北师大版高中数学离散型随机变量的均值与方差、正态分布名师精编检测卷

第八节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

A组　基础题组

1.若离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.2 B.2或 C. D.1

2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X<5)=0.8,则P(1　　)

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

3.若X~B(n,p),且EX=6,DX=3,则P(X=1)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10 D.2-8

4.(2016河北衡水二调)在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0.05 B.0. 1 C.0.15 D.0.2

5.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是　　　　. 

6.某校在一次月考中约有600人参加考试,数学考试的成绩ξ~N(90,a2)(a>0,试卷满分为150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有　　　　人. 

7.某超市为了响应环保要求,鼓励顾客自带购物袋到超市购物,采取了如下措施:对不使用超市塑料购物袋的顾客,超市给予9.6折优惠;对需要超市塑料购物袋的顾客,既要付购买费,也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人,其中有12位顾客自己带了购物袋,现从这36人中随机抽取两人.

(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率;

(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ,求ξ的分布列和均值.

8.(2016河南郑州质量预测)某中学根据2003—2015年间学生的兴趣爱好,分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2016年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m,,n,已知三个社团他都能进入的概率为,至少能进入一个社团的概率为,且m>n.

(1)求m与n的值;

(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影”社团的同学增加校本选修学分1分,对进入“棋类”社团的同学增加校本选修学分2分,对进入“国学”社团的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.

B组　提升题组

9.(2016广西桂林三市调研)某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务.教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90, 95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.

(1)求抽取的200位学生中参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率;

(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生,记X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数.试求随机变量X的分布列和数学期望E(X).

10.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:

(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;

(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;

(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　因为分布列中概率和为1,所以+=1,即a2+a-2=0,解得a=-2(舍去)或a=1,所以E(X)=.故选C.

2.C　由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故P(X>1)=P(X<5)=0.8,所以P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1≤1)=0.5-0.2=0.3.

3.C　∵EX=np=6,DX=np(1-p)=3,∴p=,n=12,则P(X=1)=··=3·2-10.

4.B　由题意,得P(80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4,P(0<ξ<100)=0.5,∴P(0<ξ<80)=0.1.

5.答案　

解析　同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1-=,且X~B,

∴均值是2×=.[来源: ]

6.答案　120

解析　∵成绩ξ~N(90,a2),∴其正态分布曲线关于直线x=90对称,又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的,由对称性知成绩不低于110分的人数约为总人数的×=,∴此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有×600=120(人).

7.解析　(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A,“两人都不享受折扣优惠”为事件B,则P(A)==,P(B)==.

因为事件A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.

故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.

(2)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2.

P(ξ=0)=P(B)=,

P(ξ=1)==,

P(ξ=2)=P(A)=.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/83075cf1d5d8d15abe23482fb4daa58da0111c27.html