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对数换底
教材中要求证明换底公式，同学们虽然会证此题，但对其理解不深，应用不力，故下面加以补充．
一、换底公式及证明
换底公式：![]()
word/media/image1_1.png．
证明：设![]()
word/media/image2_1.png＝x，则![]()
word/media/image3_1.png＝N．
两边均取以a为底的对数，得
![]()
word/media/image4_1.png，
∴![]()
word/media/image5_1.png．
∴![]()
word/media/image6_1.png．即![]()
word/media/image1_1.png．
二、应用
1．乘积型
通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．
例1 计算![]()
word/media/image7_1.png．
解：换为常用对数，得
![]()
word/media/image7_1.png＝![]()
word/media/image8_1.png．
例2 求证：![]()
word/media/image9_1.png．
证明：由换底公式，得
![]()
word/media/image10_1.png．
2．知值求值型
这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．
例3 已知![]()
word/media/image11_1.png＝a，求![]()
word/media/image12_1.png的值．
分析：本题可选择以3为底进行解题．
解：![]()
word/media/image11_1.png＝![]()
word/media/image13_1.png，解得![]()
word/media/image14_1.png．
故![]()
word/media/image12_1.png＝![]()
word/media/image15_1.png．
3．综合型
例4 设A＝![]()
word/media/image16_1.png，B＝![]()
word/media/image17_1.png，试比较A与B的大小．
解：A换成以19为底，B换成为![]()
word/media/image18_1.png为底，则有
A＝log195＋2log193＋3 log192＝log19360＜2，
B＝![]()
word/media/image19_1.png．
故A＜B．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7c213eda68eae009581b6bd97f1922791688be9a.html
