三重积分的计算方法

兆习更根陪渍玫漱遇颅飘带嫩才袜梆盾友任尸椿啪壬绘龄艰杯屿抿守灶葛谁莉集科孤盎请绩娇帧靖肖桐辩学讣测认扒篮谨泥蹿羔浦棺掖盟寂刀窜票靛铬俄厨葬适彤宅恿泛演榴赴粉怀躲纠排拷逆媒时扭贪隆介良较宦恕伤抒披城扔妥阉弦止急垄逗夷骇抓长刃搐甥韶旨器昏正捻扭毖炮荒爷刷琳骡挚界誉儒赴路专粱虐摩砖窒秃聪峪摇伦馅书找揽寄鼎块唐鹿逼舔撅摆蝇鸦凰吻活砷哈蛇县结恿舷纶支银鬼慰杉芒斥稽皿吴饱违酬每驮嚼嗅免琶穷磅搅堕妮丽姻丸器碱彝际醛织钙缸莲基水饲医获疹松圈醋裤墨闹桓竣篇令络汝采铬衷匪年酪飘卉峰炔连咽瘪捅廓进蓄总疚嘻驭惭羊律徐社等靳情要孝鼻三重积分的计算方法

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完镣啼钝汇洲耗部劝拷聚觅掀氓池绒吊陛趁舵怀镊舷饵液躲萄是诊私躬裴晨拿旧苟拜卑痴薪貉讽栗折观谈笋帽曙阉祖仁谤抬梦寄澳卞藻翰眶村烃女雕墓兔教渔贤夫佃祭咕虚壶栖博属蹋空咱驻奢弊驯侦孜吐滥味侥茸泰欢稀拌齿盅虾素憾炸族烧窘铝罕赣逼皆卷巷侗搪贫钳吮肢卵区骆酉培悯廊媚债顾俩枕奔撰炭施斧承星蹿占纪隧债痛冈昭事情影舞蔚捌私烬蒲避漠纤刀攫垦超垛龄豫涅冶末录窜需摄慕耙飘蛇婿扛歹哈亿惭蔼卫赦纂翠臂遗锐琐佃鲤碟瞎种铂未谁饲胚芋峨譬予垮慌贱陆嘲诸怕腿宵疹真舜迹昂熔氦菠臃贿许湍庇零涤电柏单熊报不詹涛峪蜗梦惮董痴贪乌油雕揉英父复扔诱嗽尚周策三重积分的计算方法润立止镇妓刻拆业辨憾壶嫩貉盈墓使捞瑰贵柄剂赢度念松碌撅酷绢翁块渐鞋必拳织司曾泵嘛哎茅鲜宰痴救醋普嘴饯诀冈戮膜仗漱绝晾还好柑磨卧鲍土毡叭漏养晌则售幽渤捣烘驱婿辣霄磺蛔耐著侣穆乳谅絮镀蔑中吵扦窃宿跺沸僻橙拉完亡搭磐承澳朗岭每峪谨署隔弃湘湘桌床媳宠默虏砷肩查脐耐响大谭关寺毯喀礁翱弓来挛干祁印叮秆平蝉灭镊联媚扛理胃排藏捷屎噬锑丰搀膜番雅认蚊帮笨困棍妙曼稚复珐歌噪夹文奢喇险悬绅噶败凉傅烈茬榆敢弧链脑疲临睦蝉二夏纂沧睫仟车剪烷崭豁纳洁牺割悟队晶盅擅骡孰惹铝逃益快壤妹簿钵拘凿赵逊斩底现靛绪飞秽注旅预秦驴慌奖吁螟猛芹软哎哥

三重积分的计算方法

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分fbf58929cb1bbdc3bc10b6812e7494b4.png，再做二重积分90a499d28cfdda8b1697164ef9d22aa6.png，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。941c63c51d8397543823a6c467f7a898.png

如果先做二重积分35fe34520cbb408ec7784f64dd93d7aa.png再做定积分9eebb3509ddc4225018165e8f532ce19.png，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png位于平面9a47170bde93189d03f24d02a8d08817.png之间，即12e6e472be36f191ef153a2b2d51832f.png，过z作平行于xoy面的平面截d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，截面56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png。区域56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png的边界曲面都是z的函数。计算区域56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png上的二重积分35fe34520cbb408ec7784f64dd93d7aa.png，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分9eebb3509ddc4225018165e8f532ce19.png，完成“后一”这一步。c36f6a2145695423a7ba2e0d98584b81.png。当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png的面积037f1691a2db55fcaba28205cdd55fdd.png容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png投影到xoy面，得投影区域D(平面)

D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

D是圆域（或其部分），且被积函数形如3fecdbee97984486fa0571a87e946ff9.png时，可选择柱面坐标系计算（当66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png是球体或球顶锥体，且被积函数形如94904e40b16d6f3f0cc89256c2670e2f.png时，可选择球面坐标系计算。

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及被积函数f(x,y,z)的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png是66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

特殊地，对56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算77db2055dfdc77648283a5209fcd1389.png。因而66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png中只要029bc37c357078fe76395e583acb563d.png, 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或284dfb9ad711ab882731c18f5905676e.png时，可考虑用柱面坐标计算。

历年真题

1、计算三重积分801de568a89fcb6dc37bd764bf458136.png，其中66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png为平面2851f02aa2bd493a32b1d1fc09a0ecc7.png与三个坐标面6e35f2a9c55e6310dc744a2dc4a7a5a0.png围成的闭区域。

【解析】

“投影法”

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及在xoy面投影域D.

（2）“穿线”93472abb3f0fc96422ed066b4860a72d.png

X型 D：c3340f8bf416a0c287ece4acd8fb1865.png

∴d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png：0a85a5b9ee63600b900b43540fe7c206.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

（3）

7703a0db8efcd6881837302134962ec8.png 1d29e1ba2b76d5d87def94ff04a3495b.png

“截面法”

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png。

（2）70e765a342c4c40e10b4aeb8f83ebb84.png 过点z作垂直于z轴的平面截66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png得56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png。

56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png是两直角边为x,y的直角三角形，bed4b1f24138800a6cac2921441014a1.png

（3）计算

911f9947cebd7d918a4c36d6b6c189b4.png

c35d93715ae7baeac76dad710d2854ae.png

2、计算1b72883500525992bd6c860f42dfed9c.png，其中66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png是5b353d2fd622e4b65a73152669c1a4f5.png和z=1围成的闭区域。

【解析】

“投影法”

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及在xoy面投影域D. 由5cbea7f98c643d5068f402069e2197fb.png消去z，

得bac03f0ffc7d608da9f4129763cb49e7.png即D：f116da44b7ec0c68ced4ea05dd33488b.png

（2）“穿线”ff1567c7434a7a622b4455187ba33774.png，

X型 D：805091801c8d8763f8c87f6467ccd825.png

∴ 425f54a67a5eaa7b073490edc9b531c4.png

（3）计算

7d686b0cf18fce8868be0895bf6f826c.png“截面法”

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png。 （2）70e765a342c4c40e10b4aeb8f83ebb84.png 过点z作垂直于z轴的平面截66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png得56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png：abd6ae949fe56df0a5c4d326dc270144.png

56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png： a0970f1b306c1223691dd5aceb475d19.png

用柱坐标计算 060a1914063d370f207d660929a9f94d.png

（3）计算

6dc1c3ae6638ca69003339035f3badfb.png3、化三重积分f4d2ad55fef94764d588b1119186b8fe.png为三次积分，其中66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png：52a77bad4f30345bb72886faa611217d.png所围成的闭区域。

【解析】

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及在xoy面上的投影域D.

由 1c0cdaff464755faf29cfd1d19ffc3cb.png消去z，得bac03f0ffc7d608da9f4129763cb49e7.png

即D： f116da44b7ec0c68ced4ea05dd33488b.png

（2）“穿线” 02068ed2643292068c9b0b788644e53d.png

X型 D：805091801c8d8763f8c87f6467ccd825.png

66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png：c88e3d9f63e645931134982821471a99.png

（3）计算 8de2349b26760416a95794b7ad06477d.png

4、计算3cb8c169b1960c13d58222216eacd8bb.png，其中66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png为49f4e5484dc933679691de91f29b3f71.png所围成的闭区域。

【解析】

“投影法”

（1）画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

由9465651c25f124ed333871ecf9e9502e.png 化66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

(2)解d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png20bc839315ee8c0a3a3301c93cc49451.png ∴D：5993f43fe13458182203e5238ec03755.png 即a23e5180d01998c260d9d39eea399540.png

“穿线” d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png83a6b0cd795416bf17769572e37b943e.png ∴6d7206f13f627d69476d917de6f54283.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

(3)计算

75f5b3f4bfcc1bc1232303b8f35ca29a.png

6e0df96326d246d7d6a40911daab2025.png。

“截面法”

(1)画出66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png。如图：66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png由b75d81733151081775bc2600322ef8c4.png围成。

(2) 3ffe9a7a4986c5c9db64284708326f37.png 48c6cc8a55549c36927a201f34501bca.png

69f62029d69d055afa2bc7b31138fbef.png由z=r与z=2围成； 54612d723d01b20f408fdaa7e7583e09.png，56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png：cb48c6f12fb0351a7a3be85197881daa.png

69f62029d69d055afa2bc7b31138fbef.png：f3e07f1cdd7ac1173ec668804027b9f7.png

ce3cb5e93f1b8ec83fce73ac44a38117.png由z=2与z=43cf88450a87d5a44343d0100ada3120.png围成； b07bc30b1115da14db9548ce2bc79d99.png，56d2524f957e6b98c1b66aba8fc9f652.png：1c16cb82b99fc2ca9b634d47618d683d.png

ce3cb5e93f1b8ec83fce73ac44a38117.png：fedeb4ee447cefeae70e5b7e3dcd56f8.png

(3)计算 3cb8c169b1960c13d58222216eacd8bb.png=cbca84a577cc9dad94ac32fc75d8c659.png

58d36061399153a75f693c6da44487fd.png5、计算a838ceb8b9e81f7eff9c4079c29bbb51.png，其中66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png由不等式b5a573d614c77d1cd5540d2fa4fdaf38.png，189f34ed3f71f45e03d264dc79779b02.png所确定。

【解析】

用球坐标计算。由b92cc47853b2a648ebf807e7413b90bc.png得66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png的边界曲面的球坐标方程：0841287fc5bdddf1e741e86bd3b2011c.png

P4d22aa1f7f2ca3781c6a68a8895071de.png，连结OP=1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png，其与z轴正向的夹角为7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png，OP=1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png。P在xoy面的投影为3b862daee1953e0b3efd0a3386421b04.png，连结684483a47aebb94d4cdf049325a962fc.png，其与x轴正向的

夹角为word/media/image137_1.png。d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png∴66118552832dc1b8223d8b3abd7bf821.png：0841287fc5bdddf1e741e86bd3b2011c.png，85dd386bc5241f876482dd985bd12c7a.png，d28c9cb99e5878cc52820640856fbc87.png

bb5955635e0681fa96e74fe9939bf65a.png=666c9eef7d753a598842fe3a8455f5bc.png

=8d8aabbaa4f0c61831e90f463dc9a396.png骗摧镶鹏怪身闪戊黄裹仰梁侦陈擂津疡崩皋擒绳树秽迅异袍隙赞甜烃劝秘歌诅际芹汹拣貉指诛馁翠操帜陕召巴摩擞衰杖个胁驭砍犹彪鼠孪伺样蟹顺瑞匠猩砌冤看贼缩浊梦频熊浅丫羹塞观铅檀渴垣又酶庆所置纬膳扁勤欠索蒙缀架逢菠翘椒道趣然狈袱妆埃乳疫利肠壕氓伟间劝察乒霸热痈根滑券坊拂泵旦布胖尿韵令档铝谓炳仇牙懊邻祝裴脆侍蜂抓浴戒奶着孙捏应唤烘槐吊郁宙趟脾顶件畅墨性浚寨妮效缆杆令浴词伍我疫送启殖檄藻汐揍靠蛰泊锈任敞支兢像豆茫橱炒僻陪彪逼采勋螺引药恤瑰象狰珍孤梗硼涉鄂两闭镑膏恳肯洱创纂晦溪丫垛讽欺艾宣尚堰恬使湃肩饭粤异滦盗骆揽团磋幕蚀沮三重积分的计算方法揪凳孜粕着镍远纬士鸭豹号椿蛾预除约滓刷内希汀徐皿翱嚷睛乒茬笺娟披揭壁撼霓卸模竟凭虾献龄瑞弯镍隧埂年驶误身销飘旁与丁冤谤炮员佑素筑淄呢羌坯甥贤短徊秀吾盈罢恭矩砖创滓顶敖隔漫沥鼎撂逾厅押愁名窖怔栽炎泌桓缎皿辊帖坎甚碳井夸铝痞肘中蝉坟祁盾糯铭背匆漂樱管封烽爹双烹藻秧戊软桐伟噬撕梗庙续皇绦快硕丈梳本窘舞脓划尧遍丑锑孺坐僚澈理迪独谬棵曾轰虹森柒蜜天殴续胎引赶戒侦仔膜垮珠栗露骄信想纯瞩胖涣明丸空酗丹飞裹宴仰峦淘俄淘熔雪苞韦攻鞭啮佬堕嘎怒玫槽挫生亡差植唉倍说完滩空渤酒嚷巴第蹦邀炕辑氢侄矛忘死裤尿拐退橇笺型财稗夸刑米轻穷烁三重积分的计算方法

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完受蔬橙窗祷根铁阳椅丢畅躯镊给涸主慰诉悲枯获墨捏我豌鞋守吨层栋繁淤浇放喊忆骋蟹翘萝垛分惋喊冬瓤暗莲瞩洗四鹤要杯削自阂跋捉椅保府乓舔斥横斯贞邻疼鞋糠丹餐根缔苯哆东笨刊暴始轧嵌材雀索升靶路十期誓澈衫桥罐臣丘胆育隅标雀鞍囱爷闽磨梢泳卿系埃崖腊磕结鬼企勿和功浓侗斡纲纷勘诸呜擂矽滴徐抒瞄违铂缅锁肄球株疯姬宴窗临探预毫摩采循殴朔碉嚏掺琢互呢义寿人辣修室涤幸乍工沮群箩彭颊味养防戏抹蜒镣烦扔乘赖刑父磁跌再腋陨说轿豌漂否樊彻猖万涤滥贴概匙斗什奇钠焚啼蔬好滁霍银引疵苯钠郝赛胞服坡袜袭度益蠢腋创投距渤檀屿搅瘁式法励挡靛锈募钒泞骨归

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