新高中数学湘教版必修二各章知识点的整合 文档

高中数学湘教版必修二各章知识点的整合

必修二第四章向量

平面向量知识回顾 基本知识点：

1.向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向word/media/image2_1.png (2)向量的表示：几何表示法 ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png，8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png；坐标表示法2e25bd2c4fe30c6cc4c3840c23db17f3.pngword/media/image2_1.png (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png｜word/media/image2_1.png (4)特殊的向量：零向量8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png＝bf0c66bb86cb816ab60b1e843bdb6208.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png｜8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png｜＝0. 单位向量4abeab396718a44b1c8a1aa1c507ef6f.png为单位向量ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png｜4abeab396718a44b1c8a1aa1c507ef6f.png｜＝1word/media/image2_1.png

(5)相等的向量：大小相等，方向相同 313933d00c924d25370aff73d81998fa.png 104673a89779a395b6bce383892e0e34.png

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png∥0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量word/media/image2_1.png

2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质word/media/image2_1.png

3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理 ：ede5574eb8438b6bc18c2c264e76e018.png是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数9b097b8a73295db69bccd0dbaa58ee1f.png，使c3c317fc3c98a175236481e5462b795a.pngword/media/image2_1.png

(2)两个向量平行的充要条件 8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png∥0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png＝λ0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png5287973818dc1db61ceafe6e21ede5b3.pngword/media/image2_1.png

(3)两个向量垂直的充要条件 8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png⊥0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png8fd082536a0a420385519d1473c9d27e.png·0f4c4ce0863d100a12c90c114fd9abeb.png＝Oce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnge00d5655f2c73928486bef7dc9d94d35.pngword/media/image2_1.png

(4)线段的定比分点公式 设点P分有向线段ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png所成的比为λ，即21ae25b3dd0d262781774e5b344da7af.png＝λb90361c2ee58927c770d465ce6981c8c.png，

则 3bb866111e621932872a9382172ed9c2.png＝b1e37d39e50b594d5d9ba98052ce85ca.png350be67680627ca76332983df858de14.png＋b1e37d39e50b594d5d9ba98052ce85ca.png9061c0f98c3218e20d40ac66ffce8aaa.png (向量公式) b2944a8434c55a10c97aad51f20a2031.png (坐标公式)

当λ＝1时，得中点公式： 3bb866111e621932872a9382172ed9c2.png＝93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png（350be67680627ca76332983df858de14.png＋9061c0f98c3218e20d40ac66ffce8aaa.png）或eba0e178678d88059f5ac09595297283.png

word/media/image2_1.png

平面向量的数量积

1. 两个向量的数量积：

已知两个非零向量word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png，它们的夹角为word/media/image37_1.png，则word/media/image35_1.png·word/media/image36_1.png＝︱word/media/image35_1.png︱·︱word/media/image36_1.png︱cosword/media/image37_1.png

叫做word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png的数量积（或内积），规定word/media/image38_1.png。

2. 向量的模与平方的关系：word/media/image39_1.png。

3. 乘法公式成立：

word/media/image40_1.png；

word/media/image41_1.pngword/media/image42_1.png

4. 平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：word/media/image43_1.png

②对实数的结合律成立：word/media/image44_1.png

③分配律成立：word/media/image45_1.pngword/media/image46_1.png

特别注意：（1）结合律不成立：word/media/image47_1.png

（2）消去律不成立：word/media/image48_1.pngword/media/image49_1.png不能得到word/media/image50_1.png

（3）word/media/image51_1.png＝0word/media/image49_1.png不能得到word/media/image52_1.png＝word/media/image53_1.png或word/media/image54_1.png＝word/media/image53_1.png

5. 两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量word/media/image55_1.png，则word/media/image35_1.png·word/media/image36_1.png＝word/media/image56_1.png

6. 向量的夹角：已知两个非零向量word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png，作word/media/image57_1.png＝word/media/image35_1.png，word/media/image58_1.png＝word/media/image36_1.png，则∠AOB＝word/media/image37_1.png （word/media/image59_1.png）叫做向量word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png的夹角。

cos word/media/image37_1.png ＝word/media/image60_1.png＝word/media/image61_1.png

当且仅当两个非零向量word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png同方向时，θ＝0°，当且仅当word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png反方向时θ＝180°，同时word/media/image62_1.png与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

7. 垂直：如果word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png的夹角为90°则称word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png垂直，记作word/media/image35_1.png⊥word/media/image36_1.png。

8. 两个非零向量垂直的条件：

word/media/image63_1.png⊥word/media/image64_1.pngword/media/image65_1.pngword/media/image63_1.png·word/media/image64_1.png＝0word/media/image65_1.pngword/media/image66_1.png。

【典型例题】

例1. 判断下列各命题正确与否：

（1）word/media/image67_1.png；

（2）word/media/image68_1.png；

（3）若word/media/image69_1.png，则word/media/image70_1.png；

（4）若word/media/image71_1.png，则word/media/image72_1.png当且仅当word/media/image73_1.png时成立；

（5）word/media/image74_1.png对任意word/media/image75_1.png向量都成立；

（6）对任意向量word/media/image76_1.png，有word/media/image77_1.png。

例2. 已知两单位向量word/media/image78_1.png与word/media/image79_1.png的夹角为word/media/image80_1.png，若word/media/image81_1.png，试求word/media/image82_1.png与word/media/image83_1.png的夹角。

例3. 已知word/media/image84_1.png，word/media/image85_1.png，word/media/image86_1.pngword/media/image87_1.png，按下列条件求实数word/media/image88_1.png的值。

（1）word/media/image89_1.png；（2）word/media/image90_1.png；word/media/image91_1.png

例4. 已知word/media/image92_1.png＝（１，word/media/image93_1.png），word/media/image94_1.png＝（word/media/image93_1.png＋１，word/media/image93_1.png－１），则word/media/image92_1.png与word/media/image94_1.png的夹角是多少?（θ＝word/media/image95_1.png）

例5. 在△ABC中，word/media/image96_1.png＝（2，3），word/media/image97_1.png＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，求k值。（k ＝word/media/image98_1.png ；k ＝word/media/image99_1.png ，k ＝word/media/image100_1.png ）

例6. 已知word/media/image92_1.png＝（3，4），word/media/image94_1.png＝（4，3），求x，y的值使（xword/media/image92_1.png+yword/media/image94_1.png）⊥word/media/image92_1.png，且｜xword/media/image92_1.png+yword/media/image94_1.png｜＝1。（word/media/image101_1.png）

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 若word/media/image92_1.png＝（－4，3），word/media/image94_1.png＝（5，6），则word/media/image102_1.png－4word/media/image103_1.png＝（ ）

A. 23 B. 57 C. 63 D. 83

2. 已知word/media/image92_1.png＝（1，2），word/media/image94_1.png＝（2，3），word/media/image104_1.png＝（－2，5），则△ABC为（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不等边三角形

3. 已知word/media/image92_1.png＝（4，3），向量word/media/image94_1.png是垂直word/media/image92_1.png的单位向量，则word/media/image94_1.png等于（ ）

A. word/media/image105_1.png或word/media/image106_1.png B. word/media/image107_1.png或word/media/image108_1.png

C. word/media/image109_1.png或word/media/image110_1.png D. word/media/image111_1.png或word/media/image112_1.png

4. 已知word/media/image92_1.png＝（λ，2），word/media/image94_1.png＝（－3，5）且word/media/image92_1.png与word/media/image94_1.png的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）

A. λ＞word/media/image113_1.png B. λ≥word/media/image113_1.png C. λ＜word/media/image113_1.png D. λ≤word/media/image113_1.png

5. 给定两个向量word/media/image92_1.png＝（3，4），word/media/image94_1.png＝（2，－1）且（word/media/image92_1.png+xword/media/image94_1.png）⊥（word/media/image92_1.png－word/media/image94_1.png），则x等于（ ）

A. 23 B. word/media/image114_1.png C. word/media/image115_1.png D. word/media/image116_1.png

6、已知A(2,1),B(3,2),C(－1,4),则ΔABC是（ ）

A．锐角Δ B．Rt Δ C．钝角Δ D．任意Δ

7、已知a=(2,3) ,b=(－4,7) ,则a在b上的投影值为（ ）

A．8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png B．154b450207eb02a18cb2ec938141e7ca.png C．524d594298374f163a7995251e8577ff.png D．fcdbb8864f2646002f01b983ebc214c4.png

8、已知a=(2,1) , b =(3,x), 若(2a－b)⊥b,则x的值为（ ）

A．3 B．－1 C．－1或3 D．－3或1

9、A(0,－3)、B(3,3)、C(x,－1),且∥ 则x等于（ ）

A．5 B．1 C．－1 D．－5

10、若向量a = (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于（ ）

A．－93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pnga+bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.pngb B．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pnga－ bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.pngb C．bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.pnga－ 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngb D．－ bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.pnga+ 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngb

11、已知a=(4,2), b= (6,y)且 a∥b,则y的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

12、若向量a=(1,－2) , | b| = 4 |a|,且a,b共线,则b可能是（ ）

A．(4,8) B．(－4,8) C．(－4,－8) D．(8,4)

13、已知a=(3,4) ,b⊥a且b的起点为(1,2),终点为(x,3x), 则b=_______.

14、已知a=(2,4), b=(－1,－3),c=(－3,2). 则|3a+2b|=________.

15、已知a=(2,－1), b=(λ,3).

1)若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是________.

2)若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是_________.

3)若a⊥b,则λ的取值范围是_________.

4)若a∥b,则λ的取值范围是_________.

16、在平行四边形ABCD中,已知|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,则· =______, · =_______.

17. word/media/image92_1.png＝（2，3），word/media/image94_1.png＝（－2，4），则（word/media/image92_1.png+word/media/image94_1.png）·（word/media/image92_1.png－word/media/image94_1.png）＝ 。

18. 已知word/media/image92_1.png＝（3，2），word/media/image94_1.png＝（－1，－1），若点P（x，－word/media/image127_1.png）在线段word/media/image128_1.png的中垂线上，则x＝ 。

19. 已知word/media/image92_1.png＝（1，0），word/media/image94_1.png＝（3，1），word/media/image104_1.png＝（2，0），且word/media/image92_1.png＝word/media/image129_1.png，word/media/image94_1.png＝word/media/image130_1.png，则word/media/image92_1.png与word/media/image94_1.png的夹角为 。

20. 已知|word/media/image92_1.png|＝word/media/image131_1.png，word/media/image94_1.png＝（1，2）且word/media/image92_1.png∥word/media/image94_1.png，则word/media/image92_1.png的坐标为 。

21. 已知word/media/image92_1.png＝（1，2），word/media/image94_1.png＝（1，1），word/media/image104_1.png＝word/media/image94_1.png－kword/media/image92_1.png，若word/media/image104_1.png⊥word/media/image92_1.png，则word/media/image104_1.png＝ 。

22. 已知word/media/image92_1.png＝（3，0），word/media/image94_1.png＝（k，5）且word/media/image92_1.png与word/media/image94_1.png的夹角为word/media/image132_1.png，则k的值为 。

23. 已知word/media/image92_1.png＝（3，－1），word/media/image94_1.png＝（1，2），求满足条件x·word/media/image92_1.png＝9与x·word/media/image94_1.png＝－4的向量x。

24. 已知word/media/image133_1.pngABC的三顶点分别为A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和word/media/image134_1.png的坐标。

25、平面向量a = (3,－4), b= (2,x), c=(2,y),已知a∥b,a⊥c,求b,c及b,c的夹角.

26、已知向量a= (4,3), b=(－1,2),①求a、b的夹角； ②若向量a－λb与2a+b垂直,求λ的值.

27、设向量 =(3,1) , =( －1,2),向量 ⊥ , ∥ ,又 + = ,求 .

28、已知92208d618b95db80e56bb9fa608a1891.png.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.

第3章三角函数和第5章三角恒等变换 知识要点

1. word/media/image140.gif与ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png（0°≤ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png＜360°）终边相同的角的集合（角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的终边重合）：7563f27c8db52e1434fa1edd9be2d0d1.png

word/media/image144.gif终边在x轴上的角的集合： 9a8f229559351dccc6a8ed92902cb26a.pngword/media/image146.gif终边在y轴上的角的集合：7f5ca76b523cd18137b3e872f0bbed0b.png

word/media/image148.gif终边在坐标轴上的角的集合：162abf92ca98b1f9d1b024c3b1fd8a46.pngword/media/image150.gif终边在y=x轴上的角的集合：bb86251cba843336dd1c1ac52c5cc2b1.png

word/media/image152.gif终边在9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png轴上的角的集合：ea80b7f48888e481c65a1ad7fcf88308.png

word/media/image155.gif若角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的终边关于x轴对称，则角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的关系：8a35186c486afb4a5b0c2863f1f46fdc.png

word/media/image157.gif若角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的终边关于y轴对称，则角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的关系：3b3d9dd50787206436d2cf06e4abbfa0.png

word/media/image159.gif若角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的终边在一条直线上，则角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的关系：da6395ee1475439b77cd86ded43fcacf.png

word/media/image161.gif角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的终边互相垂直，则角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png与角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的关系：ff810caba1724af55a20299081ace6ac.png

2. 角度与弧度的互换关系：360°=231bf0b12546409e15021243132fc7574.png 180°=31bf0b12546409e15021243132fc7574.png 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式： 1rad＝d08778a76ec0d06a57204e1bee78b652.png°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝30e09f9d82c86a265b3a74638292624c.png≈0.01745（rad）

word/media/image166_1.png3、弧长公式：e691e10e3f13415bc1787eb9b31d1393.png. 扇形面积公式：93a8a4fa60fb78cca5e9c5f6c76ea688.png

4、三角函数：设ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png是一个任意角，在ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 da3b10a0f6eb75727cf684fdc03ec164.png； 59e738e499a47d3431af935a7233ba40.png； 36889a039baa43e428a81bdf80e30b6e.png； 3e24d5eab5f248f43bc7ae01f73cece2.png； 0a9f628948aeb8c7a3d6ff7bc1c5622b.png；. 69f086958be16c716b1d40c5a90da999.png.

word/media/image176_1.png5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

word/media/image177_1.png

word/media/image178_1.png6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

8、同角三角函数的基本关系式：21e356d14cca9f3335e90860b584870c.png 9430550218649c60c92b5586f61f54cd.png

22c08420f79a14a02324e38474f8e59a.png 106f179c89947c06921856e591cd9c5c.png 3e63512829686756c946f6968d2ac5b3.png

cb7eb37ade2a3d34f4fa029d544b1862.png 695714dc8a730adbe07e647cc70178fa.png cf5e1af44fbceaa09d383f8d229f0b90.png

9、诱导公式：38aab7bb44d0fb57022458ad024ca49a.png “奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

word/media/image193.gif

公式组二 公式组三

f1295fc4ae416eb3d312ca67026e63f7.png 0f57bb138ed0c5821065746b081128a1.png

公式组四 公式组五 公式组六

f875051f2f92925d0ebc33cf0b3cb21d.png e016b45d3ad6e7076b99bb97af94058f.png 5a6f51cf639456d1ec68812839eb5b51.png

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

f76ace6f56b09b9a7fa5038b3c6f9728.png ecd15780f55347ab887289256f2baa37.png

41b33a6a78134526871fad0728583546.png b6dbd85fa17003540faf928b01fac822.png

502248dd1112d2fd62381609fce682e0.png 3a2e1cddc1d990e4d59f290faf85e0e8.png

ca44f316cb37e91525003d41500bbd4f.png cec15a278fe63c4c08dec9394bf7e2ec.png

099f1cdd509378b128b87a0716b2a4b4.png 7e6f2b18c1a32ed8c8f359f1509cbe13.png

word/media/image209_1.pngeee418ccc85610e3db2adfdfffe83369.png

word/media/image211.gif公式组三 公式组四 公式组五

c4ca2e94e72cbe9512ea522afae302c7.png

word/media/image213.gif3eb3fec0e1eb64c71f08469349a403af.png

f5c777173f90aadba867c8906f16a886.png

e84ccfc30b596a45424c0a28ac866023.png,c38e65df6b4cafb0267d58812689e25e.png,d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png,baf61633137b652868f2ac16968eec61.png.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

word/media/image243.gif注意：word/media/image140.gif b71788ef38cdd1424a88bc0a80e26f9e.png与e532f3d8ea858571785762423ba1bc05.png的单调性正好相反；98eea60584f7ee0ec5735d930f25093d.png与980f24c5b7a01089a1514b886f14e3ae.png的单调性也同样相反.一般地，若7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上递增（减），则fc38054cc3be81421033782c9ca26b10.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上递减（增）.

word/media/image144.gif49eea500a5b465cb804789f9de710ed6.png与deb50ed4c7c6aa2fa6016177f67e0402.png的周期是31bf0b12546409e15021243132fc7574.png.

word/media/image146.gifae10d3e58e961e5826d906d26a1ef99c.png或a7379b8ed4c6a1a0fbfe65e29a867648.png（715de47280444b201e61b299fe499687.png）的周期ba31d20fad3c9c95c55ef765b39297c8.png.

81d7ef076c98fe2fd7d7d64e1ac9a9f6.png的周期为231bf0b12546409e15021243132fc7574.png（1924d5b5ee064945f5d3775f7a061c75.png，如图，翻折无效）.

word/media/image148.gifae10d3e58e961e5826d906d26a1ef99c.png的对称轴方程是5fe4cc3f16cbffb4dd3aefd9fb95ee0f.png（6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png），对称中心（0af469afb26b02a3d367f17b1b9be643.png）；a7379b8ed4c6a1a0fbfe65e29a867648.png的对称轴方程是db9376837afe82ccca21b5ea590850a2.png（6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png），对称中心（7aa3559a617b8342f44d2495c95299fb.png）；bae9eea9d4e606a3664ec5a82dd9859e.png的对称中心（d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png）.

fcf727398a24e71432be853fc8b31558.png

word/media/image150.gif当ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png·a5b7a7d09720a190534d908c22b2e111.png829aa6cef8c0cd38e8026bfbb42fe818.png；ec096c82525319c3b3525c0819f5162a.png·52ebbb17b2e1521319493b404be7ab16.png5ca991ddf96ec1e920bdcadcb0700cd0.png.

word/media/image152.gif980f24c5b7a01089a1514b886f14e3ae.png与ec313262fc3e1258eb16c52a59d9e055.png是同一函数,而d5b0a2c30625a48a0f2b1b5b1ea716a4.png是偶函数，则

word/media/image275_1.png.

word/media/image155.gif函数289c90ec2e74fa1f8b2495f15f1a2da9.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，289c90ec2e74fa1f8b2495f15f1a2da9.png为增函数，同样也是错误的].

word/media/image157.gif定义域关于原点对称是50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：8687c89644dcd63c0bc1b2c1519733e9.png，奇函数：cf63df52ff11aba66ee8106b6af91282.png）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：289c90ec2e74fa1f8b2495f15f1a2da9.png是奇函数，326c0caf17fbf4619d6faf28dd1f8baa.png是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若c155bc1d02549f421bbdad3ef67c50b0.png的定义域，则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png一定有e2a061a5ee974f36bf4280bac3962260.png.（8e477755975b02262aa1a0d8486b85a8.png的定义域，则无此性质）

word/media/image287.gifword/media/image159.gifword/media/image288_1.png不是周期函数；49eea500a5b465cb804789f9de710ed6.png为周期函数（db6ad471a30860374f0913776190eacb.png）；

a19a080b228a644132d642c0259f374f.png是周期函数（如图）；deb50ed4c7c6aa2fa6016177f67e0402.png为周期函数（db6ad471a30860374f0913776190eacb.png）；

2edf7446f2ea4d87eab11a9b335f45c6.png的周期为31bf0b12546409e15021243132fc7574.png（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

d645f2874fa2a5f1eff5caca627e5a77.png.

word/media/image296.giff38ac63ef40d3a48f6753cc0f6aafb75.png 有7aaa8c88eba8d7c60eb38401f54b9519.png.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期10dfbe8c16d9eb398be8afdc67c28506.png，频率0c0710e7fc1dd1d74858a5f063744f2d.png，相位a8c6d3cf4e0b4c3013f1bb3dbd227ed0.png初相6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的56fc1d1134f96e3ee699188354a8b559.png倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7f4dbb17fc4ffe473368ab2b.html