成都市2011年中考数学试题分析及教学建议

成都市2011年中考数学试题分析及教学建议

成都市教科院数学组 黄祥勇

邮箱：huangxiangyong@163.com

（2011年四川省成都市中考数学试卷—解析版附后）

2011.10.17

主要内容

◆ 第一部分：试卷概况

◆ 第二部分：试题分析

◆ 第三部分：教学建议

第一部分：试卷概况

总体评价：“稳中有变、变中有新”

2011年成都市中考数学试题，全面、充分地体现了《课程标准》和《考试说明》的基本要求，突出对“四基”的考查，并注意保持较高的效度、相当的信度、适当的难度和必要的区分度，以充分发挥中考数学试题的测评、选拔和导向功能．……有利于减轻学生过重的学业负担，促进学生积极主动、生动活泼地学习，有利于初中数学教学的改革，引导教学回到“回归基础、回归教材、回归通性通法，摒弃题海战术”的正确轨道上来……

试卷结构

 试题为A、B卷，总分150分．

 全卷共28个题，A卷20个题，共100分；B卷8个题，共50分．

 A卷10个选择题，每小题3分，共30分；4个填空题，每小题4分，共16分；6个解答题，共54分．

 B卷5个填空题，每小题4分，共20分；3个解答题，共30分．

第二部分：试题分析

一、试题特色

 1.立足基础知识与基本技能，突出核心内容

　扎实的双基是提高数学素养，发展创新能力的基础，是学生其它能力发展的先决条件．试题把考查基础知识与基本技能放在首位．如A卷第1～9、11～13、15～19、20(1)题都是课本中例习题略改而成．B卷第21、22、26(1)、27(1)、28 (1)等都取材于课本，完全立足于双基.

　试题同时也特别突出了对数学核心内容的考查

数与代数内容重点是数与式，方程与不等式，函数的相关主干知识考查．

空间与图形内容重点是对图形的形状、大小位置及图形变换的认识，主要借助于基本图形：三角形、四边形和圆

统计与概率内容主要对众数与中位数，加权平均，用样本估计总体统计思想的考查．

 2.强调主要思想方法，重视数学思维能力

　数学思想方法是数学的灵魂，掌握了它，就能驾驭知识，形成能力．学生数学思想方法的形成是数学教学中的核心内容，它有利于学生掌握数学的精髓，体现了素质教育的要求．

　如:第8、10题是数形结合思想的体现；第17、25题体现了整体代换及转化思想；第19、25、28题等题目充分体现了函数与方程的思想方法;第26体现了建模思想、第14、20、27、28题体现了运动变化、归纳、数形结合、分类讨论等思想．

 3. 注重基本活动经验，体现动手实践能力

　增强学生基本活动经验、培养学生的动手实践能力和创新意识是初中数学始终追求的目标．试题在学生动手操作、实验几何上进行了积极的探索．

　如14、24题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识．

 4. 淡化繁难计算，重视通性通法

　“多一些想，少一些算，重视通性通法”已是大家的共识，今年试题尤为如此，试题涉及的数据在过程和结果上都减少了很多繁杂的运算，增加了思维能力的考查．如第20、23、26题等大部分中高档题目对常见的主干知识、通性通法进行了较为全面的考查．

 5. 关心社会热点，强调数学应用意识

　试题注意以社会生活中的现实、热点问题为背景，有较强的时代气息，不仅增进学生对数学的认识，而且向学生渗透了数学应用的意识．用学生熟悉的生活实际为试题背景，让学生更直接地在解决问题中体会“数学生活化”、“学有用的数学”的学习理念，体现数学的广泛应用．

　以生活实际为背景的题目如第4、9、16、18、22、26题等，体现了数学是来源于生活又服务于生活，背景现实、公平．

 6. 变一题把关为多题把关，体现学生可持续学习的能力

　全卷设置了多题把关，第14、20（2）、24、25、28（3）题等既关注了绝大部分学生,让他们有成功的体验；又对中生和优等生有一定的区分度，个别试题注重与高中学习的衔接．第24、25、27、28等题给学生创造了展示能力的空间．当然，要有一定的实力，要付出一定的努力，要有好的心态，才能得到较高的分数．

 试卷中的第9、16、18、26题都给出了较长的文字或图表，很好地考查了学生的阅读理解能力和对图表信息的获取翻译能力．

 全卷还命制了一定的开放性、探索性试题．如第20、23、24、26（2）、28题等对学生探究能力的考查充分，而且有多种解题思路，对学生的学习潜能有较好的测试效果．

二、试题解读

1.好题赏析

20、（2011•成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

（1）若BK=KC，求的值；

（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。

专题：计算题；几何动点问题。

分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；

（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；

当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．

解答：解：（1）∵BK=KC，∴=，

又∵CD∥AB，

∴△KCD∽△KBA，∴==；

（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD．

证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，

由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，

又∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，

∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，

∵EF=EG+GF，∴AB=BC+CD；

当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．

此题看上去朴素、简洁而新颖，不落俗套，细看后发现其知识点仍紧扣三角形全等与相似．题目设计考察学生几何模型,体现了特殊到一般的数学思想,解题方法多样. 容易上手,但拿满分较困难，不失为一道好题．

24、（2011•成都）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　14﹣2（计算结果不取近似值）．

考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：应用题。

分析：关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AT取最大值6和当点N与C重合时，AT的最小值8﹣2．所以可求线段AT长度的最大值与最小值之和．

解答：解：当点M与A重合时，AT取最大值是6，

当点N与C重合时，由勾股定理得此时AT取最小值为8﹣=8﹣2．

所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2=14﹣2．

故答案为：14﹣2．

点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．

由于此题没有画图，多数考生仅仅在草稿纸上画画草图,导致整个折叠动态过程无法把握，找不到线段AT的长度达到最大值和最小值的条件．有些同学通过设元，利用函数思想来处理同样非常困难，甚至走上歧途．事实上，这道题最佳解决方案只需动动手，拿一张四边形纸片实际折一折，困难很快迎刃而解(体现新课标对“四基”的考察)．

2.答卷分析

学生失分情况分析

3.失分分析

1．基础知识和基本能力不扎实是中下学生大量失分的根本原因（反映在教学上是没有过手）．

（1）基础知识薄弱

（2）基本运算能力差

（3）实际应用能力差（第9、14、16、24、25题）

（4）逻辑推理能力差（第27、28题）

2．缺乏规范的审题和解题习惯是造成丢分另一重要原因．

3．大部分学生综合应用所学知识解决问题的能力较差．

第三部分：教学建议

进入初三的一些反思

课时不够用 —— 匆忙教学 快赶进度

重视教材不够—— 丢开课本 心系教辅

学生底子薄—— 靠教师讲解 无体验探究

能力要求分层不够——课堂教学目标单一

一、加强研究，转变观念

 想要提高学生的数学能力,适应当前中考的变化,最有效的途径就是加强对《课程标准》、《考试说明》和教材的学习与研究，不断转变我们的教学观念．

 《课程标准》、《考试说明》和教材既是中考命题的依据，也是衡量日常教学的重要标尺．我市近几年中考数学的试题,多取材于《课程标准》、《考试说明》和教材中的原型．也就是说,《课程标准》、《考试说明》和教材才是编拟中考数学试题的真正“题源”．所以,我们的教学要紧扣课标,吃透考试要求，回归教材,发挥其示范作用．唯有这样,教学和复习才会起到事半功倍的作用．

二、正确认识“双基”

 当前中考试题考查的重点，仍是“四基”中的基础知识和基本技能．加强基础知识和基本技能的训练是提高数学成绩的一个重要环节，但我们首先要对加强“双基”有一个正确的认识．

 中考中要求的基础知识和基本技能，是解决常规数学问题的“通法通则”，而并非特殊的方法和技巧，因此抓好“双基”，绝不是片面追求解偏题、难题和怪题，更不是刻意去补充课标和教材要求之外的知识与方法．

 加强“双基”，很重要的一个方面是对学生解题规范性的培养．只有做到答题规范、表述准确、推理严谨，才能保证学生考试时会做的题不丢分．建议教师在日常的教学中，充分重视对学生解题步骤和解题格式的规范要求．

 加强“双基”，不能通过要求学生机械记忆概念、公式、定理、法则来实现，而是要将这些核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中，所以适当的解题训练是必要的．但加强“双基”，又不能仅靠大量的不加选择的解题来完成，更不能搞题海战术．

例1．用四块长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成的一个“带孔”正方形如图所示．利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式______________．

a+b)2=(a-b)2+4ab与图形的结合是非常完美，这是数形结合思想的一个典范．

 要认识到，“双基”的提升不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．在日常教学中，学生对数学知识的初次认知尤为重要，因此一定要留给学生充分的探究发现、归纳概括的时间，扎扎实实地掌握好每一个数学概念．

 任何匆忙追求教学进度、最后依靠机械性的强化训练的做法，都不可能取得真正良好的效果．

 特别要防止“夹生饭”、尽量不用“补救性教学”．

 教师在平时的教学过程中，注意强调学生对数学本质的理解掌握．

 平时的教学不能只追求教学进度，不能为了有更多的复习时间，为了补充更多的题型、题量，对新知识的教与学而进行大幅度的压缩时间，使学生对新知识的学习缺少理解的学习环境和空间．

 在教学中，要真正让学生在一定的情境下，通过探究、感受、体验到知识的发生和发展过程，要充分尊重学生的主体思维，让学生有充分展现自我的时间和空间．这样的教学能使学生真正理解知识，掌握数学学习的方法，同时加深了学习数学的情感,才能使学习知识与技能、过程与方法、情感态度相融,这正是新课程所积极倡导和要求的．

“数学本质”的内涵：

1 .数学知识的内在联系；

2 .数学规律的形成过程；

3 .数学思想方法的提炼；

4 .数学理性精神的体验.

形成数学的教育形态：“返朴归真”， “平易近人”， “言之有理”，“感悟真情”

例如： 方程概念

• 外在的逻辑形式：

含有未知数的等式叫方程．

 内在的数学本质：

　　方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系．

 “方程”思想的本质在于建立关系．

数学本质常被两种活动所掩盖：

1.过度的形式化.：淡化形式，注重实质

案例：集合概念（去数学化）

2.教条式的改革.：表面热闹、缺乏效率的教学过程.

例如：乘法交换律：ab =ba

 某优秀教案这样设计：

 学生交换位置（没有说人数不变）；

 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔青草．（没有谈不变性）

 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水．（只有交换， 没有不变的规律）．

例如　糖水浓度

 a – 溶液（糖水）; b – 溶质（糖）

b/a -- 浓度（甜度）

 现在向糖水中再放糖 m>0， 糖水变甜；

b/a < (b+m) / (a+m)

　如果 b/a < d/c 是两杯不一样甜的糖水倒再一起， 甜度会怎样？

b/a < (b+d)/(a+c) < d/c

 这不是证明， 却把握了数学过程的本质

三、关注数学思想和数学活动经验的渗透

 要想在中考取得理想的成绩，除了理解基础知识，掌握基本技能外，还必须关注数学思想和活动经验的积累,这正是目前教学较为薄弱的环节之一．

 值得注意的是，对数学思想和活动经验的教学不能孤立进行，它应以具体的数学知识为载体，如在“分式”教学中渗透类比思想（与分数的类比），在方程组的教学中渗透化归思想（与方程的转化）等等．平时教学要将数学思想自然“内化”在学生的思维方式之中．

四、注重过程教学，培养思维品质

 “重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区．这种忽视知识形成过程的教学，会导致学生只重视结论本身，甚至死记硬背结论，“只知其然而不知其所以然”,也就更谈不上在考场上灵活运用与迁移转化了．

 因此在教学过程中，一定要从重视知识结论转向重视知识的形成过程．要真正改变现有的教学方式，关注学生的学习方式，使教学的过程变成一个学生思维不断发展的过程．

 培养思维能力，还应在提高学生的思维品质上下功夫．如培养学生思维的灵活性、全面性、严密性，以及思维的广度和深度等等．

五、关注生活，加强应用

 《课程标准》特别强调数学背景的“现实性”和“数学化”，能用数学眼光认识世界，并能用数学知识和数学方法处理解决周围的实际问题．学习数学的最终目的就是应用，强化应用,要联系学生的实际．教学中要时常关注社会生活实际,编拟一些贴近生活,贴近实际,有着实际背景的数学应用性试题,引导学生学会阅读、审题、获取信息、解决问题．将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用．这样引导学生在问题解决中,体会数学与人类社会的密切关系,增进对数学的理解,启迪学生平时关心生活,关注社会．

 特别要重视方程、函数、统计和解直角三角形在生活中的应用．

六、提高能力、关注发展

在教学过程中，重点培养学生的运算能力，空间观念，思维能力，运用所学知识分析和解决问题的能力以及收集处理信息的能力、阅读理解能力、知识迁移能力，数学建模能力和用数学眼光观察、分析、解决实际问题的能力．要把提高学生数学能力与培养数学素养有机结合起来．

1.加强运算能力培养．

随着新课标的广泛开展，学生的运算能力不高成为一个普遍的问题（与小学课标的要求有一定原因），运算速度慢，会做得不得分和得不全分以及运算不合理越来越成为比较突出的问题，要改变的这种现状，在复习备考的过程中，教师必须切实重视运算能力的培养，使学生作到“会”，就一定能做对，把运算的准确、迅速和简捷等技能作为一项基本功常抓不懈，在复习备考过程中，要结合具体的教学内容培养学生良好的解题习惯，加强对算理的强化和渗透，重视解题规范的要求，讲解每个题目必须具有规范性，纠正只重思路分析而忽视学生动手运算的不良倾向．

2.加强空间观念形成

比如在教学中，要使学生形成以下基本技能：

 能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状．

 能够由较复杂的平面图形分解出简单、基本的图形

 能够在基本图形中找出基本元素及其关系；

 掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化的思想．

3.培养思维能力

　　发展思维能力是培养能力的核心，在教学中，教师要注意展现知识形成的运用过程，培养观察、比较、分析、抽象和概括能力，要引导学生会用归纳、演绎、以及类比的方法进行推理，在引述定义和论证命题时，使学生能灵活准确使用数学语言，简明清楚地阐述自己的思想和观点，并注意培养其深刻性、灵活性、创新性、敏捷性和批判性，以提高学生的思维品质．在教学中要注意经常设计和选择一些探索性的题目，设置适当的情境，引导学生的积极参与，养成良好的解题习惯．

4.培养用所学知识和技能分析问题和解决问题的能力

对于应用性问题，在教学中，要引导学生通过阅读背景材料，通过现象看本质，学会将实际问题转化为数学问题，建立起数学模型，从而解决问题，在平时教学中，可以对日常的一些数学应用题进行归类，对所涉及到数学知识，基本技能和思想方法进行梳理，优化学生的数学认知结构，提高分析问题和解决问题的能力．

例3.扑克牌游戏

小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：

第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；

第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.

这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是

此题的数学本质就是整式（x+3)-(x-2)的运算，实际上就是通过列代数式转化成数学问题.

5.培养阅读理解能力，加强识图能力和处理图表信息能力

中考中很多数学试题，都是以图象，图表为背景展现在考生面前，这类“学习型”试题不拘泥于课标和课本，形式多样，有利于培养学生的自学能力、创新意识和实践能力，这类题目一般通过观察图像、整理信息，抽象出数学问题，并用数学语言抽象成数学模型．使学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．因此在教学中，一定重视学生阅读理解能力的培养，强化识图的能力和处理图表信息的能力．

七、培养探究意识，关注动态问题

注重探究能力，培养学生创新意识和实践能力，是现代素质教育的基本理念之一，在教学中，要依据学生的年龄特点和认识水平，将书本知识与学生的生活联系起来，科学地设计探究性和开放性问题，给学生提供自主探索的机会，诱发学生的求知欲，鼓励学生独立思考，并学会用数学的思维方式去观察、分析有意义的实际问题，从而达到培养学生的创新意识和实践能力的目的．

八、注重衔接，提升素质

 知识是相互联系的，高中的数学知识与初中的内容也紧密相联．

 在新《课程标准》中，有些高中学习中常应用到的知识，在现行初中数学教材内容上进行了较大幅度的压缩、上调、降低难度．对这部分内容的学习，师生双方都要有“终身学习，持续学习”的观念．但没有必要去大量补充．

数学教育的核心是让学生掌握数学本质；

教育数学的目标是为学生提供优质数学！

邮箱：huangxiangyong@163.com

2011年四川省成都市中考数学试卷—解析版

一、选择题：（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．

1、（2011•成都）4的平方根是（　　）

A、±16 B、16

C、±2 D、2

考点：平方根。

专题：计算题。

分析：由于某数的两个平方根应该互为相反数，所以可用直接开平方法进行解答．

解答：解：∵4=（±2）2，

∴4的平方根是±2．

故选C．

点评：本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2、（2011•成都）如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A、 B、

C、 D、

考点：简单几何体的三视图。

专题：应用题。

分析：题干图片为圆柱，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答：解：圆柱的主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆形．

故选D．

点评：本题考查了圆柱体的三视图，考查了学生的空间想象能了及解决问题的能力．

3、（2011•成都）在函数自变量x的取值范围是（　　）

A、 B、

C、 D、

考点：函数自变量的取值范围。

专题：计算题。

分析：让被开方数为非负数列式求值即可．

解答：解：由题意得：1﹣2x≥0，

解得x≤．

故选A．

点评：考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：函数有意义，二次根式的被开方数为非负数．

4、（2011•成都）近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温．据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为20.3万人，这一数据用科学记数法表示为（　　）

A、20.3×104人 B、2.03×105人

C、2.03×104人 D、2.03×103人

考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：计算题。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

解答：解：∵20.3万=203000，

∴203000=2.03×105；

故选B．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5、（2011•成都）下列计算正确的是（　　）

A、x+x=x2 B、x•x=2x

C、（x2）3=x5 D、x3÷x=x2

考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

专题：计算题。

分析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可．

解答：解：A、x+x=2x，选项错误；

B、x•x=x2，选项错误；

C、（x2）3=x6，选项错误；

D、正确．

故选D．

点评：本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等多个运算性质，需同学们熟练掌握．

6、（2011•成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（　　）

A、n2﹣4mk＜0 B、n2﹣4mk=0

C、n2﹣4mk＞0 D、n2﹣4mk≥0

考点：根的判别式。

专题：计算题。

分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac直接得到答案．

解答：解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，

∴△=n2﹣4mk≥0，

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．

7、（2011•成都）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（　　）

A、116° B、32°

C、58° D、64°

考点：圆周角定理。

专题：几何图形问题。

分析：根据圆周角定理求得、：∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知

∠BOD=180°﹣∠AOD，∴∠BCD=32°．

解答：解：连接OD．

∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，

∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

∴∠BCD=32°；

故选B．

点评：本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．

8、（2011•成都）已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A、m＞0 B、n＜0

C、mn＜0 D、m﹣n＞0

考点：实数与数轴。

分析：从数轴可知数轴知m小于0，n大于0，从而很容易判断四个选项的正误．

解答：解：由已知可得n大于m，并从数轴知m小于0，n大于0，所以mn小于0，则A，B，D均错误．

故选C．

点评：本题考查了数轴上的实数大小的比较，先判断在数轴上mn的大小，n大于0，m小于0，从而问题得到解决．

9、（2011•成都）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（　　）

A、6小时、6小时 B、6小时、4小时

C、4小时、4小时 D、4小时、6小时

考点：众数；条形统计图；中位数。

专题：常规题型。

分析：在这50人中，参加6个小时体育锻炼的人数最多，则众数为60；50人中锻炼时间处在第25和26位的都是6小时，则中位数为6．

解答：解：出现最多的是6小时，则众数为6；

按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．

故选A．

点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

10、（2011•成都）已知⊙O的面积为9πcm2，若点0到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A、相交 B、相切

C、相离 D、无法确定

考点：直线与圆的位置关系。

专题：计算题。

分析：设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．

解答：解：设圆O的半径是r，

则πr2=9π，

∴r=3，

∵点0到直线l的距离为π，

∵3＜π，

即：r＜d，

∴直线l与⊙O的位置关系是相离，

故选C．

点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当 r=d时相切；当 r＞d时相交．

二、填空题：（每小题4分，共16分）

11、（2010•济南）分解因式：x2+2x+1=　（x+1）2．

考点：因式分解-运用公式法。

分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．

解答：解：x2+2x+1=（x+1）2．

点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．

（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；

（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍（或积的2倍的相反数）．

12、（2011•成都）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC、BC的中点，若DE=4，则AB=　8　．

考点：三角形中位线定理。

专题：计算题。

分析：根据三角形的中位线定理得到AB=2DE，代入DE的长即可求出AB．

解答：解：∵D，E分别是边AC、BC的中点，

∴AB=2DE，

∵DE=4，

∴AB=8．

故答案为：8．

点评：本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．

13、（2011•成都）已知x=1是分式方程的根，则实数k=．

考点：分式方程的解。

分析：先将x的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求出k的值．

解答：解：将x=1代入得，

=，

解得，k=．

故本题答案为：．

点评：本题主要考查分式方程的解法．

14、（2011•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．

考点：扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质。

专题：计算题。

分析：先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴AB=，

∴S扇形ABD==．

又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，

∴Rt△ADE≌Rt△ACB，

∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．

故答案为：．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=．也考查了勾股定理以及旋转的性质．

三、解答题：（本大题共6个小题，共54分）

15、（2011•成都）（1）计算：．

（2）解不等式组：，并写出该不等式组的最小整数解．

考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解。

专题：计算题。

分析：（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂的性质即可解答本题，

（2）先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．

解答：解：（1）原式=2×+3﹣×1﹣1=2；

（2）不等式组解集为﹣2＜x＜1，

其中整数解为﹣1，0，

故最小整数解是﹣1．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂的性质以及解不等式组，难度适中．

16、（2011•成都）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题。

专题：计算题；几何图形问题。

分析：易得∠A的度数为60°，利用60°正切值可得BC的值．

解答：解：由题意得∠A=60°，

∴BC=AB×tan60°=500×=500m．

答：该军舰行驶的路程为500m．

点评：考查解直角三角形的应用；用∠A的正切值表示出所求线段长是解决本题的关键．

17、（2011•成都）先化简，再求值：，其中．

考点：分式的化简求值。

专题：计算题。

分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算，最后把x的值代入计算即可．

解答：解：原式=×=×=2x，

当x=时，原式=2×=．

点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．

18、（2011•成都）某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用代码B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机地各抽取一个题签．

（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结构；

（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下表为“1”）均为奇数的概率．

考点：列表法与树状图法。

专题：数形结合。

分析：（1）分2步实验列举出所有情况即可；

（2）看小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的情况数占总情况数的多少即可．

解答：解：（1）；

（2）共有9种情况，下标均为奇数的情况数有4种情况，

所以所求的概率为．

点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的情况数是解决本题的关键．

19、（2011•成都）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．

考点：反比例函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）把点（，8）代入反比例函数，确定反比例函数的解析式为y=；再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=﹣x+b，即可确定b的值；

（2）把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；对于y=﹣x+5，令y=0，求出A点坐标，然后根据S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ进行计算即可．

解答：解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=•8=4，

∴反比例函数的解析式为y=；

又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，

∴4•m=4，

解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），

而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），

∴1=﹣4+b，

解得b=5，

∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；

（2）联立，

解得或，

∴P点坐标为（1，4），

对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，

∴A点坐标为（0，5），

∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ

=•5•5﹣•5•1﹣•5•1

=．

点评：本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式以及求两个图象交点的方法（转化为解方程组）；也考查了利用面积的和差求图形面积的方法．

20、（2011•成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．

（1）若BK=KC，求的值；

（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质。

专题：计算题；几何动点问题。

分析：（1）由已知得=，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；

（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；

当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．

解答：解：（1）∵BK=KC，∴=，

又∵CD∥AB，

∴△KCD∽△KBA，∴==；

（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD．

证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，

由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，

又∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，

∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，

∵EF=EG+GF，∴AB=BC+CD；

当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质．关键是构造平行线，由特殊到一般探索规律．

一、填空题：（每小题4分，共20分）

21、（2011•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第　四　象限．

考点：一次函数图象上点的坐标特征；点的坐标。

专题：数形结合。

分析：把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而根据点的Q的横纵坐标的符号可得所在象限．

解答：解：∵点P（2，a）在正比例函数的图象上，

∴a=1，

∴a=1，3a﹣5=﹣2，

∴点Q（a，3a﹣5）位于第四象限．

故答案为：四．

点评：考查一次函数图象上点的坐标特征；得到a的值是解决本题的突破点．

22、（2011•成都）某校在“爱护地球，绿化祖图”的创建活动中，组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表：

则这l 00名同学平均每人植树　5.8　棵；若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总数是　5800　棵．

考点：用样本估计总体；加权平均数。

专题：数字问题。

分析：（1）根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．

（2）根据总体平均数约等于样本平均数，用样本的平均数乘以总人数即可．

解答：解：平均数=（30×4+5×22+6×25+8×15+10×8）÷100=580÷100=5.8棵，

植树总数=5.8×1000=5800棵．

故答案为：5.8，5800．

点评：本题考查的是加权平均数的求法．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．

23、（2011•成都）设，，，…，．

设，则S=（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

考点：二次根式的化简求值。

专题：计算题；规律型。

分析：由Sn=1++===，求，得出一般规律．

解答：解：∵Sn=1++===，

∴==1+﹣，

∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣

=n+1﹣

==．

故答案为：．

点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．

24、（2011•成都）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　14﹣2（计算结果不取近似值）．

考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：应用题。

分析：关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AT取最大值6和当点N与C重合时，AT的最小值8﹣2．所以可求线段AT长度的最大值与最小值之和．

解答：解：当点M与A重合时，AT取最大值是6，

当点N与C重合时，由勾股定理得此时AT取最小值为8﹣=8﹣2．

所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2=14﹣2．

故答案为：14﹣2．

点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．

25、（2011•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数k=．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

专题：计算题。

分析：由反比例函数y=当x＜0时，y随x的增大而减小，可判断k＞0，设P（x，y），则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy=2k，x+y=k，又OP2=x2+y2，将已知条件代入，列方程求解．

解答：解：∵反比例函数y=当x＜0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，

设P（x，y），则xy=2k，x+y=k，

又∵OP2=x2+y2，

∴x2+y2=7，即（x+y）2﹣2xy=7，

（k）2﹣4k=7，

解得k=或﹣1，而k＞0，

∴k=．

故答案为：．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数、一次函数解析式，列方程组求解．

二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）

26、（2011•成都）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；

（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．

考点：二次函数的应用；相切两圆的性质。

专题：计算题；代数几何综合题。

分析：（1）表示出BC的长120﹣2x，由矩形的面积公式得出答案；

（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行．

解答：解：（1）∵AB=x，∴BC=120﹣2x，

∴S=x（120﹣2x）=﹣2x2+120x；

当x==30时，S有最大值为=1800；

（2）设圆的半径为r，路面宽为a，

根据题意得：

解得：

∵路面宽至少要留够0.5米宽，

∴这个设计不可行．

点评：本题考查了二次函数的应用，题目中还涉及到了二元一次方程组及方案设计的相关知识，是一道难度适中的综合题．

27、（2011•成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：AE=CK；

（2）如果AB=a，AD=（a为大于零的常数），求BK的长：

（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理。

专题：证明题；几何综合题。

分析：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；

（2）根据勾股定理求得AC的长，再求证△BKC∽△ABC，利用其对应边成比例即可求得BK．

（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可．

解答：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，

∴AD=BC，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK；

（2）∵AB=a，AD==BC，

∴AC===

∵BK⊥AC，

∴△BKC∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴BK=a，

∴BK=a．

（3）连接OF，

∵ABCD为矩形，

∴=，

∴EF=ED=×6=3，

∵F是EG的中点，

∴GF=EF=3，

∵△AFD≌△HBF，

∴HF=FE=3+6=9，

∴GH=6，

∵DH∥KB，ABCD为矩形，

∴AE2=EF•ED=3×6=18，

∴AE=3，

∵△AED∽△HEC，

∴==，

∴AE=AC，

∴AC=9，

则AO=．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目．

28、（2011•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1） 由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；

（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．

解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，

设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，

由△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，

由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，

解得m=1±或m=3±，

∵m＞2，∴m=1+或m=3+，

边长EF=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；

（3）存在．

由（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，

依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7，

联立，，

解得或，

∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/899f6c27453610661ed9f4c2.html