“草船借箭”的启示——谈谈数学解题中的逆向思维
江苏徐州市中国矿大附中 罗永奇 苗福华
古典名著《三国演义》中有这样一个脍炙人口的历史故事．三国时代吴国的周瑜限令诸葛亮十天内造出20万支箭，根据当时的情况，这个任务是不可能完成的，嫉贤妒能的周瑜是想找借口杀掉诸葛亮．聪明的诸葛亮接受任务后，分析了情况，得出了从造箭上想办法是完不成任务的．于是，他从“不造”上想办法，利用一个大雾锁江的凌晨，用轻舟载草人从水路佯攻曹操大营，曹不敢出兵反击，而只是令弓箭手射箭，这样诸葛亮就完成了任务．从这个历史故事中，我们可以得到启示：在用直接法很难或无法解决的数学问题时，如果我们从相反的方面考虑，往往能获得意外的成功，这就是数学解题中的逆向思维．逆向思维用于解题，常常具有独创性．下面举例说明．
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=232&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"232","h":"40","dataType":"png","c":"word/media/image1.png","imgOriW":234,"imgOriH":41})
分析 比较分数的大小，一般是化成同分母后比较分子的大小．但本题的最小公分母是29×11×89×15=425865，因数字太大，通分有困难．逆过来考虑把分子变成一样，然后比较分母的大小，则问题变得简单．
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=295&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"295","h":"73","dataType":"png","c":"word/media/image2.png","imgOriW":334,"imgOriH":83})
例2 若三个方程
x2+4ax-4a+3＝0，
x2+（a-1）x+a2=0，
x2+2ax-2a=0，
至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．
分析 由于三个方程至少有一个方程有实数解的情况较为复杂．因此，直接求解困难．但三个方程均无实数解的a的取值容易求出，故可以先求三个方程都无实数解的a的值，进而推出三个方程至少有一个方程有实数解时，a的取值范围．
解 如果三个方程都没有实数解，则由判别式知
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=281&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"281","h":"166","dataType":"png","c":"word/media/image3.png","imgOriW":295,"imgOriH":173})
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=424&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"424","h":"38","dataType":"png","c":"word/media/image4.png","imgOriW":456,"imgOriH":41})
-1．
例3 从n个机场各起飞一架飞机，都飞往最近的个机场．证明：在任何一个机场降落的飞机都不超过6架．
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=93&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"93","h":"89","dataType":"png","c":"word/media/image5.png","imgOriW":94,"imgOriH":90})
分析 若直接去证明这个问题很困难．如果我们能证明原命题结论的反面都是假的，从而肯定原命题是真的．
证明 如图，假设机场O降落的飞机超过6架，它们来自m（m≥7，m∈N）个机场A1、A2、A3……Am-1、Am．由于∠A1OA2 ＋∠A2OA3
![](https://wkrtcs.bdimg.com/rtcs/image?w=471&md5sum=d84e4d2562f73b9b8fe0b6d09c5b06fe&sign=051e168208&rtcs_flag=1&rtcs_ver=3.1&l=webapp&bucketNum=29&ipr={"t":"img","w":"471","h":"39","dataType":"png","c":"word/media/image6.png","imgOriW":513,"imgOriH":42})
60°，不妨设∠A1OA2＜60°，并设OA1≥OA2（设OA2≥OA1亦可），连结A1A2，则∠A2≥∠A1，所以∠A2＞60°，即∠A2＞∠A1OA2，所以OA1＞A1A2．于是机场A1的飞机应飞往机场A2，这与上面假设“机场A1的飞机飞往机场O”矛盾，故假设不成立，即原命题正确．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/78e292e2b8f67c1cfad6b811.html
文档为doc格式