高中数学必修一知识点总结

高一数学知识总结

必修一

一、集合

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上最高的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

（3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆ 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如：{a,b,c……}

(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

(3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

(4)Venn图: 韦恩图（文氏图）是用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：8222227339e31b091463424292a35628.png有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作Aword/media/image6_1.pngB或Bword/media/image7_1.pngA

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A A

②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 A B, B C ,那么 A C

④ 如果A B 同时 B A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

含有n个元素的集合的子集的共有9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png个；真子集共有516cda5565b12fe41c07dee6ec59774e.png个：非空真子集共有7a072857c649cfb41b1ff2e322a1e610.png.

集合的基本运算

重点习题：

注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题word/media/image48_1.png

1. 求方程add599ea297cdba7c4c57d9a1a3efed4.png的解集；

2.设c1e0f6f5857dc7c2dfa1a9dd0f3ea734.png，ddba437aa0ad1567bb8ce364567162b1.png，已知6f396d77b41378647745cc36ed229441.png，则实数5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png 。

3.设关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程df51c80d63b6d57bcd1cdec940605d64.png，ac49a84d837af473b111b44bcf806065.png的解集分别为A，B，若9d57e7cd272b47695ea5f49823c44230.png，b843f7c36c325ef59a16394d2fd3ce5e.png，求f822943e0c6b5002a4eb16d73ae5e391.png的值。

4.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又Af3cef465dc643930d97faf93729b90dc.pngB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.

5.设8263d534ad161bca0a1c9852d56e1036.png。若7b5d60bd7e57a286e6a91e3155816b36.png，2c7d1b4623ba716ed663576e882608f9.png求p,q的值。

6.设9854d9ec03ea6ccd42370874f0d482cc.png，640a9ab779766413301139421ee9c752.pngB

（１）若080128272e707ca3de1aeb48246dc513.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值；

（２）若4860fdd62d4926fb9ca11c1801fb0e81.png，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值．

7.某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？

二、函数

（一）函数定义域、值域求法综合

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称c0b2e87f490dfd60c2852b8590c0e618.png为从集合A到集合B的一个函数（function），记作56da80e8a4e735449f1ba3e44856153c.png，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合944a967b7a180ea8d5d0834e1335065b.png叫做函数的值域(range)。

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

（2）定义域是自变量x的取值范围；

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x2(x924bf89d1707e331ce09cc809a0ec8f6.pngy=x2(x>0)； y=1与y=x0

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。（求值域通常用观察法、配方法、代换法）

定义域的求法：

当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

函数的三种表示方法

（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：

如b13fd9e8e86ac09145c16d7a758cf39a.png等。

（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：

如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）.

（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略

1．函数最大值与最小值的含义

一般地，设函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的定义域为dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png，如果存在实数69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png满足：

（1）对于任意的c200511c67aadea6bc1b1f1196ea2b11.png，都有b0be646fcc48e43b26ae3701b1c6a353.png；

（2）存在f053cc1550f6afc7ab53dc7d7e1e3586.png，使得55d83566b861eefb9b5e219c7da0de04.png。

那么，我们称69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的最大值（maximum value）.

2．二次函数在给定区间上的最值

①利用二次函数的性质求最值

对二次函数03680c9144025258b26b8b0d84f8253c.png来说，若给定区间是ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png，则当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，函数有最小值是33be23f266b55151e721592541c15f43.png，当cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png时，函数有最大值是33be23f266b55151e721592541c15f43.png；若给定区间是2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。

②利用图像求函数的最值

③利用函数的单调性求最值

3.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）。（图像关于y轴对称）

word/media/image90.gif4.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。（图像关于原点对称）

注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；

（三）函数解析式的表达

求函数解析式的常用方法有：

1、待定系数法

例1、（1）已知二次函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png满足dc2cf74e971e5291da39519a97b044db.png，65c7d5a219e9d64922fed8e1cbe7f0c3.png，图象过原点，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png；

（2）已知二次函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，其图象的顶点是16c3378f22e53746bd3528c2f9b367e3.png，且经过原点，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png．

解：（1）由题意设 1c0608dbfe281f9c9e4c4a6b63317d40.png，

　∵dc2cf74e971e5291da39519a97b044db.png，65c7d5a219e9d64922fed8e1cbe7f0c3.png，且图象过原点，

　∴e73a136c0b4d3ee603e571ba04d8b662.png ∴f3876e2489898cd5c4b8257b9e2636f6.png

∴84ad5f2c894591daff37b4a150021e3b.png．

（2）由题意设 98931cce413f8eeaf5110ab898742840.png，

又∵图象经过原点，

∴e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png，∴e2f0553d358b55e3ef51c55db1a0fd50.png 得efb2883242a9cf0a3be9f72d5c18f644.png，

∴72fc0ff94f232cfd54b37937dea7b87a.png．

说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；

（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。

2、代入法

例2、根据已知条件，求函数表达式．

（1）已知832c4f79d174f023423210d6106c232c.png，求f540978fdc1d030e45ddf9258a443a6b.png．

（2）已知62caf988c9d79318dbb19c2c37b226c9.png，081b31ae5426b75c21dd224b75c3cd25.png，求2b71afbb39434a94a1dbee0d85b8ba83.png和b6b256ffe0a66f87c821c68b1e67258e.png.

解：（1）∵832c4f79d174f023423210d6106c232c.png

∴f098e28714ae12871d46a424476e2618.png．

（2）∵62caf988c9d79318dbb19c2c37b226c9.png，081b31ae5426b75c21dd224b75c3cd25.png

∴29418ed8e4cc7f049a68b9d2003ba5d8.png

∴59b7b9af1a597038074bc31c503f441f.png

说明：已知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png求2b71afbb39434a94a1dbee0d85b8ba83.png，常用“代入法”.

基本方法：将函数f(x)中的x用g(x)来代替，化简得函数表达式．

3、配凑法与换元法：

例3、（1）已知217efe2202967f6ea3dbea0fedfd5e57.png，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png.

（2）已知50ea9505834ac8207c47f66af879e1a4.png，求f540978fdc1d030e45ddf9258a443a6b.png．

解：（1）法一配凑法：

∵c703d4c6108e22258f33fb4a2d6887e3.png89490648fa3e36b4dd6451914d8193db.pngca059ee7d775b3c9172c9c177f0fbed8.png

∴ 832c4f79d174f023423210d6106c232c.png．

法二换元法：

令ca1d9b9c28c534a03ef02ffa161464f7.png，则54f64630f9138edf832f2d67959131a1.png，

74e3a909480ac1fdd9d4d35737853d70.png

∴ 832c4f79d174f023423210d6106c232c.png．

（2）设fbcf463a38d47761daa2243ed6caf196.png，则1a03d0f7242823c05e0f16ad19f85201.png=24e05260e7c4e51dfd749a95dfb109f8.png，60e6d02945e35586aa7b03327eeac0ff.png

于是1e3bc008a8fbeb3ddec9f2811a088e56.png

∴589823c5a9a5f7cc6b441cc8086691a6.png

∴14c04715e3293d7843da0544ce41e967.png

即79fed9e970a44b359cb04d03ac7d56f6.png.

说明：已知2b71afbb39434a94a1dbee0d85b8ba83.png求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．

4、构造方程法

例3、已知f(x)满足234172e7d8c8e51a10b78bff29e00d54.png，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png.

解：∵234172e7d8c8e51a10b78bff29e00d54.png --------①

将①中9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png换成afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png得

0f5b573732349993df89e2ad5eccbecf.png -------②

①×2-②得　3110ee406491b2206baa8bc70bc67fb4.png

∴5a3de6c6f825948cece7312899c00df2.png

说明：已知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png与ba2ec4b8f697944f5d54b84aee95501e.png，或50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png与2fae9c2e341a45ecec75b67205d5e0c7.png之间的关系式，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去ba2ec4b8f697944f5d54b84aee95501e.png或2fae9c2e341a45ecec75b67205d5e0c7.png，解出50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png.

（三）恒成立问题的求解策略

主要讨论二次函数问题

（四）反函数的几种题型及方法

反函数的定义

一般地，设函数92d5a2be4dfbbdc90b9085c08a752c0e.png的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x

表示出，得到x=6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png(y) (y3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngC)叫做函数92d5a2be4dfbbdc90b9085c08a752c0e.png的反函数，记作dc3915b896516e6125d3ef897ef82eca.png,习惯上改写成9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png

1.求反函数的基本步骤：

一求值域：求原函数的值域

二反解：视y为常量，从f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png中解出唯一表达式fe17f045c2f2a365df4acfd313929b65.png，

三对换：将9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与415290769594460e2e485922904f345d.png互换，得2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png，并注明定义域。

2.反函数2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png与原函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的关系：

性质1、2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png的定义域、值域分别为f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的值域、定义域。

性质2、若f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png存在反函数，且f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png为奇函数，则2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png也为奇函数。

性质3、若f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png为单调函数，则2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png同f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png有相同的单调性。

性质4、f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png和2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png在同一直角坐标系中，图像关于5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png对称。

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png来说，不一定有反函数，如ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png,f8dec5f2e96e19844046697a5ff0c69d.png有反函数是570201776491d89a9559514065e192fe.png

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

从映射的定义可知，函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png是定义域A到值域C的映射，而它的反函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png是集合C到集合A的映射，因此，函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的定义域正好是它的反函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png的值域；函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的值域正好是它的反函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png的定义域c49c7a6185c14289a7096620af3931f0.png（如下表）：

探讨3：9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png的反函数是？

若函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png有反函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png，那么函数9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png的反函数就是7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png，这就是说，函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png与9e62b2cd5797e11de86d3e9a0439395c.png互为反函数word/media/image48_1.png

例1：已知11a1b6753007f5b893eb9d235cf2922c.png，求19b0dc5e0dc932a5587b7c6acedf6165.png （对数函数形式）

解：ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的值域为R, 令b696389ce34fa006d7f9564ad9e90d68.png，则47b6079b560b6eb41157832e0df45251.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png db75e969a39ee60e3ea03fa6b4118779.png

b94e88f45bb697f900a094eb6466aff1.png

例2：已知e0fa006a47c536af8aa022d1163a26c2.png求19b0dc5e0dc932a5587b7c6acedf6165.png （指数函数形式）

解：令097786cde571f9283bbb9757867fce69.png，415290769594460e2e485922904f345d.png的值域为a97f0336819045f65f6d703a1df188f6.png，19ff4c39ebd4f2eceb0073db7aea2b36.pngc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png84f4c12d8014e3081fd5de43aa2aecc3.png3678c880f48a260828a45290bd46b0cf.png

6451b48c7c9c7ace7af21be36d599505.png

例3：已知578d0b2a412e37761df5025187697868.png，求19b0dc5e0dc932a5587b7c6acedf6165.png （根式形式）

解：令df017c68941cacd6074e7aab474479f8.pngddc88eee5a315dc00d744f6550bd22fa.png 6edb103caa105883f2eb848c30cc2fba.png e77060d10953f059df582f4f6a235e4e.png 2d4a24fe06a279a31324c527c68c7436.png aca0af2de7b970f71e32ac0529469a2f.png

b9a5661e35404c06ccb744ad3d4e73df.png 8e8180ae0347f041347281fffd9c1876.png 078cd445c37e9a58e673f07457d428dd.png

例4：求a2b487328b65bc072907c9b260ffa44f.png的反函数 （分式形式）

解：由题意知，51017a2fdc520f68de300afe306a9fd9.png，反解为9cf711c7f54135fa91ffd87dfbc0b5c2.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原函数的反函数为622a43183b17dcfe00aff07196ae3ed5.png

例5、已知1e5e34487f1ea8b7a8b04dca5124003d.png，求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的反函数 （二次函数形式）

解：2d40be6717d273d5a156b9c0b0fb8450.png 877a4db2fecd633b7f22d31817086f77.png 所以原函数可化为

e12498ccce23f5773b0aaf1af13bb5a2.png 即ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png18f37272a3c439ef6aab56270a3f2b98.pngc210356e3441491bb6df11391f949170.png

287fe86a9fe1e43b0469bf13bf75f523.png （8787fd609eed7c8ad45d4545c4fb1ff3.png）bc0a61ec947ceabc9b3e9ae906588eeb.png（8787fd609eed7c8ad45d4545c4fb1ff3.png）

所以ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的反函数b524251f5ba82a194e5dbc9bcf6ee04e.png

例6、求caf0ca3e3382a64fd53116918ac95b2f.png的反函数 （分段函数形式）

解：97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png 则abf5f1aa9a73e1f98bd6229c0cf4e24e.png （34b506d4a8cb0a7bc03701bec2c7691c.png） 则y的反函数为fb833ec8427d1ec2fddad899b5017f80.png97effc83c321744cc16ceb1f3ec1b142.png

e54e5ec6ebe0d78e64c134099fbf0aa4.png时，65f373df39d12adce5cf3e7145a0d87d.pngd21a7d08c16b71bea777116b416e8c75.png 则6225a132a93ad4474594cd020c469f72.png（c498a1e6a6a76bc08c33076bf5ad8d61.png）则y的反函数为a0623019272a68c19b3df39d0e1c2909.png

所以原函数的泛函数6c75af68aeea2eaf46d17faf3cd2e52f.png

注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来

利用反函数求值 （性质一的应用）

例7、已知83462aab55ebd9139ebc9d83c8b71dcb.png的值

解一：先求反函数19b0dc5e0dc932a5587b7c6acedf6165.png

解：令b8c0207161d6efa19faff90d370cd9e5.png，得5608686e4fe6007e42c76f2324f856c6.png 且5681fce3c854b55c98fa8bbf1dc770e5.png

故ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的反函数为83e6dfd22ae8355af560cedcfc5c3034.png  20b8253e8a7b96a0cc6afe80563f99a1.png

解二：根据性质一

解：d9b38345a950838fa61dcaec68cf44b6.png d5b2d2486421c987d0a6848d3a5a901b.png 即20b8253e8a7b96a0cc6afe80563f99a1.png

例8、已知919a985feacee4738a04f98321707e5d.png的图像过点1af75cf158588d251263cb1db3a16a4e.png，其反函数2be11a0dc0cc35e1403980657e3f35ff.png的图像过99d27ed50e412de42c3411ec36f2849b.png点，求ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的表达式。

解：e9e2d6fb1e0d16d99415c51d67ca98cc.png的图像过点99d27ed50e412de42c3411ec36f2849b.png，8e9059640e500351256c8f71d20922a9.png的图像过点e25240c8410e5e63bccd005529a0d00b.png，2526a39621743bfa5deb768f112a9683.png 又b2fe5c6b52b6594959808347744fef43.png的图像过点1af75cf158588d251263cb1db3a16a4e.png，

9dd67c326b1fdc63e0bdaa5cb8e6e3c8.png

利用图像 （性质四的应用）

例9：已知函数9370161b280044220980f4618c55fffc.png的图像关于直线5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png对称，求a 的值

解：由题意ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的图像关于直线5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png对称，则a214bc49ecf42ce462cef06f9033b461.png

令f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.pngf5636a14aa24c53d12582154e92952d4.png e2ffc6338e8d4b8a240174c874a1baf3.png 8de3a7b17cf7940b5eb99274ce97ef23.png

所以682d07b10ea18ccdbbe2073c998cab54.png 由a214bc49ecf42ce462cef06f9033b461.png 得9ff262cd36929d525044a539a411fe54.png=195c6bbabfd40c9db69d07a0c91877a2.png 解得efb2883242a9cf0a3be9f72d5c18f644.png

（五）二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x运算规律：

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数图像对称规律：

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称

指数函数问题解决方法：

1．比较大小

　　例1　已知函数af5eb52d693a8919394d3f0416aa0fc6.png满足693e4771e1521a0889f6d1236c4f6c1f.png，且56843038e7b3d333b99aa3a1e3119e92.png，则d06f53ba566f5ed19b4c67dea8a90785.png与1a13f476ce7d58975b57fbbbafb5c28a.png的大小关系是_____．

　　分析：先求74aefa13d6ab8e4bfbd241583749dfe8.png的值再比较大小，要注意d277e1ba6cd3ed760e5ff28dabf50ad1.png的取值是否在同一单调区间内．

　　解：∵693e4771e1521a0889f6d1236c4f6c1f.png，

　　∴函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的对称轴是a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png．

　　故19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png，又56843038e7b3d333b99aa3a1e3119e92.png，∴2df112896cb252b1a2b333525b4bd05d.png．

　　∴函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在450db401bb9024f15c73fb0f6c89d167.png上递减，在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上递增．

　　若e54e5ec6ebe0d78e64c134099fbf0aa4.png，则ccaf72d922dd4385cef3c8eb0abdedf7.png，∴b6a5fa20af844be5ba4da38d1d1460e9.png；

　　若97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png，则a3bbf931f842aecee0fcb0927914e1dc.png，∴a23118ce830bc4f03283712f33625e96.png．

　　综上可得b6a5fa20af844be5ba4da38d1d1460e9.png，即7acbae510bfc6c05a734ca55ac9777d9.png．

　　评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．

　　2．求解有关指数不等式

　　例2　已知f76eb71068a3506725be20af9d09d135.png，则x的取值范围是___________．

　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．

　　解：∵5e567c284867a62f55bdb37ed042c5f7.png，

　　∴函数a00aa822b19ddebfe9e4d0a3f9358dcf.png在ee79fabc055934de03d92f1e8ba90090.png上是增函数，

　　∴b9c9e307c970d9720bf8afdf515caabe.png，解得458fcf5b3e5a256cf17f6b603e4641c4.png．∴x的取值范围是cbdf6e2a7e21e7537c8f645aa2db88e2.png．

　　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

　　3．求定义域及值域问题

　　例3　求函数6652f3e0fc6c3c0cdca576ef91f5866a.png的定义域和值域．

　　解：由题意可得add6ac9f8eb1c7884891377837a2f3c3.png，即83735a41bc1f6c475966a9e882fe8714.png，

　　∴f6c3522a7b853d2032c4a9e4ba4f39db.png，故cc69901b141619b3e8a7a398cc830108.png． ∴函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的定义域是4510440cbc4a5ec0a4fce773ab1776ae.png．

　　令2d12c418ed6c7a94219c5798f8b390ee.png，则aca3eabe14146e1b0ba0c9d86a74e449.png，

　　又∵cc69901b141619b3e8a7a398cc830108.png，∴f6c3522a7b853d2032c4a9e4ba4f39db.png． ∴74bc6bc2436080144d65393331a5619c.png，即649f538dba9c0f52cb2bdc4f11d66075.png．

　　∴780d7353099d0520f1ce98c64dfe5dd0.png，即ed49877fd341bd1774734c1a10dcac08.png．

　　∴函数的值域是fcdba05e5bceb50f6a660654a592f457.png．

　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．

　　4．最值问题

　　例4　函数4455285562f9faeb96ba029dbe216f8b.png在区间10397fd67370c312d6931e0f4f8dedc7.png上有最大值14，则a的值是_______．

　　分析：令326dce131d79018ecb1d0022b36a004c.png可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png的取值范围．

　　解：令326dce131d79018ecb1d0022b36a004c.png，则231b8bbeb4fa45885c97d90d3d2637be.png，函数16082fe3746f0f435b60d1752f4b8034.png可化为885525a663794e861a58324cd6d44026.png，其对称轴为018d5b8213219d952c8d92beda6f68e2.png．

　　∴当cae9743b2aa30af47283cd8d49c0b452.png时，∵474de44e19c4c6b50f713871ef6415df.png，

　　∴59faa6d82dc86da6aea6dc54211006df.png，即4042eeb13118454287feeda058e670a2.png．

　　∴当90e351726794a778dd4e40e4b548ce51.png时，1d8fb5b9e4046bc53af13c345420c2fd.png．

　　解得3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png或e402cc044782247fdcac3cec67609bad.png（舍去）；

　　当81ab5a0b5746d911e1d8f16c92f80df1.png时，∵474de44e19c4c6b50f713871ef6415df.png，

　　∴79e169c4618c420b1958e86ab338ac4a.png，即36468dc2357923e3d0b22a24affb6937.png，

　　∴ b235bd248d2c278203d335167f2f1d5f.png时，432c872f53124a4b7ec8b355b1a2a9f2.png，

　　解得9c960a6a45f008818f149f32cc58699f.png或c4eb592d8a01583f411c1145df466a6f.png（舍去），∴a的值是3或7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png．

　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

　　5．解指数方程

　　例5　解方程5855ea4f6c321f9be3a26d911e10612e.png．

　　解：原方程可化为18aafe0fa200f8673f0ea97b00fbebbd.png，令2ce323348bdf4c2eda1dfaa2365cb469.png，上述方程可化为93dbeeb897e6e8844a5245eece28ee65.png，解得c987c97f4e2bbb041cc58f180be33766.png或ef04fc3e9a91d28700b7d8056df76367.png（舍去），∴e2ea2a0bf48e6363c9372b6b327d66b7.png，∴566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png，经检验原方程的解是566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png．

　　评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．

　　6．图象变换及应用问题

　　例6　为了得到函数c767fb09a0062d89d5420cfb5aff9e37.png的图象，可以把函数851d714b0c317fc962cff28d29849953.png的图象（　　）．

　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

　　分析：注意先将函数c767fb09a0062d89d5420cfb5aff9e37.png转化为fbda3e7ac5c4185cbc3aab61aba3320f.png，再利用图象的平移规律进行判断．

　　解：∵81483101683641e43d2d1402dcc906b1.png，∴把函数851d714b0c317fc962cff28d29849953.png的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数c767fb09a0062d89d5420cfb5aff9e37.png的图象，故选（C）．

　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

&对数函数y=loga^x

如果323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png，eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png，e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png，那么：

a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png a4f0e7ba5c26e5cb211d5b6c45115465.png·0603b7abe96856c4faba78017d9b514a.png797ab699a178dbe0017c38f45f2419ce.png＋95d3fa8f79eb013ae11022faf3c4b2f9.png；

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png 7bab5ed8c346dd9f2d92f5e1f35c6c41.png797ab699a178dbe0017c38f45f2419ce.png－95d3fa8f79eb013ae11022faf3c4b2f9.png；

d05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png 2c9d2f4f469e39d5d614d68425c0672e.pngfb018e049bc9c98b8cf80d33f4449632.png797ab699a178dbe0017c38f45f2419ce.png a67de76817c32c886251245aab3376d9.png．

◆ 注意：换底公式

4a9c5c2c567e26396656c2aa7c2adeda.png （323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，且7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png；96df96dd95bbf61a8224853c7a06c48c.png，且6766933fa051fe48b5c218cf1b16afd1.png；539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png）．

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如0eec11599b09e65c1ea6928d9ef02ec8.pngcf21641b39bdf4ffbcfb160dfaada2cb.png的函数称为幂函数，其中ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）2f1a56b8a7c853f595b45ff32b69f680.png时，幂函数的图象通过原点，并且在区间f4e33f3a71c859214edc8440b1c98acb.png上是增函数．特别地，当f073a3e0244825d205c9e07817eec655.png时，幂函数的图象下凸；当c8eb3a12a28641f78014ae1ba510a244.png时，幂函数的图象上凸；

（3）66ce1bb40bdf0f5a4adacd7ca40b025f.png时，幂函数的图象在区间b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上是减函数．在第一象限内，当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png从右边趋向原点时，图象在415290769594460e2e485922904f345d.png轴右方无限地逼近415290769594460e2e485922904f345d.png轴正半轴，当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png趋于47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png时，图象在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上方无限地逼近9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴正半轴．

三、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数f48a32c4c2b4bf74786fb36318f066a8.png，把使fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png成立的实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png叫做函数f48a32c4c2b4bf74786fb36318f066a8.png的零点。

2、函数零点的意义：函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的零点就是方程fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png实数根，亦即函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交点的横坐标。

即：方程fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png有实数根ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有交点ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png有零点．

3、函数零点的求法：

a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png （代数法）求方程fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png的实数根；

6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数03680c9144025258b26b8b0d84f8253c.png．

（1）△＞０，方程0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png有两不等实根，二次函数的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png有两相等实根，二次函数的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png无实根，二次函数的图象与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴无交点，二次函数无零点．

重点习题：

1.下列图象中不能表示函数的图象的是 （ ）

y

（A） （B） （C） (D)

2.函数y=(0.2)-x+1的反函数是( )

A.y=log5x+1 B.y=klogx5+1

C.y=log5(x-1) D.y=log5x-1

3.曲线word/media/image420.gif 分别是指数函数word/media/image420.gif , word/media/image420.gif 和word/media/image420.gif 的图象,则word/media/image420.gif 与1的大小关系是 (  ).

　　word/media/image420.gif word/media/image420.gif 

　　word/media/image420.gif word/media/image420.gif

　　word/media/image420.gif word/media/image420.gif

　　(word/media/image420.gif word/media/image420.gif

4.当a＞1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图像只可能是( B )

5.若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则y=f（ddaec4dd1c2da4f54459bc3781429189.png）的定义域是（ ）

6.已知函数d9cd4540c22c70f9e100afedd55fb47c.png，其中n3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngN，则f（8）=（ ）

7.若函数381db291239db2c36d44c38a3273adf5.png的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）

8.如果二次函数f（x）=3x2+bx+1在（-∞，8572218debc421280fc871f55d7477a4.png上是减函数，在9bd7ddce44831af1e543b84b0f54f058.png，+∞）上是增函数，则f（x）的最小值为（ ）

9.定义在实数R上的函数y= f（x）是偶函数，当x≥0时，a9927ef892b85fe10c287e42f4cefa37.png.

（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；

（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）.

10.已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x = 2，

且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式.

11.已知函数ed053a64f9a3b6770060afcad74c984a.png ，（x∈（- 1，1）.

（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）判断f（x）在（- 1，1）上的单调性，并证明

12.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少。把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元。现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售. 问：

（Ⅰ）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

（Ⅱ）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

13.已知函数f(x)在实数集中满足：f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在定义域内是减函数。

（1）求f(1)的值；

（2）若f(2a-3)<0,试确定a的取值范围。

14.已知函数 64bfd26b6292e21f984f170eaf9b1681.png 图像关于直线5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png对称，求a 的值。

15.已知83462aab55ebd9139ebc9d83c8b71dcb.png的值。

16.若word/media/image420.gif ，且word/media/image420.gif ，比较a与b．

17.设word/media/image420.gif ，求函数 的最大值和最小值．

18.已知函数word/media/image420.gif （word/media/image420.gif 且word/media/image420.gif ）

（1）求word/media/image420.gif 的最小值；  （2）若word/media/image420.gif ，求 的取值范围．

19.设常数a＞1＞b＞0，则当a,b满足什么关系时，lg(ax-bx)＞0的解集为｛x｜x＞1｝.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/83610a30f111f18583d05ada.html