弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量MPa, MPa, MPa,则主应力150MPa, 0MPa, 。
8、已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa,则主应力512 MPa, -312 MPa, -37°57′。
9、已知一点处的应力分量, MPa, MPa, MPa,则主应力1052 MPa, -2052 MPa, -82°32′。
10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中,单元的形函数Ni在i结点Ni=1;在其他结点Ni=0及∑Ni=1。
20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。
二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在错误命题后的括号内打“×”)
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。(√)
5、如果某一问题中,,只存在平面应力分量,,,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应力问题。(√)
6、如果某一问题中,,只存在平面应变分量,,,且它们不沿z方向变化,仅为x,y的函数,此问题是平面应变问题。(√)
9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。(√)
10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全确定。(√)
14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。(√)
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。(√ )
三、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
(1),,;
(2),,;
其中,A,B,C,D,E,F为常数。
解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程;(2)在区域内的相容方程;(3)在边界上的应力边界条件;(4)对于多连体的位移单值条件。
(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。
(2)为了满足相容方程,其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量,,,体力不计,Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。
解:将所给应力分量代入平衡微分方程
得
即
由x,y的任意性,得
由此解得,,,
3、已知应力分量,,,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解:将已知应力分量,,,代入平衡微分方程
可知,已知应力分量,,一般不满足平衡微分方程,只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程:
将已知应力分量,,代入上式,可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
(1),,;
(2),,;
(3),,;
其中,A,B,C,D为常数。
解:应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件,即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知:
(1)相容。
(2)(1分);这组应力分量若存在,则须满足:B=0,2A=C。
(3)0=C;这组应力分量若存在,则须满足:C=0,则,,(1分)。
5、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。
解:将应力函数代入相容方程
可知,所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
,,
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:
上边,,,,,;
下边,,,,,;
左边,,,,,;
右边,,,,,。
可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。
6、证明应力函数能满足相容方程,并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计,)。
解:将应力函数代入相容方程
可知,所给应力函数能满足相容方程。
由于不计体力,对应的应力分量为
,,
对于图示的矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,根据边界条件,上下左右四个边上的面力分别为:
上边,,,,,;
下边,,,,,;
左边,,,,,;
右边,,,,,。
可见,在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此,应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。
解:根据结构的特点和受力情况,可以假定纵向纤维互不挤压,即设。由此可知
将上式对y积分两次,可得如下应力函数表达式
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
这是y的线性方程,但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它),可见它的系数和自由项都应该等于零,即
,
这两个方程要求
,
代入应力函数表达式,并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后,便得
对应应力分量为
以上常数可以根据边界条件确定。
左边,,,,沿y方向无面力,所以有
右边,,,,沿y方向的面力为q,所以有
上边,,,,没有水平面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即
将的表达式代入,并考虑到C=0,则有
而自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即
,
将的表达式代入,则有
由此可得
,,,,
应力分量为
, ,
虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件,但按照圣维南原理,在稍远离y=0处这一结果应是适用的。
8、证明:如果体力分量虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为,,其中V是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示为,,,,试导出相应的相容方程。
证明:在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时,应力分量,,应当满足平衡微分方程
(1分)
还应满足相容方程
(对于平面应力问题)
(对于平面应变问题)
并在边界上满足应力边界条件(1分)。对于多连体,有时还必须考虑位移单值条件。
首先考察平衡微分方程。将其改写为
这是一个齐次微分方程组。为了求得通解,将其中第一个方程改写为
根据微分方程理论,一定存在某一函数A(x,y),使得
,
同样,将第二个方程改写为
(1分)
可见也一定存在某一函数B(x,y),使得
,
由此得
因而又一定存在某一函数,使得
,
代入以上各式,得应力分量
,,
为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程,得
简写为
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得
简写为
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为,试用纯三次的应力函数求解。
解:纯三次的应力函数为
相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。
上边,,,,没有水平面力,所以有
对上端面的任意x值都应成立,可见
同时,该边界上没有竖直面力,所以有
对上端面的任意x值都应成立,可见
因此,应力分量可以简化为
,,
斜面,,,,没有面力,所以有
由第一个方程,得
对斜面的任意x值都应成立,这就要求
由第二个方程,得
对斜面的任意x值都应成立,这就要求
(1分)
由此解得
(1分),
从而应力分量为
, ,
设三角形悬臂梁的长为l,高为h,则。根据力的平衡,固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为。因此,所求在这部分边界上合成的主矢应为零,应当合成为反力。
可见,所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
10、设有楔形体如图所示,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为,液体的密度为,试求应力分量。
解:采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点,每一个应力分量都将由两部分组成:一部分由重力引起,应当与成正比(g是重力加速度);另一部分由液体压力引起,应当与成正比。此外,每一部分还与,x,y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2,和的量纲是L-2MT-2,是量纲一的
量,而x和y的量纲是L,因此,如果应力分量具有多项式的解答,那么它们的表达式只可能是,,,四项的组合,而其中的A,B,C,D是量纲一的量,只与有关。这就是说,各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。
其次,由应力函数与应力分量的关系式可知,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应该是x和y纯三次式,因此,假设
相应的应力分量表达式为
, ,
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察,如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。
左面,,,,作用有水平面力,所以有
对左面的任意y值都应成立,可见
同时,该边界上没有竖直面力,所以有
对左面的任意y值都应成立,可见
因此,应力分量可以简化为
,,
斜面,,,,没有面力,所以有
由第一个方程,得
对斜面的任意y值都应成立,这就要求
由第二个方程,得
对斜面的任意x值都应成立,这就要求
由此解得
,
从而应力分量为
, ,
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
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