上海民办扬波中学数学全等三角形章末练习卷（Word版 含解析）

上海民办扬波中学数学全等三角形章末练习卷（Word版 含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.

【详解】

如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，

此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，

如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，

此时CP=AC，

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，

所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，

故答案为1≤CP≤5.

【点睛】

本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.

2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在中，，过作一直线交于，若把分割成两个等腰三角形，则的度数是______．

（2）已知在中，，过顶点和顶点对边上一点的直线，把分割成两个等腰三角形，则的最小度数为________．

【答案】

【解析】

【分析】

（1）由题意得：DA=DB，结合，即可得到答案；

（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出的度数，即可得到答案．

【详解】

（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，

当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，

∴∠BDA=180°-25°×2=130°．

故答案为：130°；

（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠BAC=90°．

②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，

∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=3∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴7∠BAC=180°，

∴∠BAC= ．

综上所述，∠A的最小度数为：．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．

3．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】

如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB= ∠P'O P''=30°.

【详解】

解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，

由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"

∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小

∴P'P"=5

由对称OP=OP'=OP"=5

∴△P'OP"为等边三角形

∴∠P'OP"=60

∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA

∴∠AOB= ∠P'O P''=30°.

故答案为30°.

【点睛】

本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.

4．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为_______.

【答案】4

【解析】

【分析】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

【详解】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠BCD=∠DBC=20°．

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠DBA=∠DCA=90°．

在Rt△BDF和Rt△CND中，

∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，

∴△BDF≌△CDN，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．

∵∠MDN=70°，

∴∠BDM+∠CDN=70°，

∴∠BDM+∠BDF=70°，

∴∠FDM=70°=∠MDN．

∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，

∴△DMN≌△DMF，

∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．

故答案为：4．

【点睛】

本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．

5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____．

【答案】2n．

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．

【详解】

解：∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1＝A2B1，

∵∠MON＝30°，

∵OA2＝4，

∴OA1＝A1B1＝2，

∴A2B1＝2，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，

∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，

∴A3B3＝4B1A2＝8，

A4B4＝8B1A2＝16，

A5B5＝16B1A2＝32，

以此类推△AnBnAn+1的边长为 2n．

故答案为：2n．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．

6．如图,在中, 是的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且,,则______．

【答案】4．

【解析】

【分析】

连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF可得DE=CF，然后可得ED长．

【详解】

解：连接BE，BF，

∵△ABD是△ABC的轴对称图形，

∴△ABD≌△ACB，

∴DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，

∴∠BCF=90°，

∵点B恰好在EF的垂直平分线上，

∴BE=BF，

在Rt△DBE和Rt△CBF中

，

∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），

∴DE=CF，

设DE=x，则CF=x，

∵AE=5，AF=13，

∴AC=AD=5+x，

∴AF=5+2x，

∴5+2x=13，

∴x=4，

∴DE=4，

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．

7．如图，已知，平分，，若，，则=____________．

【答案】

【解析】

【分析】

延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F.由已知条件推出△BEM是等边三角形，△FDE是等边三角形，在△DNM中求出NM的长度，即可求出BC的长度.

【详解】

如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F，

∵，平分，∴AN⊥BC，BN=CN，

∵，∴△BEM是等边三角形，

∴△FDE是等边三角形，

∵，，∴，

∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，∴，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.

8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．

【详解】

延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：

∵M为EF中点，

∴ME＝MF，

在△BME和△GMF中，

，

∴△BME≌△GMF（SAS），

∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，

∴FG∥BE，

∴∠C＝∠GFC，

∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，

∴∠A＝∠DFG，

∵AB＝BE，

∴AB＝FG，

在△DAB和△DFG中，

，

∴△DAB≌△DFG（SAS），

∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，

∵MG＝BM，

∴DM⊥BM，

∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝×BG×DM＝×8×3＝12，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．

【答案】8cm.

【解析】

【详解】

解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=6cm，DE=2cm，

∴DM=4，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=36°，

∴NM=2，

∴BN=4，

∴BC=8．

10．如图：在中，，为边上的两个点，且，，若，则的大小为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD，用∠A表示∠AEC,用∠B表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE的度数.

【详解】

∵∠ACB=1080，

∴∠A+∠B=1800-1080=720,

∵AC=AE,BC=BD,

∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,

∴

=

∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，

∴

=

=

=

=360

【点睛】

此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是a，是等边三角形QKM的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长．

连接AD、DF、DB．

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，

∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，

∵∠AFE=∠ABC=120°，

∴∠AFD=∠ABD=90°，

在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），

∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，

∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，

∴AD∥EF，

∵G、I分别为AF、DE中点，

∴GI∥EF∥AD，

∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，

∴∠EDM=60°=∠M，

∴ED=EM，

同理AF=QF，

即AF=QF=EF=EM，

∵等边三角形QKM的边长是a，

∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，

过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，

则FZ∥EN，

∵EF∥GI，

∴四边形FZNE是平行四边形，

∴EF=ZN=a，

∵GF=AF=×a=a，∠FGI=60°（已证），

∴∠GFZ=30°，

∴GZ=GF=a，

同理IN=a，

∴GI=a+a+a=a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；

同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；

同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；

第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；

第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，

即第六个正六边形的边长是×a，

故选A．

12．如图，，平分，且，若点分别在上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.

【详解】

解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，，

∴∠EOP=∠POF=60°，

∵OE=OF=OP，

∴△OPE，△OPF是等边三角形，

∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，

∴∠EPM=∠OPN，

在△PEM和△PON中，

∴△PEM≌△PON（ASA）．

∴PM=PN，

∵∠MPN=60°，

∴△PNM是等边三角形，

∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个．

故选：D．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.

13．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（ ）

A．1个 B．4个 C．7个 D．10个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．

解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，

可知P点为等边△ABC的垂心；

因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，

每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．

故选D．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．

14．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为32以及BC＝12，可得DE＝8，利用中位线定理可求出PQ．

【详解】

∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴∠ABQ＝∠EBQ，

∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，

∴∠BAQ＝∠BEQ，

∴AB＝BE，同理：CA＝CD，

∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，

∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，

∴PQ＝DE＝4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．

15．如图，△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，D为△ABC内一点 ，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连DE，CE. 下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC ；③∠DEB＝30°. 其中正确的是（ ）

A．①... B．①③... C．② ... D．①②③

【答案】B

【解析】

【分析】

连接DC,证，再证，得出;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.

【详解】

解：证明：连接DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，

∵DB=DA，DC=DC，

在△ACD与△BCD中， ,

∴△ACD≌△BCD （SSS），

由此得出结论①正确；

∴∠BCD=∠ACD=

∵BE=AB，

∴BE=BC，

∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，

在△BED与△BCD中，,

∴△BED≌△BCD （SAS），

∴∠DEB=∠BCD=30°．

由此得出结论③正确；

∵EC∥AD，

∴∠DAC=∠ECA，

∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，

∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，

∵BE=BA，

∴BE=BC，

∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，

在△BCE中三角和为180°，

∴2∠1+2（60°+∠1）=180°

∴∠1=15°，

∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．

因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.

16．如图，在四边形中，，，，，则（ ）°

A．15 B．18 C．20 D．25

【答案】A

【解析】

【分析】

延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.

【详解】

如图，延长BD到M使得DM=DC.

∵∠ADB=75°，

∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.

∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，

∴∠ADM=∠ADC.

在△ADM和△ADC中，

∵，

∴△ADM≌△ADC，

∴AM=AC.

∵AC=AB，

∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.

∵∠ABD=60°，

∴△AMB是等边三角形，

∴∠M=∠DCA=60°.

∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠ODC=30°.

∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，

∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，

∴∠CBD=15°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.

17．如图，等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，.下列结论：①；②；③是等边三角形；④.其中正确结论的个数是( )

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

①②连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题；

③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；

④AB上找到Q点使得AQ=OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解题.

【详解】

连接，

∵，AD⊥BC，

∴是垂直平分线，

∴，

∴，，

∵AB=AC，∠BAC=120∘

∴

∴，

∴．

故①②正确；

∵中，，

中，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

故③正确；

在AB上找到Q点使得AQ=OA，

则为等边三角形，

则，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证是解题的关键．

18．如图钢架中，∠A=,焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……来加固钢架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )

A．15°≤ a <18°

B．15°< a ≤18°

C．18°≤ a <22.5°

D．18° < a ≤ 22.5°

【答案】C

【解析】

【分析】

由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.

【详解】

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴∠P1P2A=∠A=

由三角形外角性质，可得∠P2P1P3=2∠A=

同理可得，∠P1P3P2=∠P2P1P3=，

∠P3P2P4=∠P3P4P2=∠A+∠P1P3P2=，

∠P4P3P5=∠P4P5P3=∠A+∠P3P4P2=，

在△P4P3P5中，∠P3P4P5=180°-2∠P4P3P5=180°-

当∠P5P4B≥90°即∠P5P4A≤90°时，不能再放钢管，

∴，解得≥18°

又∵等腰三角形底角只能是锐角，

∴＜90°，解得＜22.5

∴

故选C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.

19．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.

又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，

故本题应选B.

点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.

20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )

A．1 B．1+ C．2+ D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.

【详解】

将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，

∴AM=MM’，

∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，

∴D′M、MM′、ME共线时最短，

由于点E也为动点，

∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+3，

∴MA+MD+ME的最小值为4+3．

故选B．

【点睛】

本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/7a5fd4dd747f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f8c.html