A　不妨在双曲线右支上取点word/media/image137_1.png，延长word/media/image138_1.png，交于点word/media/image139_1.png，由角分线性质可知word/media/image140_1.png根据双曲线的定义，word/media/image141_1.png，从而word/media/image142_1.png，在word/media/image143_1.png中，word/media/image144_1.png为其中位线，故word/media/image145_1.png.故选A.

12. 【命题意图】本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性及零点的相关知识.

【试题解析】D　由题意知word/media/image146_1.png为奇函数，周期为word/media/image147_1.png，其图象关于word/media/image148_1.png对称，word/media/image149_1.png的零点可视为word/media/image150_1.png图象交点的横坐标，由word/media/image151_1.png关于word/media/image148_1.png对称，从而在word/media/image152_1.png上有4个零点关于word/media/image148_1.png对称，进而所有零点之和为word/media/image153_1.png. 故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. word/media/image154_1.pngword/media/image155_1.png 14. word/media/image156_1.png 15. word/media/image157_1.png 16. word/media/image158_1.png

简答与提示：

13. 【命题意图】本题考查不等式的性质.

【试题解析】由不等式word/media/image159_1.png，word/media/image160_1.png，则word/media/image161_1.png，因此word/media/image162_1.png取值范围是word/media/image154_1.png.

14. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.

【试题解析】由题意可知，word/media/image163_1.png的夹角为word/media/image164_1.png，由word/media/image165_1.png可得word/media/image166_1.png与word/media/image167_1.png反向，且word/media/image168_1.png，从而word/media/image169_1.png.

15. 【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.

【试题解析】由题意可知word/media/image170_1.png，word/media/image171_1.png，得 word/media/image172_1.png，由余弦定理word/media/image173_1.png，由基本不等式word/media/image174_1.png，从而 word/media/image175_1.png面积的最大值为word/media/image176_1.png，当且仅当word/media/image177_1.png时取到最大值.

16. 【命题意图】本题考查圆锥的体积最值问题.

【试题解析】设圆锥的底面圆半径为word/media/image178_1.png，有圆锥的高为word/media/image179_1.png，从而圆锥的体积为word/media/image180_1.png，令word/media/image181_1.png，有 word/media/image182_1.png，令word/media/image183_1.png，当word/media/image184_1.png时函数为增函数，当word/media/image185_1.png时函数为减函数，从而当word/media/image186_1.png时体积取最大值word/media/image158_1.png.