2020-2021学年最新高考总复习数学（理）全国统一考试预测卷及答案解析

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数学（理）预测（上海卷）

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1、全集，集合，，则．

解析：，

2、设，，，如果是的充分非必要条件，则的范围是．

解析：由得，又和也满足，

3、函数（且）的图象经过点，其反函数的图象经过点，则__________

解析：由，得

4、已知，则__________

解析：

5、已知圆锥的母线长为，轴截面（过轴的截面）为直角三角形，则圆锥的全面积为___________

解析：轴截面为直角三角形，母线长为，圆锥的高为，底面半径为，从而全面积为

6、函数，如果，则___________

解析：令，此函数为奇函数，由得，从而

7、设是等差数列的前项和．若，则____________

解析：由得，，从而

8、关于的不等式恒成立，则实数的范围是．

解析：，

9、若，则___________

解析：，

10、函数，不等式的解集为，当时，则、、、这四个值中最大的一个是．

解析：由已知得函数是开口向上的抛物线，且对称轴为，此函数在上单调递增，而，最大。

11、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、．是坐标原点，则．

解析：的周期为6，作出上的函数图像，得到，点、是关于点A对称，，所以

12、,若,则．

解析：显然，令得，所以，

13、若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是．

解析：函数在上的值域为，故，即

14、如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是．

解析：设右焦点为，则,所以

==6a=48

二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在空间中，下列命题正确的是 [答] ( )．

A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b

B．空间不同的三点确定一个平面

C．如果直线l//平面且//平面，那么

D．若直线与平面没有公共点，则直线//平面

解析：考查直线，平面的位置关系， 选D

16．设实数均不为0，则“成立”是“关于的不等式与 的解集相同”的　　　　　　　　　　　 　 　[答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

解析：考查方程组的解集问题，选B

17．若复数同时满足，，则(是虚数单位，是的共轭复数) [答] ( )．

A．B．C．D．

解析：考查复数的共轭复数的概念，选D

18．已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：

(1)；(2)；(3)数列是等差数列；

(4)集合中共有9个元素．

则其中真命题的序号是 　　 　 [答]( 　)．

．(1)、(2)、(3)、(4)　　　．(1)、(4)　　．(2)、(3)　　．(1)、(3)、(4)

解析：考查数列的通项公式，选C

三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体中，，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体．

(1) 若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)求点D到平面的距离．

解析：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、、、、．　　　　　

由是中点，可得.

于是，．　

设异面直线与所成的角为，则

　　．

　因此，异面直线与所成的角为．

(2)设是平面的法向量．

　　∴

　　又，

∴　取，可得即平面的一个法向量是．

∴．　　　　

20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

　　已知函数，函数与函数的图像关于原点对称．

(1)求的解析式；

(2)求函数在上的单调递增区间．

解析：(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的

图像上，

于是有．

　　　所以，，．

(2)由(1)可知，，记． 　

由，解得，

则函数在形如的区间上单调递增.

结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1．

　 令得；时，得.

　 所以，，．

于是，函数在上的单调递增区间是和．

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

　 有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上．设cm，矩形的面积为．

(1)试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，

并写出定义域；

(2)试问如何截取(即取何值时)，可使得到的矩形的面积最大？

解析：(1)依据题意并结合图形，可知：

　当点在线段上，即时，；

　当点在线段上，即时，由，得．

于是，．

　　所以，定义域．

(2)由(1)知，当时，；

当时，

　　，当且仅当时，等号成立．

　因此，的最大值为．

答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

已知数列满足，对任意都有．

(1)求数列()的递推公式；

(2)数列满足()，求通项公式；

(3)设，问是否存在实数使得数列()是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

解析：(1) 对任意都有成立，

∴令，得．

∴数列()的递推公式是

(2)由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是．　

由()，得

()．

故．

当时，．

所以

(3)∵，

∴当时，，

　　　　　　　，

依据题意，有，即．

当为大于或等于4的偶数时，有 恒成立，又随增大而增大，则

，故的取值范围为；

当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为；

当时，由，得．

　　综上可得，所求的取值范围是．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的轨迹方程；

(2)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；

(3)已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

解析：(1)依据题意，动点满足.

又，

因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．

所以，所求曲线的轨迹方程是．

(2) 设是曲线上任一点．依据题意，可得．

是直径，

．又，

　　　　＝．

　由，可得，即．

　　．

　　的取值范围是．

(另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有．)

(3)证明　因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称．若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线的距离()是定值即可．

设，点，则

　　　．

　　利用面积相等，有，于是．

　　又两点在曲线上，故可得

　　因此，．

　　所以，，即为定值．

所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为：．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/8982e243ad45b307e87101f69e3143323868f51c.html