2018年内蒙古省包头市初中毕业、升学考试
数 学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2018内蒙古包头，1，3分）计算word/media/image1_1.png的结果是( )
A.－1 B.－5 C.1 D.5
【答案】B
【解析】原式＝－2－3＝－5，故选择B.
【知识点】实数的运算
2．（2018内蒙古包头，2，3分）如图1，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
【答案】C
【解析】主视图是指从正面看到的图形，由已知条件可知，主视图有两列，每列小正方形数目分别是2、2，故选择C.
【知识点】几何体的三视图
3.（2018内蒙古包头，3，3分） 函数word/media/image4_1.png中，自变量x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x>0 C.x≥1 D.x>1
【答案】D
【解析】根据函数有意义，则分母不能为0，根号下的数必须非负得:x－1>0，所以x>1，故选择D.
【知识点】函数自变量的取值范围
4．（2018内蒙古包头，4，3分） 下列事件中，属于不可能事件的是( )
A.某个数的绝对值大于0
B.某个数的相反数等于它本身
C.任意一个五边形的外角和等于540°
D.长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
【答案】C
【解析】根据定义可知：A、B都属于随机事件；C属于不可能事件；D属于确定必然事件.故选择C.
【知识点】事件的分类及概念
5．（2018内蒙古包头，5，3分）如果word/media/image5_1.png与
word/media/image6_1.png是同类项，那么
word/media/image7_1.png的值是( )
A.word/media/image8_1.png B.
word/media/image9_1.png C.1 D.3
【答案】A
【解析】根据同类项的特征可得word/media/image10_1.png，解得
word/media/image11_1.png，∴
word/media/image12_1.png.故选择A.
【知识点】同类项的概念
6．（2018内蒙古包头，6，3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是( )
A.4，1 B.4，2 C.5，1 D.5，2
【答案】B
【解析】因为4出现了3次，次数最多，故众数是4；
又∵word/media/image13_1.png，
∴word/media/image14_1.png.
故选择B.
【知识点】众数、方差
7．（2018内蒙古包头，7，3分）如图2，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是 ( )
A.word/media/image15_1.png B.
word/media/image16_1.png C.
word/media/image17_1.png D.
word/media/image18_1.png
【答案】A
【解析】作AM⊥BC于点M，
∵∠ABC＝30°
∴AM＝word/media/image20_1.pngAB＝1
word/media/image21_1.png
故选择A.
【知识点】扇形面积的计算；三角形面积的计算；含有30°角的直角三角形的性质
8．（2018内蒙古包头，8，3分）如图3，在△ABC中，AB＝AC， △ADE的顶点D、E
分别在BC、AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为( )
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
【答案】D
【思路分析】由∠C+∠BAC＝145°得知∠B＝35°；由AB＝AC得知∠B＝∠C＝35°；由等腰直角三角形的性质可得∠AED＝45°，又∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝45°－35°＝10°.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和；三角形外角的性质
9．（2018内蒙古包头，9，3分）已知关于x的一元二次方程word/media/image24_1.png有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
【思路分析】根据方程有两个实数根，得出根的判别式的值大于或等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的取值范围；找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值.
【解题过程】根据题意得：△＝4－4（m－2）≥0，解得m≤3；
由m为正整数，得m＝1或2或3，
利用求根公式表示出方程的解为word/media/image25_1.png，
∵方程的解为整数。
∴3－m为完全平方数，
则m的值为2或3，2+3＝5.故选择B.
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解；公式法解一元二次方程
10．（2018内蒙古包头，10，3分）已知下列命题：
①若word/media/image26_1.png，则
word/media/image27_1.png；
②若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在二次函数word/media/image28_1.png的图象上，且满足x1<x2<1，则y1>y2>－2；
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等.
其中真命题的个数是 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】C
【解析】①若word/media/image26_1.png，则
word/media/image29_1.png，但不能确定
word/media/image27_1.png，为假命题；
②∵二次函数开口向上，对称轴为x＝1，且满足x1<x2<1，在对称轴的左侧y随x的增加而减小，但纵坐标大于最小值－2，为真命题；
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则应该a⊥c，为假命题；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，为真命题；
故选择C.
【知识点】命题与定理
11．（2018内蒙古包头，11，3分）如图4，在平面直角坐标系中，直线l1：word/media/image30_1.png与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：
word/media/image31_1.png 与直线l1在第一象限交于点C，若∠BOC＝∠BCO，则k的值为 ( )
A.word/media/image33_1.png B.
word/media/image34_1.png C.
word/media/image35_1.png D.
word/media/image36_1.png
【答案】B
【解析】在word/media/image37_1.png中，令x＝0，得y＝1，∴OB＝1；令y＝0，得x＝
word/media/image38_1.png，∴OA＝
word/media/image39_1.png；
在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝word/media/image40_1.png
∵∠BOC＝∠BCO
∴BO＝BC＝1
∴AC＝3－1＝2
作CD⊥OA于点D
则△ADC∽△AOB
∴word/media/image41_1.png，即
word/media/image42_1.png，得
word/media/image43_1.png
将word/media/image44_1.png代入
word/media/image45_1.png得
word/media/image46_1.png,∴C（
word/media/image47_1.png）
将C（word/media/image47_1.png）代入
word/media/image48_1.png得
word/media/image49_1.png，故选择B.
【知识点】一次函数的性质；相似三角形的性质
12．（2018内蒙古包头，12，3分）如图5，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD
＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则
DF的长为 ( )
A.word/media/image52_1.png B.
word/media/image53_1.png C.
word/media/image54_1.png D.
word/media/image55_1.png
【答案】D
【解析】连接DE
∵∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝word/media/image56_1.png＝2
∴∠CBD＝∠EDB＝30°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝30°
∴AB∥DE
∴△DEF∽△BAF
∴word/media/image57_1.png
易求得AB＝3，∴word/media/image58_1.png
∴word/media/image59_1.png,故选择D.
【知识点】相似三角形的性质；含有30°角的直角三角形的性质
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．（2018内蒙古包头，13，3分）若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为 .
【答案】－2
【解析】解二元一次方程组word/media/image61_1.png得
word/media/image62_1.png，∴b－a＝－2.
【知识点】二元一次方程组的解法
14．（2018内蒙古包头，14，3分）不等式组word/media/image63_1.png的非负整数解有 个.
【答案】4
【解析】不等式组word/media/image64_1.png的解集是
word/media/image65_1.png，非负整数解有0，1，2，3，共4个.
【知识点】不等式组的解法；非负整数解
15．（2018内蒙古包头，15，3分）从－2，－1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积大于－4小于2的概率是 .
【答案】word/media/image66_1.png
【解析】从－2，－2，1，2四个数中随机抽取两个数相乘的积的所有可能的情况是：
所有等可能发生的情况共12种，符合积大于－4小于2的情况共6种，
∴P（积大于－4小于2）＝word/media/image71_1.png
【知识点】概率
16．（2018内蒙古包头，16，3分）化简：word/media/image72_1.png＝ .
【答案】word/media/image73_1.png
【解析】word/media/image74_1.png
word/media/image75_1.png
word/media/image76_1.png
【知识点】分式混合运算
17．（2018内蒙古包头，17，3分）如图6，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上（不与点B、C重合），连接BE、CE.若∠D＝40°，则∠BEC= 度.
【答案】115
【思路分析】连接OC、AC，由CD是切线得∠OCD＝90°，又因为∠D＝40°可得∠COD＝50°，因为OA＝OC，可得∠OAC＝65°；因为四边形ACEB是圆内接四边形，由圆内接四边形对角互补得到∠BEC的度数.
【解题过程】连接OC、AC，
∵CD是⊙O的切线
∴∠OCD＝90°
∵∠D＝40°
∴∠COD＝50°
∵OA＝OC
∴∠OAC＝word/media/image78_1.png65°
∵四边形ACEB是圆内接四边形
∴∠BEC+∠OAC＝180°
∴∠BEC＝180°－∠OAC＝180°－65°＝115°
【知识点】切线的性质；圆内接四边形对角互补的性质
18．（2018内蒙古包头，18，3分）如图7，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，
且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF
的值为 .
【答案】word/media/image81_1.png
【思路分析】由3AE＝2EB得word/media/image82_1.png；由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC，所以求出
word/media/image83_1.png的值，又因为S△AEF＝1，所以求出S△ABC＝
word/media/image84_1.png，又因为AC是对角线，所以S△ADC＝
word/media/image84_1.png，又因为
word/media/image85_1.png，求出S△ADF=
word/media/image86_1.png.
【解题过程】
解：∵3AE＝2EB
∴word/media/image82_1.png
∵EF∥BC易证得△AEF∽△ABC，
∴word/media/image87_1.png，
又∵S△AEF＝1，
∴S△ABC＝word/media/image84_1.png，
∵AC是对角线，
∴S△ADC＝word/media/image84_1.png，
又∵word/media/image85_1.png，∴S△ADF＝
word/media/image86_1.png.
【知识点】平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质
19．（2018内蒙古包头，19，3分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图8所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E.若双曲线word/media/image88_1.png 经过点D，则OB·BE的值为 .
【答案】3
【思路分析】设出矩形的长和宽，并把D点坐标表示出来，因为D在双曲线上，求出矩形长和宽的乘积，从而表示出矩形的面积，将OB·BE转化到OA·BE，从而转化成△AOB的面积，利用△AOB的面积与矩形面积的关系求出OB·BE的值.
【解题过程】解：设矩形ABCD的长为2a，宽为2b，则点D（a，b）
∵点D在双曲线word/media/image90_1.png上，
∴2ab＝3
∴OB·BE＝OA·BE＝2S△OAB＝word/media/image91_1.png.
【知识点】矩形的性质；反比例函数的性质；等面积法
20．（2018内蒙古包头，20，3分）如图9，在Rt△ACB中，∠ACB＝25°，AC=BC，D
是AB上的一个动点（不与点A、B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到
CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF·CA；
④若AB＝word/media/image93_1.png，AD＝2BD，则AF＝
word/media/image94_1.png.
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【思路分析】该题运用旋转的性质推出△ACE≌△BCD；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AED；利用等腰直角三角形的三边关系及转化思想证明DE2＝2CF·CA；利用三角形和DE2＝2CF·CA这个结论求出AF的值.
【解题过程】①由题意易得∠BCD＝∠ACE，由“边角边”证明△ACE≌△BCD，故①正确；
②∵△ACE≌△BCD
∴∠CAE＝∠CBD＝45°
∵∠BCD＝25°
∴∠ACE＝∠BCD＝25°
∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝(180°－25°－45°)－45°＝65°，故②正确；
③∵∠CAE＝∠CED＝45°,∠ACE＝∠ACE
∴△ACE∽△ECF
∴word/media/image95_1.png，即
word/media/image96_1.png
在Rt△DCE中，word/media/image97_1.png
DE2＝2CF·CA，故③正确；
④作DM⊥BC于点M
∴DM＝BM＝1
∴CM＝3－1＝2
∴DC＝CE＝word/media/image98_1.png
由③可知DE2＝2CF·CA，
∴word/media/image99_1.png
∴word/media/image100_1.png
∴word/media/image101_1.png,故④错误.
【知识点】旋转的性质；全等三角形的性质；相似三角形的性质
三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2018内蒙古包头，21，8分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）.他们的各项成绩如下表所示：
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选.
【思路分析】（1）将这四名候选人面试成绩按从小到大排列，求出中间两个数的平均数即可；
（2）按照加权平均数的算法列出方程求出x即可；
（3）分别按照加权平均数的算法求出其余三名候选人的综合成绩，取前两名即可.
【解题过程】解：（1）89分.
（2）根据题意，得60%x+90×40%＝87.6，解得x＝86.
（3） 甲候选人的综合成绩＝90×60%+88×40%＝89.2（分）
乙候选人的综合成绩＝84×60%+92×40%＝87.2（分）
丙候选人的综合成绩＝88×60%+86×40%＝87.2（分）
∴依综合成绩排序所要招聘的前两名人选是甲和丙.
【知识点】中位数；加权平均数
22．（2018内蒙古包头，22，8分）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，连接BD，
点E在AB上，且∠BDE＝15°，DE＝word/media/image104_1.png，DC＝
word/media/image105_1.png.
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积；
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【思路分析】（1）先求出∠ADE＝30°，在Rt△AED中用锐角三角函数求出AE、AD的长，再由等腰直角三角形的性质得出AB的长，用AB的长减去AE的长就得出BE的长；
（2）用△DEB的面积加上△BDC的面积即得四边形DEBC的面积.
【解题过程】如答案图1.
解：（1）在四边形ABCD中，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°
∵AB＝AD
∴∠ABD＝∠ADB＝45°
∵∠BDE＝15°
∴∠ADE＝30°
在Rt△AED中,∵DE＝word/media/image107_1.png
∴AE＝sin30°·word/media/image108_1.png＝
word/media/image109_1.png，AD＝cos30°·
word/media/image108_1.png＝6，
∴AB＝AD＝6
∴BE＝word/media/image110_1.png
（2）过点D作DF⊥BC于点F
∴∠BFD＝90°
∵∠BAD＝∠ABC＝90°
∴四边形ABFD是矩形
∴BF＝AD＝6，DF＝AB＝6
在Rt△DFC中,∵DC＝word/media/image111_1.png
∴FC＝word/media/image108_1.png
∴BC＝word/media/image112_1.png
∴word/media/image113_1.png
【知识点】等腰直角三角形的性质；三角函数；三角形的面积
23．（2018内蒙古包头，23，10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2400元，为扩大销售，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售额增加30件，销售额增加
840元.
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【思路分析】（1）根据题意列出方程解出即可；
（2）设该商品的进价为a元，根据题意列出方程求解，再算出该商店4月份销售这种商品的利润即可.
【解题过程】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元.
根据题意得：word/media/image115_1.png
解得x＝40
经检验x＝40是原方程的解
答：设该商店3月份这种商品的售价为40元.
（2）设该商品的进价为a元.
根据题意得：word/media/image116_1.png
解得a＝25.
4月份的售价：40×0.9＝36（元）
4月份的销售数量：word/media/image117_1.png
4月份的利润：（36－25）×90＝990（元）
答：4月份销售这种商品的利润是990元.
【知识点】分式方程应用题
24．（2018内蒙古包头，24，10分）如图11，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径的
圆交AB于点D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE、CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且
∠FAB＝∠ABC，连接BF.
（1）求证：∠BCD＝∠BEC；
（2）若BC＝2，BD＝1，求CE的长及sin∠ABF的值.
【思路分析】（1）由切线性质和“直径所对的圆周角等于90°”可得∠BCD+∠ACD＝∠BEC+∠EDC＝90°，从而证出∠BCD＝∠BEC；
（2）通过作辅助线构造直角三角形，利用相似三角形的性质和三角函数求解.
【解题过程】如答案图2.
解：（1）证明：∵∠ACB＝90°
∴∠BCD+∠ACD＝90°
∵DE是⊙A的直径
∴∠DCE=90°
∴∠BEC+∠CDE＝90°
∵AD＝AC
∴∠CDE＝∠ACD
∴∠BCD＝∠BEC
（2）∵∠BCD＝∠BEC，∠EBC＝∠EBC
∴△BDC∽△BCE
∴word/media/image119_1.png
∵BC＝2，BD＝1
∴BE＝4,EC＝2CD
∴DE＝BE－BD＝3
在Rt△DCE中，word/media/image120_1.png
∴word/media/image121_1.png
过点F作FM⊥AB于点M
∵∠FAB＝∠ABC，∠FMA＝∠ACB＝90°
∴△AFM∽△BAC
∴word/media/image123_1.png
∵DE＝3
∴word/media/image124_1.png,
word/media/image125_1.png
∴word/media/image126_1.png
过点F作FN⊥BC于点N
∴∠FNC＝90°
∵∠FAB＝∠ABC
∴FA∥BC
∴∠FAC＝∠ACB＝90°
∴四边形FNCA是矩形
∴word/media/image127_1.png
∴word/media/image128_1.png.
在Rt△FBN中，word/media/image129_1.png
∴Rt△FBM中，sin∠ABF＝word/media/image130_1.png.
【知识点】切线性质；直径所对的圆周角等于90°；相似三角形的性质；三角函数的应用
25．（2018内蒙古包头，25，12分）如图12，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是AD上的一个动点.
（1）如图12①，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE.当OE＝DE时，求AE的长；
（2）如图12②，连接BE、EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G.当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图12③，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D´处，过点D´作D´N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝1.
①求word/media/image131_1.png的值；②连接BE，△D´MH与△CBE是否相似？请说明理由.
【思路分析】（1）连接OA，通过证明△ODE∽△ADO，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长，再求出AE的长；（也可以通过作EM⊥OD,证明△DEM∽△DBA，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长，再求出AE的长）.
（2）先证△AEF≌△DCE，得出AF＝DE＝2，BF＝1，过点G作GK⊥BC于点K，证明Rt△CKG∽Rt△CBF，
利用相似三角形对应边成比例求出BG的长；（也可以通过证明△EFG∽△DEBF，利用相似三角形对应边成比例求出BG的长）.
（3）①因为这两个三角形同高不同底，利用相似三角形的性质求出底之比即可；
②先证△D´MH与△CBE是等腰三角形，再证明顶角相等即可.
【解题过程】（1）如答案图3.连接OA.
在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝word/media/image134_1.png.
∵O是BD的中点
∴word/media/image135_1.png,
∴∠OAD＝∠ODA
∵OE＝DE
∴∠EOD＝∠ODE
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD.
∴△ODE∽△ADO
∴word/media/image136_1.png
设AE＝x，则DE＝5－x
∴word/media/image137_1.png即8.5＝5（5－x）
∴x＝3.3，即AE＝3.3.
（2）如答案图4.在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝45°.
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠AEB
∴AE＝AB＝3
∴AE＝CD＝3
∵EF⊥EC
∴∠FEC＝90°
∴∠AEF+∠CED＝90°
∵∠A＝90°
∴∠AEF+∠AFE＝90°
∴∠CED＝∠AFE
∵∠A＝∠D＝90°
∴△AEF≌△DCE
∴AF＝DE＝2
∴BF＝1.
过点G作GK⊥BC于点K
∴∠EBC＝∠BGK＝45°
∴BK＝GK,∠ABC＝∠GKC＝90°
∵∠KCG＝∠BCF
∴Rt△CKG∽Rt△CBF
∴word/media/image139_1.png
设BK＝GK＝y，则CK＝5－y
∴word/media/image140_1.png解得
word/media/image141_1.png
∴BK＝GK＝word/media/image142_1.png
∴在Rt△GKB中，BG＝word/media/image143_1.png
（3）如答案图5.
①在矩形ABCD中，∠D＝90°
∵AE＝1，AD＝5
∴DE＝4
∵DC＝3
∴EC＝5
根据折叠可得ED´＝ED＝4,D´H＝DH,∠ED´H＝∠D＝90°
∴D´C＝1
设D´H＝DH＝z，则HC＝3－z
在Rt△HD´C中，word/media/image145_1.png
∴word/media/image146_1.png，解得
word/media/image147_1.png
∴word/media/image148_1.png
∵D´N⊥AD
∴∠AND´＝∠D＝90°
∴D´N∥DC
而∠NEM＝∠DEH
∴△EMN∽△EHD
∴word/media/image149_1.png
∵D´N∥DC
∴∠ED´M＝∠ECH
而∠MED´＝∠HEC
∴△ED´M∽△ECH
∴word/media/image150_1.png
∴word/media/image151_1.png
∴word/media/image152_1.png
∴word/media/image153_1.png.
②相似.
证明：根据折叠可得∠EHD´＝∠EHD,∠ED´H＝∠D＝90°
∴∠MD´H+∠ED´N＝90°
∵∠END´＝90°
∴∠NED´+∠ED´N＝90°
∴∠MD´H＝∠NED´
∵D´N∥DC
∴∠D´MH＝∠EHD
∴∠EHD´＝∠D´MH
∴D´M＝D´H
∵AD∥BC
∴∠NED´＝∠ECB
∴∠MD´H＝∠ECB
∵CE＝CB＝5
∴word/media/image154_1.png
∴△D´MH∽△CBE
【知识点】动点问题；相似三角形的性质；对称变换的性质
26．（2018内蒙古包头，26，12分）如图13，在平面直角坐标系中，已知抛物线word/media/image155_1.png与x轴交于
A、B两点（点A在点B点左侧），与y轴交于点C，直线l经过A、C两点，连接BC.
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x＝m（m<0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，
连接OD.当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，－1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，
使∠BAP＝∠BCO－∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路分析】（1）先求出A、B两点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）通过证明△AOD∽△ACO求出AC、AD的长，再通过DF∥OC得出
word/media/image157_1.png，从而求出AF的长，从而得知OF的长，并得知m的值，表示出DE的坐标即可求线段DE的长.
（3）假设存在点P，使得∠BAP＝∠BCO－∠BAG，通过证明∠BCO＝∠BAC得出∠BAP＝∠BAC－∠BAG
从而得出∠BAP＝∠GAC，从而tan∠BAP=tan∠GAC，再利用三角函数求出OG、CG的长，利用已知条件结合
特殊三角形的特征列出方程求解即可.
【解题过程】解：（1）当y＝0时，word/media/image158_1.png，解得x1＝1，x2＝－4，
所以A（－4，0），B（1，0）.
当x＝0时，y＝－2，所以C（0，－2）.
设直线l的解析式为word/media/image159_1.png
∴word/media/image160_1.png解得
word/media/image161_1.png
∴直线l的解析式为word/media/image162_1.png.
（2）如答案图6.
∵OD⊥AC
∴∠ADO＝90°
∴∠ADO＝∠AOC＝90°
∵∠DAO＝∠OAC
∴△AOD∽△ACO
∴word/media/image164_1.png
∴word/media/image165_1.png
∴在Rt△AOC中，word/media/image166_1.png.
∵word/media/image167_1.png
∴word/media/image168_1.png
设直线x＝m（m<0)与x轴交于点F，
∴DF∥OC,
∴word/media/image169_1.png
∴word/media/image170_1.png,
word/media/image171_1.png
∴word/media/image172_1.png
∵直线x＝m（m<0)交抛物线于点E，交直线l于点D，
∴word/media/image173_1.png，
∴word/media/image174_1.png.
（3）如答案图6.
假设存在点P，使得∠BAP＝∠BCO－∠BAG.
∵A（－4，0），B（1，0），C（0，－2）
∴AB＝5，BC＝word/media/image175_1.png.
在Rt△AOC中，word/media/image176_1.png
∴word/media/image177_1.png
∴∠ACB＝90°
∴∠ACO+∠BCO＝90°
∵∠ACO+∠BAC＝90°
∴∠BCO＝∠BAC
∴∠BAP＝∠BAC－∠BAG
∴∠BAP＝∠GAC
过点G作GM⊥AC于点M，过点P作PN⊥x轴于点N.
在Rt△PAN和Rt△GAM中，tan∠BAP=tan∠GAC
∴GM·AN＝AM·PN
∵G（0，－1），C（0，－2）
∴OG＝CG＝1
∵OA＝4
∴在Rt△AOG中，AG＝word/media/image178_1.png.
设AM＝x，则CM＝word/media/image179_1.png
∵word/media/image180_1.png
∴word/media/image181_1.png
解得word/media/image182_1.png，即AM＝
word/media/image183_1.png
∴GM＝word/media/image184_1.png
设word/media/image185_1.png
∴word/media/image186_1.png
∴word/media/image187_1.png
解得word/media/image188_1.png
当word/media/image189_1.png
∴word/media/image190_1.png.
∴存在点word/media/image190_1.png，使得∠BAP＝∠BCO－∠BAG.
【知识点】二次函数综合题，求一次函数解析式；动点问题
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