高中数学（人教A版）必修2同步练习题： 第3章 章末综合测评3

章末综合测评(三)　直线与方程

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在直角坐标系中，直线9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx－y－3＝0的倾斜角是(　　)

A．30°　　 B．60°

C．120° D．150°

【解析】　直线的斜率k＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，倾斜角为60°.

【答案】　B

2．若A(－2,3)，B(3，－2)，C95edbabfdda7aa28086138a5c8419cdd.png三点共线，则m的值为(　　)

A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png B．－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

C．－2 D．2

【解析】　由2e3daf6ece89a3f1b15e6e5fb18bf6fa.png＝11bd784f60724b19bf8a40e9ac2ab60e.png，得m＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png.

【答案】　A

3．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【解析】　Ax＋By＋C＝0可化为y＝－bf05f887a46acf9ca79f8b7edb22f914.pngx－0d77a549f490fb3c5f407ecf50316bd9.png，由AB<0，BC<0，得－bf05f887a46acf9ca79f8b7edb22f914.png>0，－0d77a549f490fb3c5f407ecf50316bd9.png>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

【答案】　D

4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是

(　　)

A.11e643e1d203131021a9d759b96ace27.png B.adb8774bc0cc70f58ca40eb61cf8cba6.png

C.940f6052ccd1a405f81813762f52809c.png D.227b0365237871dd041cb28087067c01.png

【解析】　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.

由平行线间的距离公式可得d＝25cb13487f99ff848fd9b764ea5e9fb1.png＝940f6052ccd1a405f81813762f52809c.png.

【答案】　C

5．直线l1：(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线l2：(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a的值是(　　)

A．－7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png B.07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png

C.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png D.126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png

【解析】　因为l1⊥l2，所以(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0，解得a＝19df1fdbe41803a46502e7c3ce6e7187.png.

【答案】　B

6．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(　　)

A．(0,0) B．(0,1)

C．(3,1) D．(2,1)

【解析】　由kx－y＋1－3k＝0，得k(x－3)－(y－1)＝0，

由68c179d8510524165ad7cd5f328411ef.png即过定点(3,1)．

【答案】　C

7．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)

A．x＋y＝0 B．x－y＝0

C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0

【解析】　kAB＝a6f405e7fc5f074c8fd7e8b909ab5b21.png＝－1，故直线l的斜率为1，

AB的中点为aac857a638efbdfbcd411f0d78e6013f.png，

故l的方程为y－94f7b8d3c31ae0e329bed2998dfaf493.png＝x－33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png，

即x－y＋1＝0.

【答案】　D

8．已知直线l过点(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　)

A．x＋2y－5＝0

B．x＋2y＋5＝0

C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0

D．2x－y＝0或x－2y＋3＝0

【解析】　当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，把点(1,2)代入方程，得2＝k，即k＝2，所以直线的方程为2x－y＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为726ab91ba2684a404194be1de8d88777.png＋f94eee18ef8c520567c9b689affcdf30.png＝1，把点(1,2)代入方程，得d6b1d39e02b6c2707df05d8d5bcac09a.png＋fdf4ce5189eb6d4303a13f6ee03e85db.png＝1，即b＝33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png，所以直线的方程为x＋2y－5＝0.故选C.

【答案】　C

9．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为(　　)

A．[－2,2] B．[－1,1]

C.50545fdc51053c4da853d3ae9abb95e6.png D．[0,2]

【解析】　直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2.所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．

【答案】　A

10．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y－3＝0

B．x＝2

C．2x－y－3＝0或x＝2

D．以上都不对

【解析】　满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．

由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，

所以直线x＝2满足条件．由题意知kAB＝286cb74fba7ba16708bc660f3feca1ec.png＝2.

所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，

综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.

【答案】　C

11．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A(0,4)，则点B的坐标可能是(　　)

A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)

C．(4,6) D．(0,2)

【解析】　设B点坐标为(x，y)，

根据题意知e255a1d4911feb47169cfc5789cc9266.png

∴996efe5246bc0740e7a082aaa0ca22a9.png

解之，得81603ee8d22daeac3ca7f4573e809cf5.png或349e58252004d638a390c4aa2c097cfc.png

【答案】　A

12．直线l过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)

A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0

【解析】　设直线方程为df815640f9d7dd4d630b5263baea2d43.png＋f94eee18ef8c520567c9b689affcdf30.png＝1(a>0，b>0)，

由题意有d3062e261a7196f90c1548db42a031ca.png∴ff99a1e935c9cf34d719ef69178bcdd2.png

∴ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png＋7a1e04eb050f1a65c9113a905fb42d84.png＝1.

化为一般式为3x＋y－6＝0.

【答案】　A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.

【解析】　令x＝0，得y＝(a－1)×2＋a＝6，∴a＝c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png.

【答案】　c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png

14．已知点(m,3)到直线x＋y－4＝0的距离等于1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，则m的值为________.

【解析】　由点到直线的距离得3ba1531f1a13a779f119632431b2b8f4.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

解得m＝－1，或m＝3.

【答案】　－1或3

15．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．

【解析】　由方程组72ea4bc893ee3473fc6f5681b7db2528.png得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.

【答案】　2x＋3y－2＝0

16．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为__________．

【解析】　依题意，知l1∥l2，故点M所在直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式，得36fa3930afbf19fc6d16f9ac53b0c311.png＝de1407727354cc8b9f922b84945b1522.png⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为f467cb8144a9ae3ef08f71843e627e1a.png＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

【答案】　31553867a52c684e18d473467563ea33b.png

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2

(1)相交；(2)平行；(3)重合．

【解】　当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.

当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，

∴l1与l2相交．

当m≠0且m≠2时，由4eac7c92b2e77780bc8854e3e0e0fef2.png＝8671cc081ccf4ec95372f92c18241616.png，得m＝－1或m＝3，由4eac7c92b2e77780bc8854e3e0e0fef2.png＝7f80f5decac4751de231fda5bba5aa27.png，得m＝3.

故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．

(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.

(3)当m＝3时，l1与l2重合．

18．(本小题满分12分)(1)已知直线y＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.pngx－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程．

(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．

【解】　(1)∵已知直线的斜率为a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，即tan α＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png.

∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan 2α＝tan 60°＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

又l过点M(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png(x－2)，即9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx－y－29097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1＝0.

(2)由题意知，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．

令x＝0，得y＝2k＋3；

令y＝0，得x＝－c58deb785e3d876dd7b53d7c93fb5d30.png－2.

于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为

df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png8ea7299751c5f9a49b11932cb02c07da.png＝4，即(2k＋3)b2610d39f616471fde690844b47f82b1.png＝±8，

解得k＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或k＝－04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png.

∴l的方程为y－3＝－df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(x＋2)，或y－3＝－04bbd3c2505d0a826aba4a8d5f2e29a9.png(x＋2)．

即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.

19．(本小题满分12分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．

【解】　(1)∵l1⊥l2，

∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.

即a2－a－b＝0.①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2.

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，b261b90017cba5f561968b911fee7c80.png＝1－a，

即b＝bb4c189ba53ea9314f6b8e7a05c0f90d.png.

故l1和l2的方程可分别表示为

l1：(a－1)x＋y＋650ac2db4eef982f79be106dc98d092b.png＝0，

l2：(a－1)x＋y＋70962f8fedc3d8cd2fa4972b85a3d73e.png＝0.

∵原点到l1与l2的距离相等，

∴485816c5f040b3769eff91002a1880e3b.png＝4dc4f4f2aa85ae362e979295ab156509.png，解得a＝2或a＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png.

因此666c29acd98d3966be1824c495fc8487.png或e570ee5b8d7c9f3ce9a38babeeedb056.png

20．(本小题满分12分)如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．求：

word/media/image1.gif

图1

(1)AD边所在直线的方程；

(2)DC边所在直线的方程．

【解】　(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，

又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，

∴AD边所在的直线的斜率kAD＝－3，

而点T(－1,1)在直线AD上，

∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.

(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，

∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．

又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为

x－3y＋m＝0(m≠－6)．

而M到直线AB的距离d＝a705a49f2262c2e95500435c364bda82.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.pnge3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png.

∴M到直线DC的距离为914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.pnge3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png，

即3352a496415cf9fa992b94534287edbb.png＝914f2a7e3325dffa0188201d304fb9f4.pnge3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png⇒m＝2或－6，

又m≠－6，∴m＝2，

∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.

21．(本小题满分12分)如图2，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．

word/media/image1.gif

图2

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；

(2)求△ABC的面积．

【解】　(1)由题意可知，E为AB的中点，

∴E(3,2)，且kCE＝－f77ebec3b37bf5b6dfd4c18282c306cb.png＝1，

∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.

(2)由ac5fb0f8c79f3deaf249032f1c105484.png得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝fbec2606359bbf700bc78536aa8d00f4.png|AC|·|BC|＝2.

22．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．

【解】　设点B的坐标为(4y1－10，y1)，则AB的中点坐标为cb0165a8941d8af0b38a94e505566c2d.png.

∵AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，

∴6×1b4c25712a95a8ecbe9a48cc12f4ccca.png＋10×6226298005a31b93bb8491dc321a30e1.png－59＝0，

解得y1＝5，∴B(10,5)．设点A关于直线x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，

则有8a839756340e4a7c89de8a2003d27e56.png

解得b6a948356b1094c77ff5a76e28961e85.png即A′(1,7)．

而BC边所在的直线经过点A′，B，

∴BC边所在直线的方程为a697d0307a8cb624d43712b189bd6971.png＝5db4de12d60b1d05b5d58e98828bc423.png，整理得2x＋9y－65＝0.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/79ec80ac9989680203d8ce2f0066f5335a816790.html