临沂大学线性代数期末试卷

第一部分 选择题 (共28分)

一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.如果行列式，则 -16 。

2.设，则 0 。

2.设矩阵A=，则A-1等于（ ）

A. B.

C. D.

3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）

A. –6 B. 6

C. 2 D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）

A. A =0 B. BC时A=0

C. A0时B=C D. |A|0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）

A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）

A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）

A.秩(A) B.秩(A)=n-1

C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）

A. k≤3 B. k<3

C. k=3 D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）

A.|A|2必为1 B.|A|必为1

C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）

A. B.

C. D.

第二部分 非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

15. .

16.设A=，B=.则A+2B= .

17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.

26.试计算行列式.

27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.

试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=.

求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形

f(x1,x2,x3)=，

并写出所用的满秩线性变换。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）

3.B 4.D 5.C

6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）

15. 6

16.

17. 4

18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数

20. n-r

21. –5

22. –2

23. 1

24.

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.解（1）ABT=

=.

（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

|A|=.

所以|4A|=64·（-2）=-128

26.解

=

=

27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1=

所以 B=(A-2E)-1A=

=

28.解一

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

即

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

A

=B.

（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

经正交标准化，得η1=，η2=.

λ=-8的一个特征向量为

ξ3=，经单位化得η3=

所求正交矩阵为 T=.

对角矩阵 D=

（也可取T=.）

31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

设， 即，

因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。

经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .

临沂大学信息学院

一．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

1. .

2.设，则 .

3.设则 .

4.行列式 .

5.已知矩阵，是的伴随矩阵，则 .

6.、分别为线性方程组的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组有解的充分必要条件是 .

7.设，且秩(A)=2，则 　.

8.设为三阶方阵, 且, 则 　.

9.向量组的秩等于 .

10.设是元齐次线性方程组的基础解系，则 .

二、选择题（每小题2分，共20分）

1.已知，则中元素的代数余子式等于（ ）.

. . . .

2.已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值分别为，则（ ）.

. . . .

3.均为阶矩阵，且，则必有（ ）.

. . . .

4.设A、B均为n阶矩阵，满足，则必有（ ）.

. . .或 .或

5.设阶矩阵，，其中均为3维列向量，若，，则（ ）.

. . . .

6.设为个未知数个方程的线性方程组，下列命题中正确的是（ ）.

.当时，有唯一解 .当时，有唯一解

.当时，有解 .当时，有无穷多解

7.若齐次线性方程组有非零解,则（ ）.

.1或2 .1或－2 .－1或2 .－1或－2

8.n阶矩阵A的秩的充分必要条件是A中（ ）.

.所有的阶子式都不等于零 .所有的阶子式都不等于零

.有一个阶子式不等于零 .有一个阶子式不等于零, 且所有阶子式都等于零

9.设向量组，则线性无关的充分必要条件是 （ ）.

.全不为0 .不全为0 .互不相等 .不全相等

10.已知为的两个不同的解，为其齐次方程组基础解系，为任意常数，则方程组的通解可表成（ ）.

. .

. .

三、（8分）计算行列式

四、（10分）设，且。（1）计算；（2）；（3）求矩阵。

五、（12分）取何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多组解？并在有无穷多解的情况下，求出其通解。

六、（10分）求下列向量组的秩与它的一个极大线性无关组，并用极大无关组表示该组中的其余向量。

七、(12分)给定线性方程组

（1）利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，并表达出线性方程组的一般解；

（2）求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系，表示出线性方程组的全部解。

八、（8分）设为的基础解系。证明，，也是的基础解系。

线性代数期末试题答案

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.6 2. 3. 4.5 5.

6. 7. 8. 9. 10.

二、选择题（每小题2分，共20分）

1.B 2.C 3.D 4.D 5.A

6.C 7.B 8.D 9.C 10.B

三、（8分)解：

四、（10分）解：（1）

（2）

(3) 由，得

五、（12分）解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：

所以，⑴ 当且时，，此时线性方程组有唯一解．

⑵ 当时，，，此时线性方程组无解．

⑶ 当时，，此时线性方程组有无穷多组解．

此时，原线性方程组化为 因此，原线性方程组的通解为

或者写为

六、（10分）解：记向量组对应矩阵为并化为行阶梯形矩阵为

所以向量组的秩为3

且它的一个最大无关组为：或

七、（12分）解：（1）.

（2）.线性方程组的特解：；

导出组的基础解系：

全部解：。

八、（8分）证明：只要证明是线性无关即可，

令

线性无关，

只有零解，即 线性无关。

即 ，，也是的基础解系。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7b437425e2bd960590c677b2.html