高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

第一部分：复习运用的知识

（1）椭圆几何性质

椭圆第一定义:平面内与两定点距离和等于常数(大于）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的几何性质:以为例

1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，即说明椭圆位于直线和所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、轴、轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

4. 长轴、短轴：

叫椭圆的长轴，是长半轴长；

叫椭圆的短轴，是短半轴长.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比，

（2）,，即.这是椭圆的特征三角形，并且的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），.

7.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：.

（二）运用的知识点及公式

1、两条直线垂直：则；两条直线垂直，则直线所在的向量

2、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。

3、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。

4、弦长公式：若点在直线上，

则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者。

（三）转方向：

方向一：向斜率转化，变为函数最值及最优解问题，或者变为不等式问题

方向二：向距离转化

第二部分：椭圆常考题型解题方法典例

一、椭圆定义相关题目

例1、已知方程表示椭圆，求的取值范围．

解：由得，且．

∴满足条件的的取值范围是，且．

说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例2、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

解：方程可化为．

因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在轴上，知，．

(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．

例3、 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．

解：如图所示，焦点为，．的坐标为（－9，6），直线的方程为．

解方程组得交点的坐标为（－5，4）．

所求椭圆的长轴：，

∴，又，

∴．

因此，所求椭圆的方程为．

二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目

例4、 已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得

，

即．

，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，

由（1）得，．

根据弦长公式得 ：．

解得．方程为．

说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

例5、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，

设，，则，．

在中，，

即；

所以．

同理在中，

用余弦定理得，

所以．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．

再根据焦半径，，

从而求出．

三、轨迹方程相关题目

例6、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．

例7、 已知椭圆，

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

（1）将，代入⑤，得，

（2）故所求直线方程为： ． ⑥

将⑥代入椭圆方程得，

符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤

得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：， ⑦，

将③④平方并整理得

， ⑧，

， ⑨

将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩

再将代入⑩式得：

，

即 ．

例8、 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．

解：．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为，

设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，

从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，

化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例9、 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．

分析：“设而不求”法

解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，

整理 　①

设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，

∴

∵为中点，

∴，．

∴所求直线方程为．

方法二：（点差法）设直线与椭圆交点，．

∵为中点，∴，．

又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，

即．

∴．

∴直线方程为．

方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．

∵、在椭圆上，∴　　①。

　　　　　②

从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

四、探索问题及其他

例10、 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上．

利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围．

解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，

直线与交于点．

∵的斜率，

∴设直线的方程为．

由方程组消去得

　　①。

∴．

于是，，

即点的坐标为．

∵点在直线上，

∴．

解得．　②

将式②代入式①得　　③

∵，是椭圆上的两点，

∴．

解得．

(法2)同解法1得出，∴，

，即点坐标为．

∵，为椭圆上的两点，

∴点在椭圆的内部，

∴．

解得．

(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为．

∵，在椭圆上，∴，．两式相减得，

即．

∴．

又∵直线，∴，

∴，即　①。

又点在直线上，

∴　　②。

由①，②得点的坐标为．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程．

(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式．

例11 在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程．

解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设．

则∴

即

∴得

∴所求椭圆方程为

例12、 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．

分析：（1）由已知可得，再用椭圆定义求解．由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．

设点坐标为，由，

知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．

因，，有，

故其方程为．

（2）设，，则． ①

由题意有代入①，

得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

第三部分：椭圆常考题型解题方法针对性习题

1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。

2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

（）求椭圆的方程；

（）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

椭圆常考题型解题方法针对性习题答案

1、解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线，，，。

由消y整理，得

由直线和抛物线交于两点，得

即

由韦达定理，得：。

则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则

为正三角形，

到直线AB的距离d为。



解得满足式， 此时。

2、解：（）由已知椭圆C的离心率，,则得。

从而椭圆的方程为

（）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得

是方程的两个根，

则，，

即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

，

直线MN的方程为：，

令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：

又，

椭圆的焦点为

，即 故当时，MN过椭圆的焦点。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/89826985a3c7aa00b52acfc789eb172dec639919.html