一元三次方程的解法
先把方程化为
的形式：
令，则原式变成
如此一来二次项就不見了，化成，其中
，
。
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对方程直接利用卡尔丹诺公式：
其中。
是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。
附：方程 （2）求根公式的推导过程：
不妨设p、q均不为零，令（3）
代入（2）得， （4）
选择u、v，使得，即
（5）
代入（4）得， （6）
将（5）式两边立方得， （7）
联立（6）、（7）两式，得关于、
的方程组：
于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程的两根
、
。
设，
，
，
又记的一个立方根为
，则另两个立方根为
，
，其中
、
为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若，即
，则
、
均为实数，可求得
，
。
取，
，
在，
组成的九个数中，有且只有下面三组满足
，
即、
；
、
；
、
，也就是满足
，
于是方程（2）的根为，
，
，
这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根
，
，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式
及
都是在实数意义下的。
2）若，即D＝0时，可求得
。取
，
同理，可求得
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。
∙ 3）若，即D＜0时，因为
，∴ p＜0，
，
则、
均为虚数，求出
、
，并用三角式表示，就有
，
，
其中T，都是实数，
∴
同理，
其中，且
取，
，
则
显然，当且仅当取，
；
，
；
，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，
，
，
具体表示出来就为：
其中
∴ 当时，方程（2）有三个实根。
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：
令，
，
，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
，
，
3）当时，方程有三个实根，
，
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