2019-2020年高考数学一轮复习第十四章平面解析几何初步14.3直线与圆圆与圆的位置关系讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第十四章平面解析几何初步14.3直线与圆圆与圆的位置关系讲义

分析解读　　直线与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容,无论是填空题还是解答题都是中等难度,着重考查直线与圆相切或相交的情况.

五年高考

考点一　直线与圆的位置关系

1.(xx课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=　　　　. 

答案　-

2.(xx课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　. 

答案　4π

3.(xx课标全国Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=　　　　. 

答案　4

4.(xx江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为　　　　. 

答案　(x-1)2+y2=2

5.(xx四川改编,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是　　　　. 

答案　(2,4)

6.(xx湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

(1)圆C的方程为　　　　　　　; 

(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:

①=;②-=2;③+=2.

其中正确结论的序号是　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

答案　(1)(x-1)2+(y-)2=2　(2)①②③

7.(xx江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为　　　　. 

答案　

8.(xx湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=　　　　. 

答案　2

9.(xx江西改编,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为　　　　. 

答案　π

10.(xx课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是　　　　. 

答案　[-1,1]

11.(xx课标全国Ⅲ文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:

(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;

(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解析　(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:

设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.

又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.

(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.

由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.

联立

又+mx2-2=0,可得

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,

半径r=.

故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

12.(xx广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

解析　(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),

则x0=,y0=.

由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.

将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.

由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,

所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.

因为+=+===3x0,

所以+=.

由(*)解得t2<,又t2≥0,所以0≤3.

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.

(3)由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.

如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).

联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.

令判别式Δ=0,解得:k=±,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=∈,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈∪.

教师用书专用(13—14)

13.(xx山东理改编,9,5分)过点P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　　. 

答案　2x+y-3=0

14.(xx北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.

解析　(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.

因此a=2,c=.

故椭圆C的离心率e==.

(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:

设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.

因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.

当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,

故直线AB的方程为x=±.

圆心O到直线AB的距离d=.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),

即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.

圆心O到直线AB的距离d=.

又+2=4,t=-,

故d===.

此时直线AB与圆x2+y2=2相切.

考点二　圆与圆的位置关系

1.(xx重庆理改编,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为　　　　. 

答案　5-4

2.(xx江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析　(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,

由题意得,=1,解得k=0或-,

故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.

设点M(x,y),因为MA=2MO,

所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.

由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤|CD|≤2+1,

即1≤≤3.

由5a2-12a+8≥0,得a∈R;

由5a2-12a≤0,得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为.

三年模拟

A组　xx模拟·基础题组

考点一　直线与圆的位置关系

1.(xx江苏姜堰中学高三期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-6x+5=0,圆心为C,点A,B在圆C上,且AB=2,则△ABC的面积S△ABC=　　　　. 

答案　

2.(xx江苏如东中学高三学情检测)若圆C:x2+y2+2x+2y-7=0关于直线ax+by+4=0对称,由点P(a,b)向圆C作切线,切点为A,则线段PA的最小值为　　　　. 

答案　3

3.(xx江苏徐州铜山中学期中)已知P是圆O:x2+y2=4上的动点,点A(4,0),若直线y=kx+1上总存在点Q,使点Q恰为线段AP的中点,则实数k的取值范围是　　　　. 

答案　

4.(xx江苏海头高级中学质检,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为　　　　　. 

答案　2

5.(xx江苏南京学情调研,9)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=16相交于A,B两点,且△ABC为直角三角形,则实数a的值是　　　　. 

答案　-1

6.(苏教必2,二,15,变式)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a的值为　　　　. 

答案　4±

7.(xx常州一中质量检测,10)已知点P为圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上的动点,点P到直线l的最大距离为6.若点A在直线l上,过A作圆C的切线AB,切点为B,则|AB|的最小值是　　　　. 

答案　2

考点二　圆与圆的位置关系

8.(xx江苏海安中学阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y-4=0上的动点,若圆C上总存在两个不同的点A,B,使得+=,则x0的取值范围是　　　　. 

答案　

9.(xx江苏淮安、宿迁期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0)均在圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2外,且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP,则半径r的值为　　　　. 

答案　4

10.(苏教必2,二,2,5,变式)若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为　　　　. 

答案　2

11.(xx江苏淮阴中学第一学期期中,13)如图,已知点A为圆O:x2+y2=9与圆C:(x-5)2+y2=16在第一象限内的交点,过点A的直线l被圆O和圆C所截得的弦分别为NA,MA(M,N不重合),若|NA|=|MA|,则直线l的斜率是　　　　. 

答案　

B组　xx模拟·提升题组

(满分:45分　时间:25分钟)

一、填空题(每小题5分,共15分)

1.(xx江苏天一中学调研)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为　　　　. 

答案　5

2.(xx江苏泰州中学模拟,11)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点A(0,-r),过点A的直线l交圆于另一点B,交x轴于点C,若OC=BC,则直线的斜率为　　　　. 

答案　±

3.(xx江苏南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+y2=2上一动点,则的最大值是　　　　. 

答案　2

二、解答题(共30分)

4.(xx江苏海安高级中学阶段测试)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:x+y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.

(1)若a=8,切点T(,-1),求直线AP的方程;

(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.

解析　(1)易知A(-2,0).由题意,得直线PT切圆O于点T,则OT⊥PT,又切点T的坐标为(,-1),

所以kOT=-,kPT=-=,

故直线PT的方程为y+1=(x-),即x-y-4=0.

由解得即P(2,2),

易知A(-2,0),

所以直线AP的斜率k==,

故直线AP的方程为y=(x+2),

即x-(+1)y+2=0.

(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),

即3x2+3y2-4x-20=0,

∴满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆,且方程为+y2=,

因为点P在直线l:x+y-a=0上,

所以圆心到直线l的距离d=≤,即≤,

解得≤a≤.

5.(xx江苏扬州期中,17)已知圆M:x2+y2-2x+a=0.

(1)若a=-8,过点P(4,5)作圆M的切线,求该切线方程;

(2)若AB为圆M的任意一条直径,且·=-6(其中O为坐标原点),求圆M的半径.

解析　(1)若a=-8,则圆M:(x-1)2+y2=9,圆心M(1,0),半径为3.

若切线斜率不存在,圆心M到直线x=4的距离为3,所以直线x=4为圆M的一条切线;

若切线斜率存在,设切线方程为y-5=k(x-4),化简为kx-y-4k+5=0,则圆心到直线的距离d==3,解得:k=.

所以切线方程为x=4或8x-15y+43=0.

(2)圆M的方程可化为(x-1)2+y2=1-a,∴圆心M(1,0),圆的半径r=(a<1),∴OM=1,

因为AB为圆M的任意一条直径,所以=-,且||=||=r,所以·=(+)·(+)=(-)·(+)=-=1-r2,

又因为·=-6,所以1-r2=-6,解得r=,所以圆M的半径为.

C组　xx模拟·方法题组

方法1　直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法

1.(xx江苏连云港期中)已知方程x2+-=0有两个不等实根a和b,那么过点A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是　　　　. 

答案　相切

方法2　直线与圆、圆与圆位置关系的应用

2.(xx苏锡常镇四市教学情况调研(一),10)在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限内,且=2,则直线l的方程为　　　　. 

答案　y=x-1

方法3　解决与圆有关的切线和弦长问题的方法

3.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.

(1)试证明:无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.

解析　(1)证明:由

消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,

因为Δ=(4k-2)2+28(k2+1)>0,

所以无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.

(2)设直线与圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,

则直线l被圆C截得的弦长

AB=|x1-x2|

=2=2,

令t=,则tk2-4k+(t-3)=0,

当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R,

所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,

故t=的最大值为4,此时AB最小,最小值为2.

即直线l被圆C截得的最短弦长为2.

4.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求过点M的圆的切线方程;

(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;

(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.

解析　(1)由题知圆心为(1,2),半径r=2,

当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.

由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,直线x=3与圆相切.

当过点M的直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),

即kx-y+1-3k=0.

由题意知=2,解得k=.

∴方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.

故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.

(2)由题意有=2,解得a=0或a=.

(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,

∴+=4,解得a=-.

D组　xx模拟·突破题组

1.(xx南通第三次调研考试)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在一点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是　　　　. 

答案　[1,3+2]

2.(xx江苏如东高级中学检测)已知圆O:x2+y2=4.

(1)直线l1:x+y-2=0与圆O相交于A,B两点,求弦AB的长度;

(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问m·n是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

解析　(1)由于圆心(0,0)到直线l1:x+y-2=0的距离d==,圆的半径r=2,

所以|AB|=2=2.

(2)由于M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,M,M1关于原点对称,M,M2关于x轴对称,则M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1),且+=4,+=4.

直线PM1的方程为=,

令x=0,得y=m=.

直线PM2的方程为=,

令x=0,得y=n=.

m·n===4.

显然mn为定值,且定值为4.

3.(xx江苏丹阳高级中学创新班练习)定义直线关于圆的圆心距单位λ:圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有:当直线与圆相交时,圆心距单位λ小于1;当直线与圆相切时,圆心距单位λ等于1;当直线与圆相离时,圆心距单位λ大于1.

(1)设圆C0:x2+y2=1,求过点P(2,0),且关于圆C0的圆心距单位λ=的直线方程;

(2)若圆C与x轴相切于点A(3,0),且直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=,求圆C的方程.

解析　(1)由题意可得出圆C0的圆心到过点P(2,0)的直线的距离为,易得所求直线的方程为y=±(x-2).

(2)由题意可设所求圆的方程为(x-3)2+(y-b)2=b2,因为直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=,所以圆心到直线的距离为|b|,即|b|=⇒b=1或-3,所以所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y+3)2=9.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/892fe1cf571252d380eb6294dd88d0d232d43c3a.html