在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
概念
作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分
对于一在区间上之给定非负函数
，我们想要确定
所代表的曲线与
坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为
黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如取负值，则相应的面积值
亦取负值。
一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。
一个闭区间的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列
。每个闭区间
叫做一个子区间。定义
为这些子区间长度的最大值：
，其中
。
再定义取样分割。一个闭区间的一个取样分割是指在进行分割
后，于每一个子区间中
取出一点
。
的定义同上。
精细化分割：设以及
构成了闭区间
的一个取样分割，
和
是另一个分割。如果对于任意
，都存在
使得
，并存在
使得
，那么就把分割：
、
称作分割
、
的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。
于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
对一个在闭区间有定义的实值函数
，
关于取样分割
、
的黎曼和定义为以下和式：
和式中的每一项是子区间长度与在
处的函数值
的乘积。直观地说，就是以标记点
到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。
要使得“越来越‘精细’”有效，需要把趋于0。如此
中的函数值才会与
接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。
严格定义如下：是函数
在闭区间
上的黎曼积分，当且仅当对于任意的
，都存在
，使得对于任意的取样分割
、
，只要它的子区间长度最大值
，就有：
也就是说，对于一个函数，如果在闭区间
上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数
的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么
在闭区间
上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数
为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。
另一个定义: 是函数
在闭区间
上的黎曼积分，当且仅当对于任意的
，都存在一个取样分割
、
，使得对于任何比其“精细”的分割
and
，都有：
这两个定义是等价的。如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个
满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值
的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于
，于是满足
其次证明满足第二个定义的也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割
使得它的上达布和与下达布和都与
相差不超过
。令
等于
，其中
和
是
在
上的上确界和下确界。再令
是
和
中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于
时，
关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差
，所以和
至多相差
。
由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
▪ 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果 和
在区间
上黎曼可积，
和
是常数，则：
由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间 后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射
是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。
▪ 正定性：如果函数 在区间
上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在
上的积分也大于等于零。如果
在区间
上几乎处处大于等于0，并且它在
上的积分等于0，那么
几乎处处为0。
▪ 可加性：如果函数 在区间
和
上都可积，那么
在区间
上也可积，并且有
无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。
▪ 上的实函数
是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。
▪ 如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。
▪ 如果是
上的一个一致收敛序列，其极限为
，那么：
▪ 如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。
黎曼积分可推广到值属于维空间
的函数。积分是线性定义的，即如果
，则
。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。
黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令
不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令 若
，
，
若
。则对所有
.
但如果我们将向右平移一个单位得到
，则对所有
，我们得到
.
由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：
此时，如果尝试对上面的积分，我们得到
，因为我们先使用了极限
。如果使用相反的极限顺序，我们得到
。
这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令在
上，其它域上等于0。对所有
，
。但
一致收敛于0，因此
的积分是0。因此
。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。
一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。
事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral。
扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。
偏序关系
设R是非空集合A上的一个二元关系，若R满足：
自反性：forall x in A,~~(x, x) in R
反对称性：forall x, y in A,~~((x, y) in R wedge (y, x) in R)~~ implies ~~ x = y
传递性：forall x, y, z in A, Mao((x, y) in R wedge (y, z) in R)~~implies~~(x, z) in R
则称R为A上的偏序关系，通常记作\leq。
注意这里的\leq并不是一般意义上的“小于等于”，而是表示在偏序关系中的顺序性。x \leq y的含义是：依照这个序，x排在y前面或x就是y。根据不同的偏序关系的定义，对序有着不同的解释。例如整除关系是一个定义在整数集合上的一个偏序关系\leq，3 \leq 6的含义是3整除6。大于或等于也是定义在整数集合上的一个偏序关系，针对这个关系写5 \leq 4是指在大于或等于关系中，5排在4的前面。
对于上述提到的自反性和传递性的举例解释:
集合A{a,b,c...}上的关系R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...
R是传递指若有(a,b)和(b,c), 则必有(a,c).
偏序（Partial Order）
设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若P满足下列条件：
1、对任意的a∈A，（a,a）∈P;(自反性 reflexlve）
2、若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，则 a=b;（反对称性 anti-symmentric）
3、若（a,b）∈P，（b,c）∈P，则（a,c）∈P;（传递性 transitive）
则称P是A上的一个偏序关系。
若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表示（a,b）∈P。
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