四川省成都经开区实验中学2018届高三模拟考试（一）数学（理）试卷（附答案）

成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（一）

数学（理工类）

（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）

注意事项：

1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交；

第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合word/media/image2_1.png，则word/media/image3_1.png

A word/media/image4_1.png B word/media/image5_1.png C word/media/image6_1.png D word/media/image7_1.png

2.在复平面内，复数word/media/image8_1.png对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

3.在矩形word/media/image9_1.png中，word/media/image10_1.png，在word/media/image11_1.png边上任取一点word/media/image12_1.png，word/media/image13_1.png的最大边是word/media/image14_1.png的概率是

A．word/media/image15_1.png B． word/media/image16_1.png C．word/media/image17_1.png D．word/media/image18_1.png

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为

A．word/media/image20_1.png B．word/media/image21_1.png C．word/media/image22_1.png D．word/media/image23_1.png

5.设实数word/media/image24_1.png满足word/media/image25_1.png，则word/media/image26_1.png的取值范围是

A. word/media/image27_1.png B. word/media/image28_1.png C. word/media/image29_1.png D. word/media/image30_1.png

6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值等于

A.1 B. word/media/image31.gif C. word/media/image32.gif D. word/media/image33.gif

7．已知数列{word/media/image35_1.png}满足word/media/image36_1.png，且word/media/image37_1.png，

则word/media/image38_1.png的值是

A word/media/image39_1.png B word/media/image40_1.png C 5 D word/media/image41_1.png

8.下列命题中，真命题是

A．word/media/image42_1.png，有word/media/image43_1.png B．word/media/image44_1.pngword/media/image45_1.png

C．函数word/media/image46_1.png有两个零点 D．word/media/image47_1.png，word/media/image48_1.png是word/media/image49_1.png的充分不必要条件

9.已知word/media/image50_1.png的外接圆的圆心为O，半径为2，且word/media/image51_1.png，则向量word/media/image52_1.png在向量word/media/image53_1.png方向上的投影为

A. word/media/image54_1.png B.word/media/image55_1.png C.word/media/image56_1.png D.word/media/image57_1.png

10.对定义在word/media/image58_1.png上，并且同时满足以下两个条件的函数word/media/image59_1.png称为优函数，① 对任意word/media/image60_1.png，恒有word/media/image61_1.png；② 当word/media/image62_1.png时，总有word/media/image63_1.png成立，则下列函数不是优函数的是

A．word/media/image64_1.png B． word/media/image65_1.png

C．word/media/image66_1.png D．word/media/image67_1.png

11．将函数word/media/image68_1.png的图象向左平移word/media/image69_1.png个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则word/media/image70_1.png的最小值为

A．word/media/image71_1.png B．word/media/image72_1.png C． word/media/image73_1.png D．word/media/image74_1.png

12．已知word/media/image75_1.png是双曲线word/media/image76_1.png：word/media/image77_1.png的左、右焦点，过点word/media/image78_1.png的直线word/media/image79_1.png与word/media/image80_1.png的左支交于word/media/image81_1.png两点，若word/media/image82_1.png，且word/media/image83_1.png，则word/media/image84_1.png的离心率是

A．word/media/image85_1.png B． word/media/image86_1.png C． word/media/image87_1.png D．word/media/image88_1.png

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分

13.在直角三角形word/media/image89_1.png中，word/media/image90_1.png，若word/media/image91_1.png，则word/media/image92_1.png ．

14.已知双曲线word/media/image93_1.png的离心率为word/media/image94_1.png，则实数word/media/image95_1.png的值为 ．

15．设word/media/image96_1.png为数列word/media/image97_1.png的前word/media/image98_1.png项之积，即word/media/image99_1.png，若word/media/image100_1.png，当word/media/image101_1.png时，word/media/image102_1.png的值为 .

16．对于函数word/media/image103_1.png，有如下三个命题：

①word/media/image104_1.png的单调递减区间为word/media/image105_1.png

②word/media/image104_1.png的值域为word/media/image106_1.png

③若word/media/image107_1.png，则方程word/media/image108_1.png在区间word/media/image109_1.png内有3个不相等的实根

其中，真命题是　　　　．（将真命题的序号填写在横线上）

三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在word/media/image110_1.png中，角word/media/image111_1.png、word/media/image112_1.png、word/media/image113_1.png的对边分别为word/media/image114_1.png、word/media/image115_1.png、word/media/image116_1.png，word/media/image117_1.png.

（Ⅰ）求角word/media/image111_1.png的大小；

（Ⅱ）若word/media/image118_1.png，word/media/image119_1.png，求word/media/image116_1.png的值．

18.(本题满分12分)

大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：

（Ⅰ）设word/media/image121_1.png表示在这块地种植此水果一季的利润，求word/media/image122_1.png的分布列及期望；

（Ⅱ）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．

19.(本题满分12分)

如图，在梯形ABCD中， AB∥CD, AD＝DC＝CB＝1, ∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD, BF＝1.

(Ⅰ)求证：AD⊥平面BFED；

(Ⅱ)点P在线段FE上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．

20.（本小题满分12分）

给定椭圆word/media/image124_1.png：word/media/image125_1.png，称圆word/media/image126_1.png为椭圆word/media/image124_1.png的“伴随圆”，已知椭圆word/media/image124_1.png的短轴长为2，离心率为word/media/image127_1.png．

（Ⅰ）求椭圆word/media/image124_1.png的方程；

（Ⅱ）若直线word/media/image128_1.png与椭圆word/media/image124_1.png交于word/media/image129_1.png、word/media/image130_1.png两点，与其“伴随圆”交于word/media/image124_1.png、word/media/image131_1.png两点，

当word/media/image132_1.png时，求word/media/image133_1.png面积的最大值．

21.（本小题满分12分）

已知函数word/media/image134_1.png其中word/media/image135_1.png是自然对数的底数，word/media/image136_1.png.

（1）当word/media/image137_1.png时，解不等式word/media/image138_1.png；

（2）若word/media/image139_1.png在[－1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；

（3）当word/media/image140_1.png时，求整数word/media/image141_1.png的所有可能的值，使方程word/media/image142_1.png在word/media/image143_1.png上有解．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为word/media/image144_1.png（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：word/media/image145_1.png．

（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；

（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；

（Ⅲ）设word/media/image146_1.png是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数word/media/image147_1.png.

（1）求不等式word/media/image148_1.png的解集；

（2）若不等式word/media/image149_1.png的解集是word/media/image150_1.png，求正整数word/media/image151_1.png的最小值.

成都经开区实验中学2018届高考模拟考试试题（一）

数学（理工类）参考答案

1—5 BBDBC 6—10 CBDBD 11—12 AD

13.18 14. 2 15．10 16.①②

17. 解：（Ⅰ）由word/media/image117_1.png，得word/media/image152_1.png. …3分

∴word/media/image153_1.png.

∵word/media/image154_1.png， ∴word/media/image155_1.png. ……6分

（Ⅱ）由正弦定理,得word/media/image156_1.png. ……9分

∵word/media/image155_1.png, word/media/image157_1.png,

∴word/media/image158_1.png. ∴word/media/image159_1.png. ……11分

∴word/media/image160_1.png. ……12分

18.解：（Ⅰ）设word/media/image161_1.png表示事件“水果产量为word/media/image162_1.png”，word/media/image163_1.png表示事件“水果市场价格为word/media/image164_1.png元/word/media/image165_1.png”，则word/media/image166_1.png，word/media/image167_1.png．

∵利润word/media/image168_1.png产量word/media/image169_1.png市场价格成本，

∴word/media/image170_1.png的所有可能取值为：word/media/image171_1.png，word/media/image172_1.png，word/media/image173_1.png，word/media/image174_1.png．

word/media/image175_1.png；word/media/image176_1.png；

word/media/image177_1.png；word/media/image178_1.png．　

∴word/media/image179_1.png的分布列为：

word/media/image182_1.png（万元）．

（Ⅱ）设word/media/image183_1.png表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则word/media/image184_1.png．

19.解析：(Ⅰ)在梯形ABCD中，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，

∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∠BDC＝∠CBD＝30°，

∴∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝90°，即AD⊥BD.

又平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD,

∴AD⊥平面BFED. (5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可建立分别以直线DA、DB、DE为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示．

易知BD＝word/media/image185.gif＝word/media/image186.gif，

令EP＝λ(0≤λ≤word/media/image186.gif)，则Dword/media/image187.gif，Aword/media/image188.gif，Bword/media/image189.gif，Pword/media/image190.gif，

∴word/media/image191.gif＝word/media/image192.gif，word/media/image193.gif＝word/media/image194.gif.

设n1＝word/media/image195.gif为平面PAB的一个法向量，由word/media/image196.gif得word/media/image197.gif

取y＝1，得n1＝word/media/image198.gif，(9分)

∵n2＝word/media/image200.gif是平面ADE的一个法向量，

∴cos θ＝word/media/image201.gif＝word/media/image202.gif＝word/media/image203.gif.(11分)

∵0≤λ≤word/media/image186.gif， ∴当λ＝word/media/image186.gif时， cos θ有最大值word/media/image204.gif， ∴θ的最小值为word/media/image205.gif. (12分)

20．解：（Ⅰ）由题意得，word/media/image206_1.png，又∵b=1，∴a2=3，

∴椭圆C的方程为word/media/image207_1.png ．．．．．．．．4分

（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，

①当CD⊥x轴时，由word/media/image132_1.png，得|AB|=．

②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．．．6分

设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．

∴x1+x2=，x1x2=．

当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，

=（1+k2）[﹣]，=，．．．．．．8分

=3+，=3+，≤3+=4，

当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．．．．．．．．．10分

当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，

此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．．．．．．．．．．．．．12分

21. 解(1)因为ex>0，所以不等式f(x)>0， 即ax2＋x>0.

又因为a<0，所以不等式可化为x<0. 所以不等式f(x)>0的解集为.……2分

(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x)ex ＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]ex，

①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；…………4分

②当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，

因为Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，

所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，

不妨设x1>x2， 因此f(x)有极大值又有极小值．

若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1,1)内有极值点，故f(x)在[－1,1]上不单调．…6分

若a<0，可知x1>0>x2.

因为g(0)＝1>0，且g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1,1]上单调，则必须满足word/media/image226_1.png ……8分

(3)当a＝0时， 方程为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解．

所以原方程等价于ex－－1＝0，令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，[所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上．所以整数k的所有值为－3,1. ……………12分

22.（本小题满分10分）

解析：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是word/media/image227_1.png．

所以曲线C1表示以word/media/image228_1.png为焦点，中心为原点的椭圆．…………………… 3分

同理曲线C2的方程是word/media/image229_1.png．

所以曲线C2表示以word/media/image230_1.png为圆心，半径是1的圆． ……………………… 5分

（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得word/media/image231_1.png．

消去x，得word/media/image232_1.png，解得word/media/image233_1.png或word/media/image234_1.png．

由图形对称性知公共点的个数为2． ……………………………………… 8分

（Ⅲ）a + 2b的取值范围是word/media/image235_1.png． ……………………… 10分

23.（本小题满分10分）

解析：（1）不等式word/media/image236_1.png，解得word/media/image237_1.png，所以解集是word/media/image238_1.png.

（2）word/media/image239_1.pngword/media/image240_1.png，注意到word/media/image151_1.png是正整数，有word/media/image241_1.png，

所以word/media/image242_1.png，令word/media/image243_1.png，解得word/media/image244_1.png，所以正整数word/media/image151_1.png的最小值是word/media/image245_1.png.

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