清流一中2015—2016学年第二学期高二理科数学
期中考试卷
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设是可导函数,且
（ ）.
A. B.－1
C. 0 D.－2
2.证明不等式（a≥2）所用的最适合的方法是（ ）.
A.间接证法 B.综合法
C.分析法 D.合情推理法
3.曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x，则点P 0的坐标是（ ）.
A.(0,1) B.(1,0)
C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)
4.用反证法证明命题“设 为实数，则方程
，至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）.
A.方程没有实根.
B.方程
至多有一个实根.
C.方程至多有两个实根.
D.方程恰好有两个实根.
5.是虚数单位，复数
（ ）.
A. B.
C. D.
6.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ ）.
A.①② B.①③
C.③④ D.①④
7.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（ ）.
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
8.展开式的第6项系数最大，则其常数项为（ ）.
A.120 B.252 C.210 D.45
9.设服从二项分布的随机变量
的期望与方差分别是15和
，则
的值分别是（ ）.
A. B.
C.
D.
10.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）.A.
B.
C.
D.
11.已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能构成锐角三角形的个数为（ ）.
A.8 B.24 C.36 D.12
12.如图，阴影部分的面积是（ ）.
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.若复数（
为虚数单位）是纯虚数，则正实数
.
14. .
15.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个,允许重复．若填入A方格的数字大于
方格的数字，则不同的填法共有_______种（用数字作答）．
16.在平面直角坐标系中，定义两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)之间的“直角距离”为
d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|．现有下列命题：
①已知P(1，3)，Q(sin 2α，cos 2α)(α∈R)，则d(P，Q)为定值；
②原点O到直线x-y+1=0上任一点P的直角距离d(O，P)的最小值为；
③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d(P，Q)；
④设A(x，y)且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P(1，3)与Q(5，7)的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．其中的真命题是 ．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)：
17. （本题满分10分）已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)•z为纯虚数．(1)求复数z；(2)若，求复数w的
模|w|．
18.（本题满分12分）（1）已知，证明：
；（2）利用（1）的结论，试求
的最小值（其中
）。
19.（本题满分12分）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.
(1)共可以组成多少个五位数？(2)其中奇数有多少个？(3)如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由。
20.（本题满分12分）若二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的项； (2)展开式中所有的有理项．
21.（本题满分12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产
千件需另投入
万元，设该公司一年内生产该品牌服装
千件并全部销售 完，每千件的销售收入为
万元，且
（1）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大年利润.（注：年利润=年销售收入-年总成本）.
22.（本题满分12分）已知函数
的定义域为
，设
. （1）试确定
的取值范围，使得函数
在
上为单调函数； （2）求证：
； （3）求证：对于任意的
总存在
满
足
； 又若方程
在
上有唯一解，请确定
的取值范围.
清流一中2015—2016学年第二学期高二理科数学
期中考试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 1 14. 1 15. 27 16. ①③④
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)。
17. （每小题5分）解：(1).(1+3i)•(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i ∵(1+3i)•z是纯虚数∴3-3b=0，且9+b≠0∴b=1，∴z=3+i(2)
∴
18. （每小题6分）证明：（1）即
成立.
（2）由不等式成立，知
.
但且仅当m2=n2时，等号成立，即最小值为25.
19.（每小题4分）：
20.（每小题6分）：解：二项式的展开式的通项公式为：
前三项的r=0，1，2 得系数为 由已
知：
得n=8 通项公式为
(1)令16-3r=4，得r=4，得
(2)当r=0，4，8时，依次得有理项
21.（每小题6分）：解：（1）当
时，
当
时，
所以：
（2）①当
时，由
得
当
时，
，函数单调递增，当
时，
，函数单调递减 于是：
②当
时，
当且仅当
即
时取等号，于是：
综合①②知：当年产量为
千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，为
万元.
22.（每小题4分）：解：（1）因为
由
或
由
所以f（x）在
上递增，在（0,1）上递减，欲证f（x）在[-2,t
]上为单调函数，则
， ∴t的取值范围为
.
（2）证明：因为f（x）在 上递增，在（0,1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又因为
,所以f（x）在
上的最小值为f（-2），从而当
时，
， 即
（3）证明：因为，令
，从而问题转化为证明方程
在
上有解，并讨论解的个数.
所以 ①当
或
时，
在
上有解，且只有一解
②当 时
， 所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解
③当t=1时，，所以x=0或x="1," 所以g（x）=0在（-2，t）上上有且只有一解； 当t=4时，
，所以x=-2或x=3， 所以
在
上也只有一解.
综上所述，对于任意的t>-2,总存在 ，满足
当方程
在
上有唯一解，t的取值范围为
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/811a478958fafab069dc02ee.html
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