课程名称:高等数学I课程类别:必修考试方式:闭卷
注意事项:1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 得分 |
得分 | |||||||||
评阅人 | |||||||||
1.下列各式正确的是:()
A. B. C. D.
2.当时,与等价的无穷小量是:()
A. B. C. D.
3.设在的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是:()
A.存在B.存在
C.存在D.存在
4.函数在区间上的最小值是:()
A.0 B.没有C.2 D.
5.函数在区间上应用罗尔定理时,所得到的中值()
A.0 B.1C. D.2
6.设函数处处可导,那么:()
A. B. C. D.
7.设为函数的极值点,则下列论述正确的是()
A. B. C. D.以上都不对
得分 | |
二、填空题(每小题3分,共21分)
1.极限=.
2.极限=.
3.设函数f(x)=在点x=2处连续,则.
4.函数的间断点为.
5.函数的单调减区间为.
6.设函数,则.
7.椭圆曲线在相应的点处的切线方程为.
得分 | |
三、求下列极限(每小题6分,共18分)
1.求极限
2.求极限
3.求极限
1.设函数,求与.
2.设是由方程确定的隐函数,求.
3.计算函数的一阶导数.
五、(本题6分)求函数的凹凸区间与拐点.
得分 | |
得分 | |
六、(本题6分)
设函数在上二阶可导,函数,试确定常数的值,使得函数在点二阶可导.
得分 | |
七、(本题5分)证明:当时,.
得分 | |
八、(本题5分)设函数在上连续,在内可导,且,.试证:必存在一点,使得.
浙江农林大学2016-2017学年第一学期期中考试
参考答案
一、 单项选择题
DBDDACD
二、填空题(每小题3分,共21分)
1.12.2;3.7;4.;
5.;6.;7.
三、求下列极限(每小题6分,共18分)
1.求极限
解:原式=………3分
………4分
………6分
2.求极限
解:原式=………2分
=………5分
………6分
3.求极限
解:原式=………2分
=………4分
=………6分
四、计算下列导数或微分(每小题分6,共18分)
1.设函数,求与.
解:………4分
………6分
2.设是由方程确定的隐函数,求.
解:方程两边同时对变量求导并化简可得:
从而得到:,………2分
上式继续对变量求导可得:………4分
化简上式并带入可得:………6分
3.计算函数的一阶导数.
解:两边同时取对数得:………(2分)
两边同时对求导得:………(5分)
从而得 ………(6分)
五、(本题6分)求函数的凹凸区间与拐点.
解:函数的定义域为,,
,不存在。………2分
………4分
可知函数在和上是凹的,在内是凸的,拐点为.………6分
六、(本题6分)
设函数在上二阶可导,函数,试确定常数的值,使得函数在点二阶可导.
解:因为在点二阶可导,所以,在点一阶可导、连续。
由在点连续可得:,从而……2分
由在点可导可得:,从而………4分
从而可知:
又由在点二阶可导可得:,从而………6分
七、(本题5分)证明:当时,.
证明:令,则……1分
因为,从而在时单调递增,………3分
从而,从而………5分
八、(本题5分)
设函数在上连续,在内可导,且,.试证:必存在一点,使得.
证明:因为函数在上连续,从而函数在上连续,
故在上有最大值和最小值,分别设为,
于是,………2分
从而由介值定理可得,至少存在一点,
使得,………3分
可验证在上满足罗尔定理的条件,
故存在,使得.………5分
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