1. 行列式共有
个元素，展开后有
项，可分解为
行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、和
的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设行列式
：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为
，则
；
将顺时针或逆时针旋转
，所得行列式为
，则
；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为
，则
；
将主副角线翻转后，所得行列式为
，则
；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
④、和
：副对角元素的乘积
；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于阶行列式
，恒有：
，其中
为
阶主子式；
7. 证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
8. 是
阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组
有非零解；
，
总有唯一解；
与
等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是
的一组基；
是
中某两组基的过渡矩阵；
9. 对于阶矩阵
：
无条件恒成立；
10.
11. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、
可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
13. 一个矩阵
，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、
，若
；
14. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
15. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
1、 若，则
可逆，且
；
②、对矩阵做初等行变化，当
变为
时，
就变成
，即：
；
③、求解线形方程组：对于个未知数
个方程
，如果
，则
可逆，且
；
16. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵
，
乘
的各行元素；右乘，
乘
的各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且
，例如：
；
④、倍乘某行或某列，符号，且
，例如：
；
⑤、倍加某行或某列，符号,且
，如：
；
17. 矩阵秩的基本性质：
①、；
②、；
③、若，则
；
④、若、
可逆，则
；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是
矩阵，
是
矩阵，且
，则：（※）
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组
解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若、
均为
阶方阵，则
；
18. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有
项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质：；
③、利用特征值和相似对角化：
19. 伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：；
②、伴随矩阵的特征值：；
③、、
20. 关于矩阵秩的描述：
①、，
中有
阶子式不为0，
阶子式全部为0；（两句话）
②、，
中有
阶子式全部为0；
③、，
中有
阶子式不为0；
21. 线性方程组：，其中
为
矩阵，则：
①、与方程的个数相同，即方程组
有
个方程；
②、与方程组得未知数个数相同，方程组
为
元方程；
22. 线性方程组的求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
23. 由个未知数
个方程的方程组构成
元线性方程：
①、；
②、（向量方程，
为
矩阵，
个方程，
个未知数）
③、（全部按列分块，其中
）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（
为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
24. 个
维列向量所组成的向量组
：
构成
矩阵
；
个
维行向量所组成的向量组
：
构成
矩阵
；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
25. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
26. 矩阵与
行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
和
同解；(
例14)
27. ；(
例15)
28. 维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关
；
②、线性相关
坐标成比例或共线（平行）；
③、线性相关
共面；
29. 线性相关与无关的两套定理：
若线性相关，则
必线性相关；
若线性无关，则
必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若维向量组
的每个向量上添上
个分量，构成
维向量组
：
若线性无关，则
也线性无关；反之若
线性相关，则
也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
30. 向量组（个数为
）能由向量组
（个数为
）线性表示，且
线性无关，则
；
向量组能由向量组
线性表示，则
；
向量组能由向量组
线性表示
有解；
向量组能由向量组
等价
31. 方阵可逆
存在有限个初等矩阵
，使
；
①、矩阵行等价：（左乘，
可逆）
与
同解
②、矩阵列等价：（右乘，
可逆）；
③、矩阵等价：（
、
可逆）；
32. 对于矩阵与
：
①、若与
行等价，则
与
的行秩相等；
②、若与
行等价，则
与
同解，且
与
的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵的行秩等于列秩；
33. 若，则：
①、的列向量组能由
的列向量组线性表示，
为系数矩阵；
②、的行向量组能由
的行向量组线性表示，
为系数矩阵；（转置）
34. 齐次方程组的解一定是
的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解
只有零解；
②、 有非零解
一定存在非零解；
35. 设向量组可由向量组
线性表示为：
（
）
其中为
，且
线性无关，则
组线性无关
；（
与
的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：；充分性：反证法）
注：当时，
为方阵，可当作定理使用；
36. ①、对矩阵，存在
，
、
的列向量线性无关；
②、对矩阵，存在
，
、
的行向量线性无关；
37. 线性相关
存在一组不全为0的数
，使得
成立；（定义）
有非零解，即
有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
38. 设的矩阵
的秩为
，则
元齐次线性方程组
的解集
的秩为：
；
39. 若为
的一个解，
为
的一个基础解系，则
线性无关；
40. 正交矩阵或
（定义），性质：
①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即
；
②、若为正交矩阵，则
也为正交阵，且
；
③、若、
正交阵，则
也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
41. 施密特正交化：
；
;
42. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
43. ①、与
等价
经过初等变换得到
；
，
、
可逆；
，
、
同型；
②、与
合同
，其中可逆；
与
有相同的正、负惯性指数；
③、与
相似
；
44. 相似一定合同、合同未必相似；
若为正交矩阵，则
，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
45. 为对称阵，则
为二次型矩阵；
46. 元二次型
为正定：
的正惯性指数为
；
与
合同，即存在可逆矩阵
，使
；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(必要条件)
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/88299d24f424ccbff121dd36a32d7375a417c6e5.html
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