2008考研数农真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试

农学门类联考数学试题

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的.

(1) 设函数,则 ( )

(A)为可去间断点,为无穷间断点.

(B)为无穷间断点,为可去间断点.

(C)和均为可去间断点.

(D)和均为无穷间断点.

(2) 设函数可微,则的微分 ( )

(A). (B).

(C). (D).

(3) 设函数连续, ,则 ( )

(A). (B). (C). (D).

(4) 设函数连续,交换二次积分次序得 ( )

(A). (B).

(C). (D).

(5) 设为3维列向量,矩阵,若行列式,则行列式 ( )

(A). (B). (C). (D).

(6) 已知向量组线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( )

(A). (B).

(C). (D).

(7) 设为3个随机事件,下列结论中正确的是 ( )

(A) 若相互独立,则两两独立.

(B) 若两两独立,则相互独立.

(C) 若,则相互独立.

(D) 若与独立,与独立,则与独立.

(8) 设随机变量服从参数为的二项分布,则 ( )

(A). (B).

(C). (D).

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.

(9) 函数的极小值为______________.

(10) ______________.

(11) 曲线在点处的切线方程是______________.

(12) 设,则______________.

(13) 设3阶矩阵的特征值为1,2,3,则行列式______________.

(14) 设为来自正态总体的简单随机样本,为其样本均值,则______________.

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

求极限.

(16)(本题满分10分)

计算不定积分.

(17)(本题满分10分)

求微分方程满足初始条件的特解.

(18)(本题满分11分)

证明：当时,.

(19)(本题满分11分)

设,求,及.

(20)(本题满分9分)

设3阶矩阵满足等式,其中, ,求矩阵.

(21)(本题满分12分)

对于线性方程组

讨论取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,并在方程组有无穷多解时,求出通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量的概率密度为且的数学期望,

(I) 求常数；

(II) 求的分布函数.

(23)(本题满分10分)

设二维随机变量的概率分布为

(I) 分别求关于的边缘分布；

(II) 求；

(III) 求.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

农学门类联考数学试题解析

一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的.

(1)【答案】(B)

【解析】函数在点没有定义,而

,所以为无穷间断点；

,所以为可去间断点.

故选(B).

(2)【答案】(D)

【解析】,

故选(D).

(3)【答案】(C)

【解析】由于,则

,

故选(C).

(4)【答案】(A)

【解析】积分区域如右图所示.由于

所以, ,

故选(A).

(5)【答案】(D)

【解析】根据行列式的性质,有

故选(D).

(6)【答案】(C)

【解析】对于A、B、D选项,由于

；

；

,

根据线性相关的定义可知,A、B、D选项中的向量组都是线性相关的.由排除法可得C正确.

事实上,可以根据定义证明选项C正确.

设 ,

整理得 .

由于向量组线性无关,所以此线性方程组的系数矩阵

.

由于 ,

所以方程组只有零解,即.

由线性无关的定义可知,向量组线性无关.

(7)【答案】(A)

【解析】若相互独立,由相互独立的定义可知,

由此可得两两独立,故(A)正确；

对于选项(B),若两两独立,则

但不一定成立,即不一定相互独立,(B)不正确；

根据相互独立的定义可知,选项(C)显然不正确；

对于选项(D),令事件,则与独立,与独立,但与不一定独立.故选项(D)不正确.

(8)【答案】(D)

【解析】服从参数为的二项分布,则

.

由期望和方差的性质,可得

故选项(D)正确,应选(D).

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.

(9)【答案】

【解析】令,可得., ,根据极值的第二充分条件,可得为函数的极小值点,极小值为.

(10)【答案】

【解析】.

(11)【答案】

【解析】首先求.方程两边对求导,得

,

将代入上式,得,即切线的斜率为1,所以,切线方程为.

(12)【答案】

【解析】作极坐标变换,则

,

(13)【答案】

【解析】由于的特征值为1,2,3,所以

,

.

(14)【答案】

【解析】由于为来自正态总体的简单随机样本,所以

又由于,而

所以 .

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

【解析】 .

(16)(本题满分10分)

【解析】令

(17)(本题满分10分)

【解析】原方程可化为,则

将代入得,故所求特解为.

(18)(本题满分11分)

【解析】设 ,

则 .

当时, ,则单调增加,故单调增加.于是

,即.

(19)(本题满分11分)

【解析】 ,

,

(20)(本题满分9分)

【解析】由,得,其中为单位矩阵.

.

因为,所以可逆,.而

,

则 .

(21)(本题满分12分)

【解析】解法1 方程组系数行列式.

当时,即时,由克莱姆法则知方程组有唯一解；

当时,方程组的系数矩阵,

对方程组的增广矩阵施行初等行变换得

.

当时, ,线性方程组无解；

当时, ,线性方程组有无穷多解,其通解为

,其中为任意常数.

解法2 方程组的系数矩阵,

对方程组的增广矩阵施行初等行变换得

.

当时, ,线性方程组无解；

当任意时, ,线性方程组有唯一解；

当时, ,线性方程组有无穷多解,其通解为

,其中为任意常数.

(22)(本题满分11分)

【解析】(I) 由知,

而由知,

解得.

(II) 当时,；

当时,；

当时,；

当时,；

即

(23)(本题满分10分)

【解析】(I)关于的边缘分布为 ,

关于的边缘分布.

(II)

.

或 .

(III) .

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7b9fea426edb6f1aff001ff8.html